（ｅ －ｅ ）
２ｉ
ｎ－ １
１
（ ｎ＋１） ｉｘ － （ ｎ＋１） ｉｘ
（ ｅ ＋ｅ ） ｄｘ
２
! % & ＝
１
ｎ ｎ－ １
２ｉ
π
０
ｉｘ － ｉｘ ｎ－ １ （ ｎ＋１） ｉｘ
ｉｘ － ｉｘ － （ ｎ＋１） ｉｘ
（ ｅ － ｅ ） ｅ ＋（ ｅ － ｅ ） ｅ
ｄｘ
! ’% & % & ( ＝
１
ｎ ｎ－ １
１
ｎ＋１
２
π
０
２ｎｉｘ １ ２（ｎ－ １）ｉｘ ２ ２（ｎ－ ２）ｉｘ
－ ２ｎｉｘ １ － ２（ｎ－ １）ｉｘ
（ ｅ ＋Ｃｎｅ ＋Ｃｎｅ ＋…＋１） ＋（ ｅ ＋Ｃｎｅ ＋…＋１）
ｄｘ
! % & ＝
１
ｎ＋１
２
π
０
２ｎｉｘ － ２ｎｉｘ
１ ２（ ｎ－ １） ｉｘ １ － ２（ ｎ－ １） ｉｘ
（ ｅ ＋ｅ ） ＋（ Ｃｎ ｅ ＋Ｃｎ ｅ
π （ ｎ－ １） ｉｘ （ ｎ－ ３） ｉｘ
（ ｅ ＋ｅ
０
（ ｎ－ ５） ｉｘ
－ （ ｎ－ １） ｉｘ
＋ｅ ＋…＋ｅ ） ｄｘ
当 ｎ 为偶数时，
ｎ
"# π ２
$ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ － $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ
原式＝
（ｅ
＋ｅ
） ｄｘ
０ ｋ＝１
ｎ
# " ２
＝
π $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ － $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ
! ! 解：
π ｓｉｎｎｘ ｄｘ＝
π
１ ２ｉ
ｎｉｘ － ｎｉｘ
（ｅ －ｅ ）
ｄｘ
０ ｓｉｎｘ
０
１
ｉｘ － ｉｘ
（ｅ －ｅ ）
２ｉ
!＝
π
（
ｉｘ
ｅ
－
－
ｅ
ｉｘ
）
（
（
ｅ
ｎ－
１）
ｉｘ
（
＋ｅ
ｎ－
２）
ｉｘ
－
ｅ
ｉｘ
（
＋ｅ
ｎ－
３）
ｉｘ
－
ｅ
２ｉｘ
－
＋…＋ｅ
（
ｎ－
１）
ｉｘ
）
０
ｉｘ － ｉｘ
ｅ －ｅ
ｄｘ
!π （ ｎ－ １） ｉｘ （ ｎ－ ２） ｉｘ － ｉｘ （ ｎ－ ３） ｉｘ － ２ｉｘ
－
１
Ｃｎ－
１
２（
ｅ
ｎ－
１）
ｉｘ
＋…＋（
－
１）
ｎ－
１
２ｉｘ
ｅ
）
ｄｘ＋
１
ｎ ｎ－
２ｉ
１
!π － ２ｉｘ （ｅ －
０
１ － ４ｉｘ
ｎ－ １ － ２ｎｉｘ
Ｃｎ－ １ ｅ ＋…＋（ － １） ｅ ） ｄｘ＝０
!π ｎｉｘ
注意到： 当 ｎ 为偶数时， ｅ ｄｘ＝０ ０
! ［１］
例５
计算
π ｓｉｎｎｘ ｄｘ
０ ｓｉｎｘ
πｎ
ｃｏｓ ｘｃｏｓｎｘｄｘ＝
π１
ｉｘ － ｉｘ ｎ
（ ｅ ＋ｅ ）
１
ｎｉｘ － ｎｉｘ
（ ｅ ＋ｅ ） ｄｘ
０
０ ２ｎ
２
! ＝
１
ｎ＋１
２
π
（
０
２ｉｘ
ｅ ＋１
ｉｘ
ｅ
ｎ ｎｉｘ － ｎｉｘ
） （ ｅ ＋ｅ ） ｄｘ
! % & ＝
１
ｎ＋１
２
π
２ｉｘ
ｎ
－ ｎｉｘ ｎ
（ ｅ ＋１） ＋（ １＋ｅ ）
ｄｘ
０
!% & ＝
２ｉ
π ０
ｉｘ － ｉｘ ｉｘ
（ｅ －ｅ ）ｅ
ｎ－ １ ２ｉｘ
ｅ＋
ｉｘ － ｉｘ － ｉｘ
（ｅ －ｅ ）ｅ
ｎ－ １ － ２ｉｘ
ｅ
ｄｘ
! % $ ＝
１
ｎ ｎ－ １
２ｉ
π
０
２ｉｘ
ｎ－ １ ２ｉｘ
－ ２ｉｘ ｎ－ １ － ２ｉｘ
（ ｅ － １） ｅ ＋（ １－ ｅ ） ｅ
ｄｘ
＝
１
ｎ ｎ－ １
２ｉ
! % $ π
泡沫沥青技术适用于各种沥青路面和基层及含塑性指数的稳定 土材料。对旧有路面及基层材料， 可掺入一定比例的新石料， 利用发泡 技术使沥青成泡沫状态与再生的骨料粘结在一起， 经过摊铺碾压成 型， 形成全厚式的沥青基层。泡沫沥青混凝土具有很好的抗疲劳和抗 车辙性能， 对交通流量大的道路只需在上面加铺一层新的沥青面层， 对低交通流量路面进行表面处理即可。
低为 ２％￣３％。在采用泡沫沥青作为粘结剂时， 可同时加入少量水泥 （ 一 般 为 １％￣２％） ， 以 改 善 沥 青 与 骨 料 间 的 粘 结 性 ， 同 时 ， 防 止 裂 纹 发 生， 提高表层质量。
４．碾压成型。先用胶轮压路机初压， 再用钢轮压路机终压。 由于泡沫沥青混合料不耐水的侵害， 故完成的泡沫沥青层最后都需要 在 上 面 加 铺 能 抗 水 及 耐 磨 的 热 拌 沥 青 混 凝 土 层 。科
－ （ ｎ－ １） ｉｘ
＝ （ ｅ ＋ｅ ｅ ＋ｅ ｅ ＋…＋ｅ ） ｄｘ
０
!π （ ｎ－ １） ｉｘ （ ｎ－ ３） ｉｘ （ ｎ－ ５） ｉｘ
－ （ ｎ－ １） ｉｘ
＝ （ ｅ ＋ｅ ＋ｅ ＋…＋ｅ ） ｄｘ
０
１６７
科技信息
○高校讲坛○
ＳＣ ＩＥ Ｎ Ｃ Ｅ ＆ Ｔ Ｅ Ｃ Ｈ Ｎ Ｏ Ｌ Ｏ Ｇ Ｙ ＩＮ ＦＯ Ｒ Ｍ Ａ Ｔ ＩＯ Ｎ
（ｅ
＋ｅ
） ＋１
ｄｘ
ｋ＝１
"π （ ｎ－ １） ｉｘ （ ｎ－ ３） ｉｘ （ ｎ－ ５） ｉｘ
－ （ ｎ－ １） ｉｘ
＝ （ ｅ ＋ｅ ＋ｅ ＋…＋ｅ ） ｄｘ
０
当 ｎ 为偶数时，
ｎ
"# π ２
$ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ
原式＝
（ｅ
＋ｅ－ ｉｘ $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） %
０ ｋ＝１
"π
ｄｘ
ｋ＝１
ｎ
# " " ２
＝
ｋ＝１
π $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ － $ ｎ－ （ ２ｋ－ １） % ｉｘ
π
（ｅ
＋ｅ
） ｄｘ＋ ｄｘ
０
０
ｎ
２
π
" ＝# ２ｃｏｓ（ ｎ－ （ ２ｋ－ １） ） ｘｄｘ＋π
ｋ＝１ ０
ｎ
# " ２
＝
ｋ＝１
２ ｎ－ （ ２ｋ－ １）
π
$ ｓｉｎ（ ｎ－ （ ２ｋ－ １） ） ｘ % ０ ＋π＝０＋π＝π＝
对被积函数中含有三角函数的定积分， 通常采用三角公式进行恒
等变换， 使之易于求积分， 由于三角公式较多， 不易记忆， ； 利用欧拉公
式， 把求三角函数的积分转化为求复变量指数函数的积分， 可以减少
公式的记忆， 降低解题难度。
当 ｘ 是实数时， 由欧拉公式
ｉｘ
－ ｉｘ
ｅ ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ， ｅ ＝ｃｏｓｘ－ ｉｓｉｎｘ
【关键词】欧拉公式； 复变量函数； 定积分 Ｓｅｅｋ Ｄｅｆｉｎｉｔｅ Ｉｎｔｅｇｒ ａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ Ｅｕｌｅｒ Ｆｏｒ ｍｕｌａ ＺＨＯＵ Ｒｅｎ – ｍｉｎ
（Ｈｕａｉｈｕａ Ｍｅｄｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ， Ｈｕａｉｈｕａ， Ｈｕｎａｎ ４１８０００） 【Ａｂｓｔｒ ａｃｔ】Ｍａｎｙ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ａｎｄ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔ ｔｏ ｒｅｍｅｍｂｅｒ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｗｅｒｅ ｕｓｅｄ ｄｕｒｉｎｇ ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｃｏｎｔａｉｎｉｎｇ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ． Ｔｏ ｒｅｄｕｃｅ ｆｏｒｍｕｌａ ｍｅｍｏｒｙ ａｎｄ ｌｏｗｅｒ ｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙ， ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｔｒｉｅｄ ｔｏ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ ｉｎｔｏ ｃｏｍｐｌｅｘ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｅｋ ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ． ｂｙ Ｅｕｌｅｒ ｆｏｒｍｕｌａ 【Ｋｅｙ ｗｏｒ ｄｓ】Ｅｕｌｅｒ ｆｏｒｍｕｌａ；ｃｏｍｐｌｅｘ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｄｅｆｉｎｉｔｅ ｉｎｔｅｇｒａｌ
● 【参考文献】
［ １］ 吉米多维奇．数学分析习题集［Ｍ］．北京：人民教育出版社 １９７８．２０５－ ２０６．
作者简介： 周人民（ １９５４—） ， 男， 湖南溆浦人， 本科学历， 主要从事高等数学 教学。
［ 责任编辑： 田瑞鑫］
（ 上接第 １１２ 页） 再生施工中使用的粘结剂主要有泡沫沥青、乳化 沥青、水泥、石灰、粉煤灰等， 因造价和材料特性等因素， 目前就地冷再 生中泡沫沥青技术应用广泛。
＋…＋２
ｄｘ
＝
１
ｎ＋１
２
% ２ｘ
π
& ０ ＝
π ２ｎ
! ! π ｎｉｘ － ｎｉｘ
π
注意到： （ ｅ ＋ｅ ） ｄｘ＝ ２ｃｏｓｎｘｄｘ＝０
０
０
! ［１］
π ｎ－ １
例 ４ 计算 ｓｉｎ ｘｃｏｓ（ ｎ＋１） ｘｄｘ
０
! !% & 解：
π ｎ－ １
ｓｉｎ ｘｃｏｓ（ ｎ＋１） ｘｄｘ＝
０
π ０
１
ｉｘ － ｉｘ
＝－ １