2019年湖南省永州市中考数学试卷镇海中学 陈志海一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）（2019•永州）2-的绝对值为( )A ．12-B ．12 C ．2- D ．22．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3．（4分）（2019•永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是( )A ．61.404210⨯B ．514.04210⨯C ．88.9410⨯D ．90.89410⨯4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是( )A ．B ．C ．D ．5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是( )A ．235a a a +=B ．325()a a =C ．222()a b a b =D ．a b a b +=+6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为( )A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是( )A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D ．点到线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度8．（4分）（2019•永州）如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，且点O 是BD 的中点，若5AB AD ==，，ABD CDB ∠=∠，则四边形ABCD 的面积为( )A ．40B ．24C ．20D ．159．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁10．（4分）（2019•永州）若关于x 的不等式组26040x m x m -+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）（2019•永州）分解因式：221x x ++= ．12．（4分）（2019•永州）方程211x x=-的解为x = ． 13．（4分）（2019•1x -x 取值范围是 ．14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表： 同学第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲90 88 92 94 91 乙 90 91 93 94 92 根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 ．15．（4分）（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = ．16．（4分）（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S = ．17．（4分）（2019•永州）如图，直线4y x =-与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是 ．18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()n a b +的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+．依上述规律，解决下列问题：（1）若1s =，则2a = ；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+= ．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）（2019•永州）计算：2019(1)12sin 60(3)-+⨯︒--．20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：22111a a a a a a a ---+-，其中2a =． 21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：2 1.414≈，3 1.732)≈22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米)与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回．（1）当x 为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．23．（10分）（2019•永州）如图，已知O是ABC∆的外接圆，且BC为O的直径，在劣弧AC上取一点D，使CD AB∆，连接=，将ADC∆沿AD对折，得到ADECE．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3=，劣弧CD的弧长为π，求O的半径．CE CD24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点(3,0)A-，(0,3)B，且其对称轴为直线1x=-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点)B，求PAB∆的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．25．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率．①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，30AB=，A∠=︒，6 AD=，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的8矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示剪开，恰好能拼成如图22-所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．2019年湖南省永州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，本大题共10个小题，每个小题只有一个正确选项，请将正确的选项涂填到答题卡上.每小题4分，共40分）1．（4分）（2019•永州）2-的绝对值为( )A ．12-B ．12 C ．2- D ．2【分析】直接利用绝对值的性质化简得出答案．【解答】解：2-的绝对值为：2．故选：D ．2．（4分）（2019•永州）改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项正确；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B ．3．（4分）（2019•永州）2019年“五一”假期期间，我市共接待国内、外游客140.42万人次，实现旅游综合收入8.94亿元，则“旅游综合收入”用科学记数法表示正确的是( )A ．61.404210⨯B ．514.04210⨯C ．88.9410⨯D ．90.89410⨯【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10<时，n是>时，n是正数；当原数的绝对值1负数．【解答】解：将8.94亿用科学记数法表示为88.9410⨯，故选：C．4．（4分）（2019•永州）某同学家买了一个外形非常接近球的西瓜，该同学将西瓜均匀切成了8块，并将其中一块（经抽象后）按如图所示的方式放在自已正前方的水果盘中，则这块西瓜的三视图是()A．B．C．D．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，注意看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．【解答】解：观察图形可知，这块西瓜的三视图是．故选：B．5．（4分）（2019•永州）下列运算正确的是()A ．235a a a += B ．325()a a = C ．222()a b a b = D 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A 、原式不能合并，不符合题意；B 、原式6a =，不符合题意；C 、原式22a b =，符合题意；D 、原式不能合并，不符合题意，故选：C ．6．（4分）（2019•永州）现有一组数据：1，4，3，2，4，x ．若该组数据的中位数是3，则x 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据中位数的定义，数据：1，4，3，2，4，x 共有6个数，最中间的数只能为x 和4，然后根据它们的中位数为3，即可求出x 的值．【解答】解：数据1，4，3，2，4，x 中共有6个数， 该组数据的中位数是3，332x += 解得3x =．故选：C ．7．（4分）（2019•永州）下列说法正确的是( )A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒D ．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【分析】根据去全等三角形的判定方法得出A 不正确；由矩形的判定方法得出B 不正确；由补角的定义得出C 不正确；由点到直线的距离的定义得出D 正确；即可得出结论．【解答】解：A ．有两边和一角分别相等的两个三角形全等；不正确； B ．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形；不正确； C ．如果一个角的补角等于它本身，那么这个角等于45︒；不正确；D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度；正确；故选：D．8．（4分）（2019•永州）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD 的中点，若5AB AD==，8BD=，ABD CDB∠=∠，则四边形ABCD的面积为()A．40 B．24 C．20 D．15【分析】根据等腰三角形的性质得到AC BD⊥，BAO DAO∠=∠，得到AD CD=，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到3AO=，于是得到结论．【解答】解：AB AD=，点O是BD的中点，AC BD∴⊥，BAO DAO∠=∠，ABD CDB∠=∠，//AB CD∴，BAC ACD∴∠=∠，DAC ACD∴∠=∠，AD CD∴=，AB CD∴=，∴四边形ABCD是菱形，5 AB=，142BO BD==，3AO∴=，26 AC AO∴==，∴四边形ABCD的面积168242=⨯⨯=，故选：B．9．（4分）（2019•永州）某公司有如图所示的甲、乙、丙、丁四个生产基地．现决定在其中一个基地修建总仓库，以方便公司对各基地生产的产品进行集中存储．已知甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e=（因条件限制，只有图示中的五条运输渠道），当产品的运输数量和运输路程均相等时，所需的运费相等．若要使总运费最低，则修建总仓库的最佳位置为( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁【分析】设甲基地的产量为4x 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x 吨、4x 吨、2x 吨，设2a y =千米，则b 、c 、d 、e 分别为3y 千米、4y 千米、3y 千米、3y 千米，设运输的运费每吨为z 元/千米，①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ②设在乙处建总仓库，则运费最少为：(424325)30x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； 进行比较运费最少的即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁各基地的产量之比等于4:5:4:2，设甲基地的产量为4x 吨，则乙、丙、丁基地的产量分别为5x 吨、4x 吨、2x 吨， 各基地之间的距离之比::::2:3:4:3:3a b c d e =，设2a y =千米，则b 、c 、d 、e 分别为3y 千米、4y 千米、3y 千米、3y 千米， 设运输的运费每吨为z 元/千米， ①设在甲处建总仓库，则运费最少为：(524323)28x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ②设在乙处建总仓库，5a d y +=，7b c y +=，a dbc ∴+<+，则运费最少为：(424325)30x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ③设在丙处建总仓库，则运费最少为：(435324)35x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； ④设在丁处建总仓库，则运费最少为：(435544)53x y x y x y z xyz ⨯+⨯+⨯=； 由以上可得建在甲处最合适， 故选：A ．10．（4分）（2019•永州）若关于x 的不等式组26040x m x m -+<⎧⎨->⎩有解，则在其解集中，整数的个数不可能是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出4m <，然后分别取2m =，0，1-，得出整数解的个数，即可求解． 【解答】解：解不等式260x m -+<，得：62m x -<， 解不等式40x m ->，得：4m x >， 不等式组有解，∴642m m-<， 解得4m <，如果2m =，则不等式组的解集为122m <<，整数解为1x =，有1个； 如果0m =，则不等式组的解集为03m <<，整数解为1x =，2，有2个； 如果1m =-，则不等式组的解集为1742m -<<，整数解为0x =，1，2，3，有4个； 故选：C ．二、填空题（本大题共8个小题，请将答案填在答题卡的答案栏内.每小题4分，共32分）11．（4分）（2019•永州）分解因式：221x x ++= 2(1)x + ．【分析】本题中没有公因式，总共三项，其中有两项能化为两个数的平方和，第三项正好为这两个数的积的2倍，直接运用完全平方和公式进行因式分解． 【解答】解：2221(1)x x x ++=+． 故答案为：2(1)x +．12．（4分）（2019•永州）方程211x x=-的解为x = 1- ． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到方程的解．【解答】解：去分母得：21x x =-， 解得：1x =-，经检验1x =-是分式方程的解， 故答案为：1-13．（4分）（2019•x 取值范围是 1x ． 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．【解答】解：代数式10x ∴-，解得：1x ． 故答案为：1x ．14．（4分）（2019•永州）下表是甲、乙两名同学近五次数学测试（满分均为100分）的成绩统计表：根据上表数据，成绩较好且比较稳定的同学是 乙 ．【分析】根据平均数的计算公式先求出甲和乙同学的平均数，再代入方差公式求出甲和乙同学的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：甲同学的平均数是：1(9088929491)915++++=（分)，甲同学的方差是：222221[(9091)(8891)(9291)(9491)(9191)]45-+-+-+-+-=， 乙同学的平均数是：1(9091939492)925++++=（分)，乙同学的方差是：222221[(9092)(9192)(9392)(9492)(9292)]25-+-+-+-+-=，2242S S =>=乙甲，方差小的为乙，∴成绩较好且比较稳定的同学是乙．故答案为：乙．15．（4分）（2019•永州）已知60AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示．若2DE =，则DF = 4 ．【分析】过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，则2DM DE ==，在Rt OEF ∆中，利用三角形内角和定理可求出30DFM ∠=︒，在Rt DMF ∆中，由30︒角所对的直角边等于斜边的一半可求出DF 的长，此题得解．【解答】解：过点D 作DM OB ⊥，垂足为M ，如图所示．OC 是AOB ∠的平分线，2DM DE ∴==．在Rt OEF ∆中，90OEF ∠=︒，60EOF ∠=︒，30OFE ∴∠=︒，即30DFM ∠=︒．在Rt DMF ∆中，90DMF ∠=︒，30DFM ∠=︒，24DF DM ∴==．故答案为：4．16．（4分）（2019•永州）如图，已知点F 是ABC ∆的重心，连接BF 并延长，交AC 于点E ，连接CF 并延长，交AB 于点D ，过点F 作//FG BC ，交AC 于点G ．设三角形EFG ，四边形FBCG 的面积分别为1S ，2S ，则12:S S=18．【分析】由三角形的重心定理得出2BF EF =，得出3BE EF =，由平行线得出EFG EBC ∆∆∽，∴得出2111()39EBCS S ∆==，即可得出结果． 【解答】解：点F 是ABC ∆的重心，2BF EF ∴=，3BE EF ∴=， //FG BC ， EFG EBC ∴∆∆∽，∴13EF BE =，2111()39EBC S S ∆==，121:8S S ∴=；故答案为：18．17．（4分）（2019•永州）如图，直线4y x =-与双曲线3y x=交于A ，B 两点，过B 作直线BC y ⊥轴，垂足为C ，则以OA 为直径的圆与直线BC 的交点坐标是(1,1)-和(2,1) ．【分析】求得交点A 、B 的坐标，即可求得直径AB 的长度和P 点的坐标，从而求得PE 的长度，利用勾股定理求得32EM EN ==，结合P 的坐标即可求得以OA 为直径的圆与直线BC的交点坐标．【解答】解：由43y xyx=-⎧⎪⎨=⎪⎩求得13xy=⎧⎨=⎩或31xy=⎧⎨=⎩，(1,3)A∴，(3,1)B，223110OA∴=+=，设OA的中点为P，以AB为直径的P与直线BC的交点为M、N，过P点作PD x⊥轴于D，交BC于E，连接PN，P是OA的中点，1(2P∴，3)2，32PD∴=，BC y⊥轴，垂足为C，//BC x∴轴，PD BC∴⊥，31122PE∴=-=，在Rt PEN∆中，22221013()()222EM EN PN PE==-=-=，(1,1)M∴-，(2,1)N．∴以OA为直径的圆与直线BC的交点坐标是(1,1)-和(2,1)，故答案为(1,1)-和(2,1)．18．（4分）（2019•永州）我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方()na b+的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将15()s x +的展开式按x 的升幂排列得：1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+． 依上述规律，解决下列问题： （1）若1s =，则2a = 105 ；（2）若2s =，则01215a a a a +++⋯+= ．【分析】（1）根据图形中的规律即可求出15(1)x +的展开式中第三项的系数为前14个数的和；（2）根据x 的特殊值代入要解答，即把1x =代入时，得到结论． 【解答】解：（1）由图2知：1()a b +的第三项系数为0，2()a b +的第三项的系数为：1， 3()a b +的第三项的系数为：312=+， 4()a b +的第三项的系数为：6123=++，⋯∴发现3(1)x +的第三项系数为：312=+；4(1)x +的第三项系数为6123=++； 5(1)x +的第三项系数为101234=+++；不难发现(1)n x +的第三项系数为123(2)(1)n n +++⋯+-+-，1s ∴=，则212314105a =+++⋯+=．故答案为：105；（2）1521501215()s x a a x a x a x +=+++⋯+． 当1x =时，151501215(21)3a a a a +++⋯+=+=， 故答案为：153．三、解答题（本大题共8个小题，解答题要求写出证明步骤或解答过程.共78分）19．（8分）（2019•永州）计算：2019(1)sin 60(3)-︒--．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：2019(1)sin 60(3)-+︒--13=-+ 133=-++ 5=20．（8分）（2019•永州）先化简，再求值：22111a a aa a a a ---+-，其中2a =． 【分析】根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将a 的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：22111a a aa a a a ---+- (1)(1)(1)11a a a aa a a a +-=--+- 11aa =-- 11a aa --=- 11a =--， 当2a =时，原式1121=-=--． 21．（8分）（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A 测得C 处的俯角为45︒，D 处的俯角为30︒，乙在山下测得C ，D 之间的距离为400米．已知B ，C ，D 在同一水平面的同一直线上，求山高AB ．（可能用到的数据：1.414≈ 1.732)【分析】设AB x =，然后根据等腰直角三角形以及特殊角锐角三角函数的值即可求出答案．【解答】解：设AB x =，由题意可知：45ACB ∠=︒，30ADB ∠=︒，AB BC x ∴==，400BD BC CD x ∴=+=+，在Rt ADB ∆中，tan30ABBD∴︒=， ∴4003x x =+， 解得：546.431x =≈-，∴山高AB 为546.4米22．（10分）（2019•永州）在一段长为1000的笔直道路AB 上，甲、乙两名运动员均从A 点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A 点的距离y （米)与其出发的时间x （分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B 点后立即按原速返回． （1）当x 为何值时，两人第一次相遇？ （2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以计算出当x 为何值时，两人第一次相遇； （2）根据函数图象中的数据可以计算出当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程． 【解答】解：（1）甲的速度为：1004250÷=米/分钟，令30250150()60x x =+， 解得，0.75x =，答：当x 为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当5x =时，乙行驶的路程为：30150(5)825100060⨯+=<， ∴甲乙第二次相遇的时间为：100082575515025016-+=+（分钟）， 则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：71000(55)2501109.37516+-⨯=（米)， 答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1109.375米．23．（10分）（2019•永州）如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，且BC 为O 的直径，在劣弧AC 上取一点D ，使CD AB =，将ADC ∆沿AD 对折，得到ADE ∆，连接CE ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若3CE CD =，劣弧CD 的弧长为π，求O 的半径．【分析】（1）在ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，则222180αβγ++=︒，即可求解；（2）证明四边形AMCN 为矩形，132CN CE x AM ==，而AB x =，则3sin ABM ∠=，即60ABM ∠=︒，即可求解． 【解答】解：（1）CD AB =，CAD BCA EAD α∴∠=∠==∠，设：DCA DEA β∠=∠=，DCE DEC γ∠=∠=，则ACE ∆中，根据三角形内角和为180︒，222180αβγ∴++=︒，90αβγ∴++=︒，CE ∴是O 的切线；（2）过点A 作AM BC ⊥，延长AD 交CE 于点N ，则DN CE ⊥，∴四边形AMCN 为矩形，设：AB CD x ==，则3CE x =， 则132CN CE x AM ==，而AB x =， 则3sin ABM ∠=，60ABM ∴∠=︒， OAB ∴∆为等边三角形，即60AOB ∠=︒，602360CD AB r ππ︒==⨯=︒， 解得：3r =，故圆的半径为3．24．（10分）（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点(3,0)A -，(0,3)B ，且其对称轴为直线1x =-．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上点A 与点B 之间的动点（不包括点A ，点)B ，求PAB ∆的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．【分析】（1）因为对称轴是直线1x =-，所以得到点(3,0)A -的对称点是(1,0)，因此利用交点式12()()y a x x x x =--，求出解析式．（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线1x =-且经过点(3,0)A -由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点(1,0)设抛物线的解析式为12()()(0)y a x x x x a =--≠即：(1)(3)y a x x =-+把(0,3)B 代入得：33a =-1a ∴=-∴抛物线的解析式为：223y x x =--+．（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+，(3,0)A -，(0,3)B ，∴303k b b -+=⎧⎨=⎩， ∴直线AB 为3y x =+，作PQ x ⊥轴于Q ，交直线AB 于M ，设2(,23)P x x x --+，则(,3)M x x +，2223(3)3PM x x x x x ∴=--+-+=--，2213327(3)3()2228S x x x ∴=--⨯=-++． 当32x =-时，278S =最大，23315()2()3224y =---⨯-+=， PAB ∴∆的面积的最大值为278，此时点P 的坐标为3(2-，15)4 25．（12分）（2019•永州）某种机器使用若干年后即被淘汰，该机器有一易损零件，为调查该易损零件的使用情况，随机抽取了100台已被淘汰的这种机器，经统计：每台机器在使用期内更换的该易损零件数均只有8，9，10，11这四种情况，并整理了这100台机器在使用期内更换的该易损零件数，绘制成如图所示不完整的条形统计图．（1）请补全该条形统计图；（2）某公司计划购买一台这种机器以及若干个该易损零件，用上述100台机器更换的该易损零件数的频率代替一台机器更换的该易损零件数发生的概率． ①求这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率；②若在购买机器的同时购买该易损零件，则每个200元；若在使用过程中，因备用该易损零件不足，再购买，则每个500元．请你帮该公司用花在该易损零件上的费用的加权平均数进行决策：购买机器的同时应购买几个该易损零件，可使公司的花费最少？【分析】（1）共抽查100台机器，更换8个零件的有20台，更换9个零件的有50台，更换11个零件的有20台，可以计算出更换10个零件的有10020502010---=台，进而补全统计图；（2）①用样本的频数估计总体的概率，即求出抽查的100台机器中更换9个零件的频率即可；②利用加权平均数计算各种情况下的花费，比较得出答案．【解答】解：（1）10020502010---=，补全的条形统计图如图所示：（2）①这台机器在使用期内共更换了9个该易损零件的概率为：501205010202P ==+++； ②购买机器的同时购买8个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯=元，购买机器的同时购买9个该易损零件20050%50050%350⨯+⨯=元，购买机器的同时购买10个该易损零件20010%50090%470⨯+⨯=元，购买机器的同时购买11个该易损零件20020%50080%440⨯+⨯=元，因此，购买机器的同时应购买9个该易损零件，可使公司的花费最少．26．（12分）（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD 中，30A ∠=︒，6AB =，8AD =，将平行四边形ABCD 分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图21-所示剪开，恰好能拼成如图22-所示的矩形，则m 的值是多少？（3）四边形ABCD 是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35)，若把它按如图31-所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图32-所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36)．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．【分析】（1）过D 作DE BC ⊥于E ，将CDE ∆进行平移即可求解；（2）根据相似三角形的性质即可求解；（3）根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）依题意有111m m m-=+， 解得115m -+=215m --=， 经检验，115m -+=故m 15-+ （3）73724≠+， ∴直角三角形的斜边与直角梯形的斜腰不在一条直线上，故重新拼成的图形的面积会增加．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/8/28 16:55:10；用户：数学；邮箱：85886818-2@ ；学号：27755521【素材积累】1、冬天是纯洁的。