( ) ~
幅度谱和相位谱都是频率 ω 的连续函数，在形状上与相应的周期信号 频谱包络线相同。 非周期信号的频谱有两个特点：密度谱、连续谱 。
信号与系统
傅立叶变换
由信号的频谱 因为
F ( ) 重建非周期信号 f (t ) 的表示式

F ( jn 0 ) jn 0t F ( jn 0 ) f T (t ) e 0 e jn 0t T 2 n n
2
t
0
1
0

信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
B 10a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比。
A
f ( t ) e at u ( t )
F ( )
( )

2
1/ a
0
2

0
a
t
10a
0
b
10a


c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（3）双边指数信号
傅立变换为
f (t ) e

a t
,a0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
1 2 ( ) ，即直流信号的频谱是原 点的冲激函数是很直观的，因为直流信号只包含 0 的频率成分，而
从频谱的角度理解傅立叶变换对
不含其它频率成分，同时，因为傅立叶变换得到的频谱是一种密度谱，
所以直流信号在
0
f t
处的谱密度是无穷大。
F
信号与系统
3.3 非周期信号的频谱－ 傅立叶变换
信号与系统
一、从傅立叶级数到傅立叶变换
对周期信号 f T (t ) ，如果令 T 趋于无穷大，则周期信号将经过无穷大的 间隔才重复出现，周期信号因此变为非周期信号，即当 T 时，有
f T t
A
T
lim f T (t ) f (t )
上式称为非周期信号的能量公式或帕什瓦尔公式，该式说明在 时域中求得的信号能量和在频域中求得的信号能量相等。
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（1）矩形脉冲信号
A f (t ) 0

t t

2 2

2
或
G (t ) A t t 2 2
f (t )
1
F ( )
( )

2
0
1
t
a
0



0

2
b
c
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（5）单位冲激信号
(t )
F ( )

根据定义，单位冲激信号的频谱为
上述结果也可由矩形脉冲取极限得到。若 τ→0 ，且 Aτ＝1 ，这 时矩形脉冲就变成 (t了，其对应频谱必为常数 1。 ) 单位冲激函数的频谱在整个频率范围内均为1。
3. 同时，三角函数振幅 F ( j ) d 0 ，故用频谱不能直接画出，必须用 它的密度函数作出。 4. 最后必须指出，从理论上讲，FT也应满足类似狄氏条件。 即


f (t ) dt 绝对可积，但是是充分条件，而非必要条件。
信号与系统
二、非周期信号的能量谱
一般来说，非周期信号的能量是有限的，而平均功率等于零，所以 它只有能量频谱而无功率频谱，对非周期信号，有
0
F ( )

0

f (t )e-jt dt

e
a t
e-jt dt

at -jt at -jt e e d t e e dt 0

( a -j ) t ( a j ) t e d t e dt 0
1 1 2a = 2 a j a j a 2
在ω处的频谱密度分布情况，这就是信号的傅立叶变换的物理含义。对 信号进行傅立叶变换和对信号进行频谱分析具有同样含义，所谓求信号 的频谱和求信号的傅立叶变换是一回事。
信号与系统
傅立叶变换
F ( ) 一般为复函数，可以写为 F ( ) F ( ) e j ( )
F ( ) ~
曲线称为非周期信号的幅度频谱 曲线称为非周期信号的相位频谱

T
0

T
f T t
A

T
A

0
T
f t
T
当 T 增加时，基波频率变小、离 t 散谱线变密，频谱幅度变小，但 频谱的形状保持不变。 在极限情况下，周期T为无穷大， 其谱线间隔与幅度将会趋于无穷 小。这样，原来由许多谱线组成 t 的周期信号的离散频谱就会联成 一片，形成非周期信号的连续频 谱。
T→∞ 时，有
F ( jn0 ) f (t ) lim fT (t ) lim 0 e jn0t T T 2 n
1 1 jn0t lim F ( ) e 2 T n 2

F ( ) e j t d
这就是傅立叶反变换的公式。
信号与系统
傅立叶变换
一般用符号
F 表示取傅立叶变换 ，这样有

F ( ) F f t

f (t ) e jt dt
j t F ( ) e d
傅立叶正变换
1 -1 f (t ) F F ( ) 2
傅立叶反变换
f1 (t ) e
F1 ( )
因为
所以
a t
Sgn(t ) eat u(t ) e at u(t ), a 0
at -jt at -jt (-e )e d t e e dt = 0 0



f 1 (t )e -jt dt
2 j a2 2
ASa( ASa(

2 2
)0 )0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
由矩形脉冲信号波形和频谱图可知矩形脉冲的频谱是抽样函数，其大部 分能量集中在低频段。一般认为抽样脉冲形状的频谱的有效带宽是原点 到第一个零点的宽度，即矩形脉冲信号的有效带宽是
B
2

或 Bf
1

即矩形脉冲的脉宽和有效带宽是成反比的。
而矩形脉冲的傅立叶变换为
F ( ) A
根据极限关系
sin(

2
)

2
( ) lim
k
sin k

sin(

2
所以有 即

lim F ( ) lim A

)
1 2 ( )

2
2A lim
2
sin(

2
)


2A ( )
G t
F ( )
A
A


2
0

2
t
4
2
a


0
2
4 6
b




信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
（2）单边指数信号
f (t ) e at (t ), a 0

傅立叶变换为
F ( )


f (t )e-jt dt


at -jt e u ( t )e dt -(a+j ) t
相位谱
幅度谱
F ( )
2a a2 2
( ) 0
信号与系统
三、典型信号的傅立叶变换
沿用单边指数信号频谱带宽的定义，即幅度谱下降到 0.1 倍最大值时 的宽度为信号的有效带宽，则双边指数信号的有效带宽是
B 3 a
同样地，信号的脉冲宽度和有效带宽也是成反比的。
f t
1
2 a



1 j 2


F ( j ) sin t ( ) d
奇函数积分为零
1 F ( j ) cos t ( ) d 2 1 F ( j ) cos t ( ) d

0
信号与系统
T T
T

fT (t )e jn0t dt

或者是
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f

T 2


f (t )e j t dt
信号与系统
傅立叶变换
2Fn Fn F ( ) lim TFn lim lim T 0 f 0 f 可以看出，F ( ) 实际上表示了频率为 n 0分量的复振幅 Fn 与频率增 量 ∆f 的比值，因此可以理解为是一种密度频谱。即 F ( )表达了信号

上两式称为傅立叶变换对，其中第一式称为傅立叶正变换，简 称傅氏变换。而第二式称为傅立叶反变换，简称傅氏反变换。 并采用下列记号：
f (t ) F ( )
信号与系统
傅立叶变换
1 f (t ) 2 1 f (t ) 2 1 2



F ( j )e jt d 的三角函数形式 F ( j ) e j[(t ( )]d F ( j ) cos t ( ) d
sin(
F ( )


2
2
Ae-jt Ae dt j
-jt

2
A j 2 -j 2 (e -e ) A j

2
)

2
A Sa(