2019年高三数学模拟试题1. 已知集合{2,0,1,7}A =，{|7,}B y y x x A ==∈，则A B = ．【答案】{0,7} 2.已知复数z =(i 为虚数单位)，则z z ⋅= ．【答案】3. 一组数据共40个，分为6组，第1组到第4组的频数分别为10，5，7，6，第5组的频率为0.1，则第6组的频数为 ． 【答案】84. 阅读下列程序，输出的结果为 ． 【答案】225．将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的 3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则1，2号 盒子中各有1个球的概率为 ． 【答案】296．已知实数x ，y 满足132y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则y x 的取值范围是 ．【答案】]32,31[-7．如图所示的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，点E 为棱CD 上一点，若三棱锥E PAB -的体积为4，则PA 的长为 ．【答案】48.从左至右依次站着甲、乙、丙3个人，从中随机抽取2个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是________14B答案：32 9.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2a =，22cos cos cos A b C c B -=，则3122b c +-的最大值是 答案：2210.已知圆C 的方程为22(1)1x y ++=，过y 轴正半轴上一点(0,2)P 且斜率为k 的直线l 交圆C 于A B 、两点，当ABC △的面积最大时，直线l 的斜率k =________ 答案：1或711.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是11,AA CC 的中点，给出下列命题：①BN 平面1MND ；②平面MNA ⊥平面ABN ；③平面1MND 截该正方体所得截面的面积为6；④三棱锥ABC N -的体积为32=-ABC N V 。

其中是真命题的个数是 答案：112.已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '。

当0x ≥时，不等式()()1xf x f x '+>。

若对x ∀∈R ，不等式()()--x x x e f e axf ax e ax>恒成立，则正整数a的最大值是 答案：0a e <<【解析】因为()()1xf x f x '+>，即()()10xf x f x '+->，令()()1F x x f x =-⎡⎤⎣⎦，则()()()10F x xf x f x ''=+->， 又因为()f x 是在R 上的偶函数，所以()F x 是在R 上的奇函数， 所以()F x 是在R 上的单调递增函数， 又因为()()--xxxe f e axf ax e ax >，可化为()()11xx ef e ax f ax ⎡⎤->-⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()x F eF ax >，又因为()F x 是在R 上的单调递增函数，所以-0x e ax >恒成立，令()-xg x e ax =，则()-xg x e a '=，所以()g x 在(),ln a -∞单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，所以()min ln 0g x a a a =->，则1ln 0a ->，所以0a e <<，13.在平行四边形ABCD 中，()0AE AD λλ=>，()01DF DC μμ=<<，且3λμ=，若AF 与BE 交于点O ，则AO AF的最大值是__________答案：2【解析】设,,AB a AD b ==因为,,B O E 三点共线，则()()11AO xAE x AB x b x a λ=+-=+-，设AO m AF=，即AO mAF =，则()AO m AD DF mb m a μ=+=+，所以1m x m x μλ=-⎧⎨=⎩，消去x 可得1m λλμ=+，因为3λμ=，所以23311323m μμμμ==≤=++，当且仅当μ=时，取得等号。

所以AOAF的最大值是。

14.数列{}n a 满足()111n n n a a n ++=-+，则数列{}n a 的前60项的和为__________答案：930【解析】当n 为奇数时()111n n n n a a n a n ++=-+=+()()+2+2+1+11(1)(1)(11)n n n n n n a a n a n a n n a =-++=-++-+++=-+= ()()33+2+21(2)1(2)(2)3n n n n n n a a n a n a n a n ++=-++=++=--++++=+()112312++4+n n n n n n a a a a a n n ++++=-+=+此数列前60项的和，利用并项求和的方法()()()601234567857585960+++S a a a a a a a a a a a a +++=++++++15(6118)=614221189302+++++==。

15.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且()(sin sin )sin()a b A B A B c b-+=+-。

（Ⅰ）若4ABC S ∆=，2b c +=，求边a 的长； （Ⅱ）若B 是最大内角，则cos()B A -的取值范围。

解：（Ⅰ）因为()(sin sin )sin()a b A B A B c b -+=+-，即sin sin sin a b Cc b A B-=-+，由正弦定理可得222a b c bc -=-，所以1cos 2A =，即3A π=，又34ABC S ∆=，所以1bc =，又2b c +=，所以1b c ==，所以在ABC ∆中，由余弦定理可知，2211211cos13a π=+-⨯⨯⨯=；（Ⅱ）依题意，可知3A π=，23B C π+=，所以233B ππ≤<，所以03B A π≤-<，所以cos()B A -的取值范围为1(,1]2。

16.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，11=60BB C ∠，平面11AA B B ⊥平面11BB C C . （1）求证：1B C ⊥1AC ；（2）设点,E F 分别是11,B C AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；（1）连接1BC . 在正方形11ABB A 中，1ABBB .1BB AB ⊥因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B平面111BB C C BB =，⊂AB 平面11ABB A ，FECBC 1B 1A 1ACBC 1B 1A 1A所以 ⊥AB 平面11BB C C .因为 ⊂C B 1平面11BB C C ，所以 C B AB 1⊥ 在菱形11BB C C 中，.C B BC 11⊥因为 ⊂C B 1平面1ABC ， ⊂AB 平面1ABC ，1BC AB B ，所以 ⊥C B 1平面1ABC .因为 ⊂1AC 平面1ABC ， 所以 1B C ⊥1AC . （2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接,GE GA .因为 E 是1B C 的中点， 所以 GE ∥1BB ，且GE112BB . 因为 F 是1AA 的中点，所以 AF112AA . 在正方形11ABB A 中，1AA ∥1BB ，1AA 1BB .所以 GE ∥AF ，且GEAF .所以 四边形GEFA 为平行四边形. 所以 EF ∥GA .因为 ⊄EF 平面ABC ， ⊂GA 平面ABC ， 所以 EF ∥平面ABC .17.已知椭圆22221(0):x y a b a T b+=>>的中心为原点O ，一个焦点(1,0)F ，且下顶点2B 到过左顶点1A 和上顶点1B 的直线11A B 1||OA 。

（Ⅰ）求椭圆T 的方程；（Ⅱ）过点(2,0)M 的直线l 与椭圆T 交于不同的两点,A B 。

设直线FA 和直线FB 的斜率分别为FA k 和FB k ，求证：FA FB k k +为定值。

解：（Ⅰ）因为直线11A B 方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=， GFECBC 1B 1A 1A又2(0,)B b -到直线11A B的距离3d a ==3a =，3=，整理得222a b =，又221b a =-，解得a =1b =，所以椭圆T 的方程为2212xy +=。

（Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(2)y k x =-由22(2),1,2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-= 因为直线l 与椭圆T 交于不同的两点A ，B所以4222644(12)(82)8(12)0k k k k ∆=-+-=->，解得212k <设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22121222882,1212k k x x x x k k -+==++，11(2)y k x =-，22(2)y k x =-121211FA FB y yk k x x +=+-- 1212(2)(2)11k x k x x x --=+-- ()()()()122112(2)1(2)111k x x k x x x x --+--=--1212121223()4()1kx x k x x kx x x x -++=-++（10分）()()()()22222228238412082(8)12k k k k k k kk k--⨯++==--++所以FA FB k k +为定值0。

18. 如图所示，有一块镀锌铁皮材料ABCD ，其边界AB ，AD 是两条线段，4AB =米，3AD =米，且AD AB ⊥．边界CB 是以AD 为对称轴的一条抛物线的一部分；边界CD 是以点E 为圆心，2EC =米为半径的一段圆弧，其中点E 在线段AD 上，且CE AD ⊥．现在要从这块镀锌铁皮材料ABCD 中裁剪出一个矩形PQAM （其中点P 在边界BCD 上，点M 在线段AD 上，点Q 在线段AB 上），并将该矩形PQAM 作为一个以PQ 为母线的圆柱的侧面，记该圆柱的体积为V （单位：立方米）．（1）若点P 在边界BC 上，求圆柱体积V 的最大值； （2）如何裁剪可使圆柱的体积V 最大？并求出该最大值．19. 已知函数21()ln f x a x x=+()a ∈R 。