(4) n 阶矩阵 A 能对角化的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.
(5) 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等, 则 A 与对角阵相似．
20/69 第5章 向量组与解空间 习题课
11. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数.
(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向 量必正交.
第一步 正交化
取 1 = 1,
2
=
2
–
–[––1–, ––2–] [ 1, 1 ]
1,
3
=
3
–
–[––1–, ––3–] [ 1, 1 ]
1
–
–[ ––2,–––3 –] [ 2, 2 ]
2,
r
=
r
–
–[––1–, ––r–] [ 1, 1 ]
1
–
–[––2–, ––r–] [ 2, 2 ]
2Hale Waihona Puke –––1| A | 是 A* 的特征值.
16/69 第5章 向量组与解空间 习题课
8. 有关特征向量的一些结论
定理2 设 1, 2, , m 是方阵 A 的 m 个特征值,
p1, p2, …, pm 依次是与之对应的特征向量. 如果
1, 2, , m 各不相等, 则 p1, p2, …, pm 线性无关.
则称 f 为正定二次形, 并称对称矩阵 A 是正定的; 如果对任何 x 0, 都有 f ( x ) < 0,
则称 f 为负定二次形, 并称对称矩阵 A 是负定的.
27/69 第5章 向量组与解空间 习题课
16. 惯性定理
设有实二次型 f = xTA x , 它的秩为 r, 有两个 实的可逆变换
x = C y, x = P z,
11/69 第5章 向量组与解空间 习题课
5. 正交矩阵与正交变换
定义4 若 n 阶方阵 A 满足 ATA = E (即 A–1 = AT ),
则称 A 为正交矩阵, 简称正交阵.
方阵 A 为正交阵的充要条件是 A的行 ( 列 ) 向量都是单位向量且两两正交.
正交矩阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规范正交基.
可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
矩阵之间的相似具有 (1)自反性; (2) 对称性; (3) 传递性.
18/69 第5章 向量组与解空间 习题课
10. 有关相似矩阵的性质
(1) 若 n 阶矩阵 A 与 B 相似, 则 A 与 B 的特征 多项式相同, 从而 A 与 B 的特征值亦相同.
(2) 若 n 阶方阵 A 与对角矩阵
1
=
2
n
相似, 则 1, 2, , n 是 A 的 n 个特征值.
19/69 第5章 向量组与解空间 习题课
(3) 若 A = PBP –1, 则 Ak = PBkP –1,
( A ) = P ( B ) P –1. 特别地, 若可逆矩阵 P 使 P –1A P = 为对角阵, 则有 Ak = PkP –1, ( A ) = P ( ) P –1.
定义 设 n 维向量 1, 2, … , r 是向量空间 V ( V Rn ) 的一个基, 如果 1, 2, … , r 两两正交且都是单位向 量, 则称 1, 2, … , r 是 V 的一个标准(规范)正交基.
8/69 第5章 向量组与解空间 习题课
若 1, 2, … , r 是 V 的一个标准(规范)正交基, 那么 V 中的任一向量 都可以表示为
当 ( x, y ) = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交.
7/69 第5章 向量组与解空间 习题课
4. 正交向量组的性质
所谓正交向量组, 是指一组两两正交的非零向 量. 向量空间的基若是正交向量组, 就称为正交基.
定理 1 若 n 维向量 1, 2, … , r 是一组两两正交 的非零向量, 则 1, 2, … , r 线性无关.
(3) 拉格朗日配方法亦可把二次形化为标准 形, 此时所用的可逆线性变换一般而言不是正交 变换.
26/69 第5章 向量组与解空间 习题课
15. 正定二次型
定义 10 设有实二次型 f ( x ) = xTA x , 如果对任何 x 0, 都有 f ( x ) > 0 ( 显然 f ( 0 ) = 0 ),
2. 齐次性 | x | = | | | x | ;
3. 三角不等式 | x + y | | x | + | y | .
5/69 第5章 向量组与解空间 习题课
当 | x | = 1 时, 称 x 为单位向量.
向量的内积满足施瓦茨不等式:
( x, y )2 ( x, x )( y, y ),
n
(2)
任给二次型
f
=
i,
j
=1aij
xi
xj
( aij = aji ),
总有
正交变换 x = P y, 使 f 化为标准型
f = 1 y12+ 2 y22 + + n yn2 ,
其中 1, 2, , n 是 f 的矩阵 A = ( aij ) 的特征值.
25/69 第5章 向量组与解空间 习题课
性质1 若 A 是正交阵, 则 A–1 = AT 也是正交阵; 性质2 若 A 和 B 都是正交阵, 则 AB 也是正交阵.
12/69 第5章 向量组与解空间 习题课
定义5 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为 正交变换．
性质3 正交变换保持向量的长度不变.
设 y = Px 为正交变换, 则有
使
f = k1 y12 + k2 y22 + + kr y2r ( ki 0 ),
及
f = 1 z12 + 2 z22 + + r z2r ( i 0 ),
则 k1, , kr 中正数的个数与 1, , r 中正数的
个数相等.
28/69 第5章 向量组与解空间 习题课
注意 k1, k2, , kr 中正数的个数 p 称为正惯性指数; r – p = N 称为负惯性指数; s = p – N = p – (r – p ) = 2p – r 称为 f 的符号差; 它们是二次形对非退化线性变换的不变量.
29/69 第5章 向量组与解空间 习题课
17. 正定二次型的判定
(1) 实二次型 f = xTA x 为正定的充分必要条 件是: 它的标准形的 n 个系数全为正, 即正惯性 指数 p = n.
(2) 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是: A 的特征值全为正.
30/69 第5章 向量组与解空间 习题课
二次型可记作 f = xTA x, 其中 A = AT. A 称为二次型 f 的矩阵; f 称为对称阵 A 的二次型; 对称矩阵 A 的秩叫做二次型 f 的秩.
二次型与它的矩阵是一一对应的. 当 aij 是复数时, f 称为复二次型; 当 aij 是实数时, f 称为实二次型.
23/69 第5章 向量组与解空间 习题课
其中 x, y 都是列向量. 内积满足下列运算规律
( 其中 x, y , z 为 n 维向量, 为实数):
(1) ( x, y ) = ( y, x );
(2) ( x, y ) = ( x, y );
(3) ( x + y, z ) = ( x, z ) + ( y, z );
4/69 第5章 向量组与解空间 习题课
(3) (霍尔维茨定理) 对称矩阵 A 为正定的充分 必要条件是: A 的各阶主子式为正, 即
a11 > 0,
a11 a21
a12 a22
> 0,
从而有
( x, y ) –––––––
1, ( 当 | x | | y | 0 时 ).
|x| |y|
6/69 第5章 向量组与解空间 习题课
3. 向量的夹角
定义 当 | x | 0, | y | 0 时,
= arccos ––(–x–, –y–)–
|x| |y| 称为 n 维向量 x 与 y 的夹角.
13. 二次型的标准形
定义 只含有平方项的二次型 f = k1 y12 + k2 y22 + + kn y2n
称为二次型的标准形 ( 或法式 ).
24/69 第5章 向量组与解空间 习题课
14. 化二次型为标准形
(1) 任给可逆矩阵 C, 令 B = CTAC, 如果 A 为 对称矩阵, 则 B 也为对称矩阵, 且rank( B ) = rank( A ).
(2) 12 n = | A |.
15/69 第5章 向量组与解空间 习题课
7. 有关特征值的一些结论
设 是矩阵 A = ( aij )nn 的特征值, 则 (1) 也是 AT 的特征值; (2) k 是 Ak 的特征值 ( k 是任意正整数 );
( ) = a0 + a1 + + amm 是 ( A ) = a0E + a1A + + amAm 的特征值 (3) 当 A 可逆时, –1 是 A–1 的特征值,
即属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
定理 属于同一个特征值的特征向量的非零线性 组合仍是属于这个特征值的特征向量．
17/69 第5章 向量组与解空间 习题课
9. 相似矩阵
定义 7 设 A, B 都是 n 阶矩阵, 若有可逆矩阵 P, 使 P –1AP = B,
则称 B 是 A 的相似矩阵, 或说矩阵 A 与 B 相似. 对 A 进行运算 P –1AP 称为对 A 进行相似变换,
2. 向量的长度