x (t )
称为 X ( ) 的傅里叶逆变换（IFT）
8
信号分析
代入 2 f

瞬变非周期信号与其频谱
x(t )e j 2 f t dt
X( f )
x( t )

X ( f )e j 2 f t dt
以上傅里叶变换的4个重要公式，可用符号简记为
9
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数的傅立叶变换和逆变换：
X ) 2



X ( )e jt d
X ( f ) x(t )e



j 2 f t
2 f
x(t ) X ( f )e j 2 f t df
2
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
4. 时移和频移性质 若x(t) ←→ X(f)，则 x(t±t0) ←→ e±j2πft0 X(f) x(t) e±j2πf0t ←→ X(f ±f0)
证明:
若 t0 为常数，则
20
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值 t0 时，频 谱函数将乘因子 e j 2ft0 ,即只改变相频谱，不会改变幅频谱。

dt
10
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
X ( ) x(t )e


jt
dt
X ( f ) x(t )e 2 j ft dt



T /2
T /2
Ae
jt
dt

T /2
T /2
Ae2 j ft dt
T sin( ) 2
2A
2A T sin(2 f ) 2 f 2
周期信号 确定性信号
信号
非周期信号
非确定性信号
2
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
• 非周期信号是不会重复出现的信号 如：锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶 插入加热炉中温度的变化过程
3
信号分析
一般所说的非周期信 号是指瞬态非周期信 号。如：
瞬变非周期信号与其频谱
非周期信号及其频域分析，主要指的是瞬变非周期信号
瞬变非周期信号与其频谱
小结和对比
频域分析就是将时域信号变换到频域，得到其频谱。频谱是构成信号的各 频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组 成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。 周期信号 分析工具:傅里叶级数展开(三角 函数形式、复指数函数形式） 瞬变非周期信号 分析工具:傅里叶变换 得到单位频宽上的幅值，即，频 谱密度函数，为方便起见，仍称X （f）为频谱 频谱是连续的
非周期信号频谱的性质
• 非周期信号可视为频率连续变化的谐波的 叠加 • X()反映了不同谐波分量的幅值与相位的 变化情况 X ( ) | X () | e j ( )
其中， | X ( ) | ——非周期信号x(t)的连续幅值谱
( ) ——非周期信号x(t)的连续相位谱
13
信号分析
18
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
例，把记录磁带快放，即使时间尺度压缩，这样虽可以提高 处理信号的效率，但是所得到的信号（放演信号）频带就会 加宽。倘若后续处理设备（放大器、滤波器等）的通频带不 够宽，就会导致失真。反之，慢放，则放演信号的带宽变窄， 对后续处理设备的通频带要求可以降低，但信号处理效率也 随之降低。 正常录、慢放 正常录、正常放 正常录、快放
0 x(t ) n 2


0
(T0 / 2, T0 / 2) (, ) d n0
jt jt x ( t ) e dt e

6
信号分析
0 x(t ) n 2

瞬变非周期信号与其频谱
X ( ) x(t )e jt dt
一一对应关系， 傅里叶变换对

x(t )
2
1

代入 x(t) 表达式


X ( )e d
jt
X ( ) F [ x(t )] x(t ) F [ X ( )]
1
X ( ) 称为
x (t ) 的傅里叶变换（FT）；
d jt jt x(t )e dt e 2

X ( ) x(t )e


jt
dt
1 2
x(t )e jt dt e jt d

7
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数的傅立叶变换和逆变换：
机械工程测试、信息、 信号处理
——瞬变非周期信号与其频谱
第 一 组 信 号 及 分 析 日期：2014年9月9日
信号分析
课程内容
1
信号及其描述
2
3
信号的描述及分类
周期信号及其频谱 瞬变非周期信号与其频谱 随机信号及其主要特征参数
课程内容
4 5
contents
1
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱 简谐周期信号 复杂周期信号 准周期信号 瞬态非周期信号
4
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
T0

x(t)
T0
T0 5 t
因此离散谱线无限靠近， x(t) 变成连续谱线
非周期信号的频谱是连续的，它 由无限多个、频率无限接近的频 率分量组成
T0 20
t
5
信号分析
周期函数的 傅里叶级数 展开形式
x(t )

瞬变非周期信号与其频谱
jn0t C e n



x(t )e
jt
0 jt jt x(t ) x(t )e dt e 2 jt jt x(t )e dt e 2


jt dt e
0 d
得到频率组成（谱线）
频谱离散、每条谱线只出现在原 周期信号基波频率的整倍数上、 幅值谱中各个频率的幅值随着频 率的升高而减小
工程上常用频谱图形来直观描述
14
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
15
信号分析 1.奇偶虚实性
瞬变非周期信号与其频谱
傅立叶变换的主要性质
x (t ) 若为实偶函数，则 X ( f ) 为实偶函数
2 f
11
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
非周期函数 x(t) 存在傅立叶变换的充分不必要条件是： x(t) 的绝对值在区间（-∞，∞）上可积，即



x(t ) dt
当引入广义函数概念后，许多不满足绝对可积条件的 函数也能进行傅里叶变换
12
信号分析 • 连续
瞬变非周期信号与其频谱
x (t ) 若为实奇函数，则 X ( f ) 为虚奇函数
x (t ) 若为虚偶函数，则 X ( f ) 为虚偶函数
x (t ) 若为虚奇函数，则 X ( f ) 为实奇函数
16
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
2.对称性 若x(t) ←→ X(f)，则X(t) ←→ x(-f)
证明: 由于
对称性可表示为图：
n 0, 1, 2,
n
1 T20 jn0t jn0t x(t ) T0 x(t )e dt e n T0 2 非周期函数 T


1 Cn T0

T0 2 T 0 2
x(t )e
jn0t
dt
n0
可视为周期 无穷大的周 期信号
若以-t代替t，有
再将t与f互换，则有
17
信号分析
瞬变非周期信号与其频谱
3. 时间尺度改变性 若 x(t) ←→ X(f)，则 x(kt) ←→ 1/k[X(f/k)]
证明:若k为常数，则
这个性质说明，当时域尺度压缩(k>1)时，对应 的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽(k<1) 时，对应的频域压缩且幅值增加
21