20___-20___学年度学期____级物理教育专业
《电动力学》试题（五） 试卷类别：闭卷考试时间：120分钟
姓名______________________学号____________________
一． 判断以下概念是否正确，对的打（√），错的打（×）（共15分，每题3
分）
1． 库仑力3
04r
r
Q Q F πεϖϖ'=表明两电荷之间作用力是直接的超距作用，即电荷Q 把作用力直接施于电荷Q
'上。
（）
2．
电磁场有能量、动量，在真空中它的传播速度是光速。
（）
3． 电磁理论一条最基本的实验定律为电荷守恒定律，其微分形式为：t j ∂∂=⋅∇/ρϖ。
（）
4． 在介质的界面两侧，电场强度E ϖ切向分量连续，而磁感应强度B ϖ
法向分量连续。
（）
5．在相对论中，粒子能量，动量以及静止质量的关系为：42022c m c P W +=。
（）
二．
简答题（每题5分，共15分）。
1． 如果0>⋅∇E ρ
，请画出电力线方向图，并标明源电荷符号。
2． 当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什么？
3． 以真空中平面波为例，说明动量密度g ρ，能流密度s ρ
之间的关系。
三．
证明题（共15分）。
多普勒效应被广泛应用，请你利用洛伦兹变换证明运动光源辐射角频率ω与它的静止角频率0ω的关系为：)
cos 1(0
θγωωc
v -=，其中122)/1(--=c v γ；v 为光源运动速度。
（15
分）
四.综合题（共55分）。
1．半径为a 的无限长圆柱形导体，均匀通过电流I ，设导体的磁导率为μ，导体外为真空，求：
（1）导体内、外空间的B ϖ、H ϖ
；
（2）体内磁化电流密度M j ϖ
；（15分）。
2．介电常数为ε的均匀介质中有均匀场强为0E ϖ
，求介质中球形空腔内的电势和电场
（分离变量法）。
（15分）
3．两频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿z 轴方向传播，一个沿x 方向偏振，另一个沿y 方向偏振，且其相位比前者超前2π。
求合成波的偏振。
若合成波代表电场矢
量，求磁场矢量B v
以及能流密度平均值S v 。
（15分）
4．在接地的导体平面有一半径为a 的半球凸部，半球的球心在导体平面上，如图所
示。
点电荷Q 位于系统的对称轴上，并与平面相距为b （a b >）。
试用电像法求空间电势。
（10分）
一、 判断题
1、⨯
2、√
3、⨯
4、√
5、√ 二、简答题 1、
2、由于电磁辐射的平均能流密度为22
232
0sin 32P
S n c R
θπε=
v &&v v ，正比于2sin θ，反比于2R ，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。
3由于0g E B ε=⨯v v v
S E H =⨯v v v 在真空中0B H μ=v v 且00
c με=
所以21g S c
=v
v
三、证明：
设光源以速度v 运动，设与其连接坐标系为∑'，地面参照系∑，在洛伦兹变换下，μk 的变换式为
νμνμ
k a k ='(1)
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=νβνβνν000100001000i i a (2) 因此有
ων
ν2
11c v
k k -='(3) c
i k i c
i
ων
βνω+-='
1(4) 设波矢量k ϖ
与x 轴方向的夹角为θ，则有
θω
cos 1c
k =
(5)
代入(4)式，整理得
)cos 1(θωνωc
v -='(6)
∑'为光源静止参考系。
设光源静止频率为0ω，则0ωω='，则有
)
cos 1(0
θνωωc
v
-=
(7)
证毕。
四、综合题
一、 1、(1)利用安培定理
由对称性，当a r >时，
当a r <时
即a r >20022r r I e r I B πμπμθϖϖϖϖ⨯==22r
r
I H πϖ
ϖϖ⨯= a r >0=M ϖ
，0=M j
2、如图所示，选择0E ϖ
方向为z 轴方向， 球腔半径设为0R ，球腔内外均满足方程
02=∇ϕ(1)
解为
a r <)](cos )(cos [1
1θθϕn n n
n n n
n P r b P r a ++
=∑(2) 当∞→r θϕcos 02r E -→∴0=n c 1≠n 01E c -=
∑
++-=n
n n n
P r
d r E )(cos cos θθϕ1
02(3) 当0→r 1ϕ有限。
∴0=n b
)(cos θϕn n n
n P r a ∑=1(4)
在0R r =界面上有
02
1R r ==ϕϕ0
2
10
R r r
r =∂∂=∂∂ϕεϕε(5)
因此有 比较系数得
解得00=a ，00=d ，0=n a ，0=n d )1,0(≠n
00123εεε+-=E a 0
2
00012εεε+=
R E d (6) ∴⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+-+-=+-=θεεεεθϕθ
εεεϕcos )2()(cos cos 23203
00002001r R E r E r E (7) 腔内电场
00
1123E E ϖϖ
εεε
ϕ+=
-∇=(8)
3、解：设沿x 轴和y 轴振荡的波分别为： 合成波为：
可见，合成波仍然为单色平面波，只是振幅变了，其实部为：
()()() 0cos sin i k z t x y E E k z t e k z t e e ωωω-⎡⎤=---⎣
⎦v v v ，上式表明，矢量E v
的末端为一圆周，称为圆偏振，振幅为0E 磁场矢量：
4、由球面对称性，有一像电荷Q '满足
0=+''QP Q
P Q Q (1) 即Q
Q QP P Q '
-=' 要求OQP Q OP ∆'∆~
即
Q
Q a d b a QP P Q '
-===' ∴b a d 2=b
a Q Q -='(2)
再由面对称性，在d -处有点像电荷Q '-，b -处一像电荷Q -，如图示。
因此空间电势为
]cos 2cos 22222θ
θbR R b Q dR R d b a
Q
++-+++(3)
z e b
Q d b b a Q d b b a Q F ϖϖ]4)()([412
22222
0-+++--=πε(4) 其中b
a d 2
=。