则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
（）
12、（ 2012 江西理）如图 , 已知正四棱锥 S-ABCD所有棱长都为 1, 点 E 是侧棱 SC上一动点 , 过 点 E 垂直于 SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分 . 记 SE=x(0<x<1), 截面下面部分的体 积为 V(x), 则函数 y=V(x) 的图像大致为
2
6、【答案】 B
600 .
2 , BF
2
6 , AE
2
2, AEF 中 ， 由 余 弦 定 理 得
【解析】若 l , l / / ,则
，此推理符合平面与平面垂直的判定；
7、【答案】 A
【解析】利用等积法求
1
sin
,
2
6
8、 【答案】 B
B 到平面 AB1C1 的距离 d V 。 A BB1C1
VB AB1C1 , 求出 d
2、【 2012 吉林市期末质检】一个正方体的展开图如图所示，
A、B、C、D为原正方体的顶点，
A
CB
D
则在原来的正方体中 A. AB // CD
B. AB与 CD相交
C. AB CD
D. AB与 CD所成的角为 60
3 ．（ 2012 上 海 ） 已 知 空 间 三 条 直 线 l、 m、 n. 若 l 与 m 异 面 , 且 l 与 n 异 面 , 则
11、【答案】 A
解析 : 不妨设 CA CC1 2CB 2 , 则 AB1 = (- 2,2,1), C1B = (0, - 2,1),
cos < AB1, C1B > = AB1 ×C1B = (- 2) ? 0
2? ( 2) + 1? 1 =-
5 , 直线 BC1 与直线 AB1
AB1 C1B
来越慢 ; 再观察各选项中的图象 , 发现只有 A 图象符合 . 故选 A.
二、填空题
13、【答案】 14
【 解 析 】 因 长 方 体 对 角 线 长 为 2 r 1 4 9 14 ， 所 以 其 外 接 球 的 表 面 积
S 4 r 2 14 ．
14、【答案】 54
【解析】冰淇淋上半部分是半球，下关部分是圆锥
2 15、【答案】 8
3
V= 2 3
【解析】由几何体三视图知：几何体是正方体挖去一个圆锥，
31 3
3
2
3 12 54
1 V8
2
3
16、【答案】 3 3
【解析】因为在正三棱锥 P ABC中 , PA, PB, PC两两互相垂
直 , 所以可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分
,( 如
图所示 ), 此正方体内接于球 , 正方体的体对角线为球的直径 ,
2013 届高考数学（理）一轮复习单元测试 第八章立体几何
一、选择题 ( 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分． 每小题中只有一项符合题目要求 )
1、（ 2012 福建理）一个几何体的三视图形状都相同 , 大小均等 , 那么这个几何体不可以是 （ ）
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D ．圆柱
( Ⅰ) 证明 : BD 平面 PAC ;
( Ⅱ) 若 PA 1 , AD 2 , 求二面角 B PC A 的正切值 .
18．( 本小题满分 12 分 ) （ 2012 天津理）如图 , 在四棱锥 P ABCD 中 , PA 丄平面 ABCD , AC 丄 AD , AB 丄 BC , ABC =45 0 , PA=AD =2 , AC =1. ( Ⅰ) 证明 PC 丄 AD ; ( Ⅱ) 求二面角 A PC D 的正弦值 ; ( Ⅲ) 设 E 为棱 PA 上的点 , 满足异面直线 BE 与 CD所成的角为 300 , 求 AE 的长 .
4. 答案： C 解析 : 该几何体下部分是半径为
3, 高为 5 的圆柱 , 体积为 V
32 5 45 , 上部分是半
径为 3, 高为 4 的圆锥 , 体积为 V 1 3
32 4 12 , 所以体积为 57 .
5、【答案】 C
【 解 析 】 取 AC 中 点 F, EF
1 cos BEF , BEF
用心
爱心
专心
5
(II) 求多面体 ABCDEFG的体积 .
21． ( 本小题满分 12 分 ) 18 ． ( 江西省六校 2012 届高三联考理科 ) 如图所示的多面体，它的正 视图为直角三角形， 侧视图为正三角形， 俯视图为正方形 （尺寸如图所示） ，E 为 VB的中点． [ 来 (1) 求证： VD∥平面 EAC； (2) 求二面角 A—VB— D 的余弦值．
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
)
17． ( 本小题满分 10 分 ) （ 2012 广东理）如图 5 所示 , 在四棱锥 P ABCD 中 , 底面 ABCD 为
矩形 , PA 平面 ABCD , 点 E 在线段 PC 上 , PC 平面 BDE .
则 P 0,0,1 、 C 2,2,0 、 B 2,0,0 、 D 0,2,0 , 于
是 BC 0,2,0 , PB 2,0, 1 . 设平面 PBC 的一
个 法 向 量 为 n1
x, y, z , 则
n1 BC
0 , 从而
n1 PB 0
2y 0
2x
z
,令 x 0
1 , 得 n1
1,0,2 . 而平面 PAC 的
二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )
13、【 2012 山东青岛市期末】已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为
1、 2 、 3 ，则
这个长方体的外接球的表面积为
.
14、【 2012 厦门期末质检理】某型号冰淇淋上半部分是半球，下关部分是圆锥，其正视图如图
2 的正三棱柱， V
3 22 2 1 1
53 3
4
3
3
10、答案 D 解析 上底半径 r ＝ 1，下底半径 R＝ 2. ∵S 侧＝ 6π ，设母线长为 l ，则 π (1 ＋2) · l ＝ 6π，
∴ l ＝ 2，∴高 h＝ l 2－
R－ r
2＝
1 3，∴ V＝ 3π ·
73 3(1 ＋ 1× 2＋ 2× 2) ＝ 3 π . 故选 D.
所示，则该型号冰淇淋的体积等于
。
15、【 2012 粤西北九校联考理】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是＿＿＿
用心
爱心
专心
3
16．．（2012 辽宁理）已知正三棱锥 P ABC, 点 P, A, B, C都在半径为 3 的求面上 , 若 PA, PB, PC
两两互相垂直 , 则球心到截面 ABC的距离为 ________.
C．若 l与 , 的所成角相等，则 / /
D．若 l 上有两个点到 α 的距离相等，则 l / /
7、【 2012 黑龙江绥化市一模理】如图，在三棱柱
ABC A1B1C 1 中，侧棱垂直于底面，底面
是 边 长 为 2 的 正 三 角 形 ， 侧 棱 长 为 3 ， 则 BB1 与 平 面 AB1C 1 所 成 的 角 为 （ ）
3
，
2
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥
, 本题所求表面积为三棱锥四个面的
面积之和 . 利用垂直关系和三角形面积公式 , 可得 : S底 10, S后 10,S右 10,S左 6 5 ,
因此该几何体表面积 S 30 6 5 , 故选 B.
9、【答案】 A
用心
爱心
专心
7
【解析】几何体可以拼接成高为
9′ 5
5
夹角为锐角 , 所以余弦值为 5 , 选 A. 5
12、【答案】 A
【解析】 ( 定性法 ) 当 0
x
1
时,
随着
x 的增大
, 观察图形可知
,V
x 单调递减 , 且递减的速
2
度越来越快 ; 当 1 x 1 时 , 随着 x 的增大 , 观察图形可知 , V x 单调递减 , 且递减的速度越 2
用心
爱心
专心
4
19． ( 本小题满分 12 分 ) 【广东省惠州市 2012 届高三一模（四调）考试（理数） 】 已知四棱锥 P－ ABCD的三视图如下图所示， E 是侧棱 PC上的动点． （１）求四棱锥 P－ ABCD的体积； （２）是否不论点 E 在何位置，都有 BD⊥ AE？证明你的结论； （３）若点 E 为 PC的中点，求二面角 D－ AE－ B 的大小 .
B ．4 3 C ．5 3
3
6
D ．3
10．圆台上、下底面面积分别是 π、 4π ，侧面积是 6π，这个圆台的体积是 (
)
用心
爱心
专心
2
23
73
73
A、 3 π B 、 2 3π C、 6 π D 、 3 π
11、（ 2012 陕西理）如图 , 在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABC A1B1C1 , CA CC1 2CB ,
（）
A． m 与 n 异面 .
B． m 与 n 相交 .
C． m 与 n 平行 .
D． m 与 n 异面、相交、平行均有可能 .
4．（ 2012 广东理） ( 立体几何 ) 某几何体的三视图如图 1 所示 ,
它的体积为
（）
A． 12
B． 45
C． 57
D． 81
5 ．【 2012 海南嘉积中学期末理】 正四棱锥 S- ABCD 的侧棱
一 个 法 向 量 为 n2 BD 2,2,0 . 所 以 二 面 角 B PC A 的 余 弦 值 为