高三数学模拟试卷1.若[]2,5x ∈“或{}14x x x x ∈<>或”是假命题，则x 的取值范围是 ．[)12，2. 设向量a =（12，sin ）的模为22，则cos2= 32 ．3. 若,53)2sin(=+θπ则θ2cos 的值为 ． 4. 若a=，则a 等于 ▲ ．5.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线方程为y x =，且该双曲线与椭圆13622=+y x 有共同的焦点，则双曲线的方程为 ．6. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果T 为 ▲ ．7. 已知cos(α－7π6)＝－45，α∈(0，π2)，则cos(α＋π6)－sin α的值是________．－3358. 已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//； ④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）________．①④9. 设等差数列{}n a 的公差为d ，若7654321,,,,,,a a a a a a a 的方差为1，则d =_____12±__．10. P 是平面直角坐标系中的点，其横坐标与纵坐标都是集合{321,123}A =---，，0,，，中的元素，则此点正好落在抛物线21y x =-上的概率为 ．44911. 已知函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内不是单调函数，则实数m 的取值范围是 ．m ＜1212. 已知一个正六棱锥的左视图如图所示(单位：cm)， 则此正六棱台的体积等于_______cm 3．64 313. 已知一个 数列的各项是1或2，首项为1，且在第k 个1个2，即1,2,1,2,2,1,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,⋅⋅⋅则该数列前2009项的和2009s =400714. 在圆周上均匀的放着4枚围棋子，作如下操作：若原来相邻的两枚棋子是同色，就在其间放一枚黑子；若是异色，就在其间放一枚白子，然后将原来的4枚棋子取走，以上算一次操作。

如果进行了n 次操作，就可以使原来的4枚棋子全换成黑子，则n 的最大值第6题图T ←0 I ←2While I <500 T ←T +I I ←I+2 End Whlie Print T是 4 ．15. 已知锐角△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c , CcB A b a cos cos cos =++． （Ⅰ）求证：角A 、C 、B 成等差数列；（Ⅱ）若△ABC 的面积3=∆ABC S ，求△ABC 周长的最小值． 解：(Ⅰ) 根据题意， 在△ABC 中，由正弦定理得CCB A B A cos sin cos cos sin sin =++ 即B C A C C B C A cos sin cos sin cos sin cos sin +=+)sin()sin(B C C A -=-∴ …………………………… 3分又)2,0(π∈C B A 、、，2222ππππ<-<-<-<-∴B C C A 、而x y sin =在)2,2(ππ-内单调递增B C C A -=-∴即B A C +=2 ，角A 、C 、B 成等差数列． …………………………… 6分 (Ⅱ)由π=++C B A 及B A C +=2得3π=C ……………………… 7分43sin 21=⇒==∆ab C ab S ABC …………………………… 9分 又ab b a C ab b a c -+=-+=22222cos 2 …………………………… 11分 ∴632222==-+≥-+++=++ab ab ab ab ab b a b a c b a 当且仅当b a =时，取等号∴△ABC 周长的最小值是6 ………………………… 14分 16．（本题满分14分） 如图，Q 是ACB Rt ∆斜边AB 的中点，直线m 在平面ABC 外，且AC m //，E D ,是m 上的两个动点，P 是DE 的中点。

(Ⅰ)若四边形AEDC 是等腰梯形，求证：PQ AC ⊥(Ⅱ)若//PQ 平面DCB ，求证：四边形AEDC 是平形四边形。

证明：因为直线m 在平面ABC 外，且AC m //， 所以四边形AEDC 是平面图形 取AC 中点K ，连QK PK ,则KQ AC BC AC CB KQ ⊥∴⊥,,//又………… 2分 (Ⅰ) 四边形AEDC 是等腰梯形，K P ,分别为上 下底的中点。

AQE PD CBmKAC PK ⊥∴，又K QK PK =⋂……… 4分 ⊥∴AC 平面PKQ ，而⊂PQ 面PKQPQ AC ⊥∴ …………………………… 6分(Ⅱ)⊄KQ BC KQ ,// 面 ⊂BC DBC ;面DBC//KQ ∴平面,DCB ……………………… 8分又//PQ 平面DCB⊂=⋂PQ KQ Q PQ KQ ,,面PKQ∴面//PKQ 面DCB …………………………… 10分又平面PKQ 和平面DCB 分别与平面AEDC 相交于DC PK ,DC PK //∴……………………………12分又K P ,分别为AC DE ,的中点,////AE DC PK ∴又AC DE //∴四边形AEDC 是平行四边形…………………………… 14分17.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为c b a ,,,求长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形的概率.【解】连续抛掷三次, 点数分别为c b a ,,的基本事件总数为216666=⨯⨯ 长度为c b a ,,的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形①当c b a ==时, 能构成等边三角形,有;1,1,1;2,2,2; 6,6,6共6种可能. ②当c b a ,,恰有两个相等时,设三边长为z y x ,,,其中}6,5,4,3,2{∈x ,且y x ≠;若2=x ,则y 只能是1或3,共有2种可能; 若3=x ,则y 只以是5,4,2,1,共有4种可能; 若6,5,4=x ,则y 只以是集合}6,5,4,3,2,1{中除x 外的任一个数,共有53⨯种可能; ∴当c b a ,,恰有两个相等时,符合要求的c b a ,,共有63)5342(3=⨯++⨯ 故所求概率为722366363=+=P 18. 如图，椭圆()012222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，上、下顶点分别为D B ,，正三角形21F AF 的外接圆M 与y 轴交于C A ,，且A 点在B 点上方，C 点在D 点上方。

(Ⅰ)求椭圆离心率的范围。

(Ⅱ)若D C O M B A ,,,,,这六个点依次均匀分布在y 轴上，求第18题证：直线M F 1和直线2DF 的交点通过一条确定的直线。

解：(Ⅰ)设()()0,,0,21c F c F -，22b a c -=， 由正三角形21F AF ，知(),3,0c A c AO 3=圆M 的直径,33460sin 2c c AC =︒=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∴c C c AO AC OC 33,0,33…………………………… 3分 又()()b D b B -,0,,0，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧->->,333b c b c 即c b c 333<< (*)…………………………… 5分即222222434,331c a c c b c <<∴<<， 故2321<<e …………………………… 7分 (Ⅱ)M 是AC 中点 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴c M 33,0 因为D C O M B A ,,,,,六点均匀分布，则必有()b c c c c b b c ---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-=-33330033333解得：,332c b =满足（1）中的（*），且上式成立，………………… 10分 又直线M F 1的方程为133=+-c y cx ①……………………… 11分直线2DF 的方程为1=-+by c x 即1332=-+c y cx ②…………………………… 12分①—②，得x y 934=所以直线M F 1和直线2DF 的交点通过一条确定的直线， 此直线方程为x y 934=…………………………… 14分19. 设3x x f =)(，等差数列{}n a 中73=a ，12321=++a a a ，记n S =()31+n a f，令n n n S a b =，数列}1{nb 的前n 项和为n T .（Ⅰ）求{}n a 的通项公式和n S ； （Ⅱ）求证：31<n T ； （Ⅲ）是否存在正整数n m ,，且n m <<1，使得n m T T T ,,1成等比数列？若存在，求出n m ,的值，若不存在，说明理由. 解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ，由7213=+=d a a ,12331321=+=++d a a a a .解得11=a ，d =3 ∴23-=n a n∵3xx f =)(∴S n =()31+n a f=131+=+n a n .(Ⅱ) )13)(23(+-==n n S a b n n n∴)131231(31)13)(23(11+--=+-=n n n n b n ∴31)1311(31<+-=n T n (Ⅲ)由(2)知，13+=n n n T ∴13,411+==m m T T m ，13+=n nn T∵n m T T T ,,1成等比数列.∴ 1341)13(2+=+n n m m 即n n mm 4312+=+6 当1=m 时，7nn 43+=，n =1，不合题意；当2=m 时，413n n 43+=，n =16，符合题意； 当3=m 时，919n n 43+=，n 无正整数解； 当4=m 时，1625n n 43+=，n 无正整数解； 当5=m 时，2531n n 43+=，n 无正整数解； 当6=m 时，3637nn 43+=，n 无正整数解； 当7≥m 时，010)3(1622>--=--m m m ，则1162<+mm ，而34343>+=+n n n ， 所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列.综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得n m T T T ,,1成等比数列. 20. 已知函数.,ln 1)(R ∈+-=a xxa x f （I ）求)(x f 的极值；（II ）若ln 0(0,),x kx k -<+∞在上恒成立求的取值范围； （III ）已知.:,,0,021212121x x x x e x x x x >+<+>>求证且解：（Ⅰ）/2ln (),a xf x x-=令/()0f x =得a x e = 当/(0,),()0,()ax e f x f x ∈>为增函数； 当/(,),()0,()ax e f x f x ∈+∞<为减函数， 可知()f x 有极大值为()aaf e e-=（Ⅱ）欲使ln 0x kx -<在(0,)+∞上恒成立，只需ln xk x<在(0,)+∞上恒成立， 设ln ()(0).xg x x x=> 由（Ⅰ）知，1()g x x e e=在处取最大值，1k e∴>（Ⅲ）1210e x x x >+>>，由上可知ln ()xf x x=在(0,)e 上单调递增， 121112112112ln()ln ln()ln x x x x x x x x x x x x ++∴>>++即 ①，同理212212ln()ln x x x x x x +>+ ②两式相加得121212ln()ln ln ln x x x x x x +>+=1212x x x x ∴+>。