欧拉公式的应用绪论本文首先介绍了一下欧拉公式以及推广的欧拉公式，对欧拉公式的特点作了简要的探讨．欧拉公式形式众多，在数学领域内的应用范围很广，本文对欧拉公式在三角函数中的应用作了详细的研究，欧拉公式在求三角级数中的应用中、在证明三角恒等式时、解三角方程的问题时、探求一些复杂的三角关系时，可以避免复杂的三角变换，利用较直观的代数运算使得问题得到解决．另一方面,利用欧拉公式大降幂，能够把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和,克服了高次幂函数在运算上的不方便．关键词：欧拉公式三角函数降幂级数三角级数目录绪论........................................... 错误!未定义书签。

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一、绪论 (1)二、欧拉公式的证明、特点、作用 (1)三、欧拉公式在三角函数中的应用 (4)(一) 倍角和半角的三角变换 (4)(二) 积化和差与差化积的三角变换 (4)(三) 求三角表达式的值 (5)(四) 证明三角恒等式 (6)(五) 解三角方程 (7)(六) 利用公式求三角级数的和 (7)(七) 探求一些复杂的三角关系式 (8)(八) 解决一些方程根的问题 (9)(九) 欧拉公式大降幂 (10)结束语 (15)一、绪论欧拉公式形式众多，有多面体欧拉公式、欧拉求和公式、cos sin i e i θθθ=+、欧拉积分等多种形式、立体几何、工程方面等方面．由于欧拉公式有多种形式，在数学领域中的应用范围很广，本文只介绍欧拉公式的一种形式“cos sin i e i θθθ=+”以及这种形式在数学中的应用．二 、欧拉公式的证明、特点、作用1748年，欧拉在其著作中陈述出公式cos sin i e i θθθ=+，欧拉公式在数学的许多定理的证明和计算中，有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来，为我们研究这两种函数的有关运算及其性质架起了一座桥梁．同时我们知道三角函数的恒等变换是中学数学中的一个重要内容，也是一个难点，但由于三角恒等变换所用公式众多，这便给解决三角变换问题带来了诸多不便．下面将通过欧拉公式，将三角函数化为复指数函数，从而将三角变换化为指数函数的代数运算，从而使得问题简单化，并给出了欧拉公式在其它几个方面的应用，在高等数学中的部分应用．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+它的证明有各种不同的证明方法，好多《复变函数》教科书上，是以复幂级数为工具，定义复变指数函数和复变三角函数来进行证明的．下面我们介绍一种新的证明方法：极限法．证明 令()1nf z i n θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ (),R n N θ∈∈．首先证明 ()lim cos sin n f z i θθ→∞=+．因为 arg 1ni narctg n n θθ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 22211cos sin n ni i narctg i narctg n n n n θθθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．从而222lim 1lim 1cos sin nnn n i narctg i narctg n n n n θθθθ→∞→∞⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭．()i 令222(1)nn p n θ=+，则2ln ln 12n n p n θ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．把1nξ=视为连续变量，由洛必达法则有 ()2201lim ln lim ln 12n n p ξξθξ→∞→=+2220lim01ξξθξθ→==+． 即 0lim 1n n p e →∞==．()ii 令arg 1nn i n θϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭narctg n θ=，则 ()lim limn n arctg ξξθϕθξ→∞→==．故 ()lim lim 1cos sin nn n f z i i n θθθ→∞→∞⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．其次证明 ()lim i n f z e θ→∞=．因为 ln 11n n i n i e n θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+= ⎪⎝⎭的主值支，所以 ln1arg 1ln 1lim 1lim lim nn i in i n i n n n n n n i e en θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭， 而 ,lim ln 10lim arg 1n n n i n i n n θθθ→∞→∞⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，故 ()lim lim 1ni n n f z i e n θθ→∞→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．于是便证得： cos sin i e i θθθ=+． 欧拉公式还可以推广到以下形式：已知 欧拉公式()cos sin 1i e i θθθ=+其中θ为实数，则cos R θ∈sin R θ∈由()1式得cos sin i e i θθθ-=- ()2则()()12+得：2cos cos 2i i i i e e e eθθθθθθ--++=⇒=()()12-得：2sin sin 2i i i i e e eei iθθθθθθ----=⇒=又因为()sin tan cos i i i i e e i e e θθθθθθθ---==+ ()3 ()cos cot sin i i i i i e e e eθθθθθθθ--+==- ()4 由此便得出最重要的四个公式．这些公式具有以下特点：()1实质上，这些公式给出了三角函数的复指数形式，故代入三角变换中，便将三角运算化为指数函数的代数运算，使三角运算从多种思考方法化为单一思考方法，从而降低了三角变换的难度．()2观察这几个公式，i e θ与i e θ-互为倒数，积为1，这一过程常常在证明过程中被应用．()3在以上公式的推导过程中，分别令2,,,,22πθππππ=--，得到以下式子：221,1,,iiie e e i πππ==-=221,1,i iieee i πππ---==-=-．欧拉公式的桥梁作用:(1) 纯虚指数值可以通过三角函数值来计算例如 cos1sin1ie i =+，2cossin22iei i πππ=+=，cos sin 1ie i πππ=+=-，3233cossin 22i ei i πππ=+=-， ()2cos2sin 210,1,2k i e k i k k πππ=+==±±．由欧拉公式可以看出，在复数域内，指数函数是周期函数，具有基本周期2i π．(2) 任何实数的三角函数可以用纯虚指数表示，从而通过指数函数来研究三角函数的性质．在欧拉公式中用θ-代替θ，则cos sin i e i θθθ-=-． 由cos sin i e i θθθ=+，cos sin i e i θθθ-=-得到cos ,sin 22i i i i e e e e iθθθθθθ--+-==，由上式容易看出正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．(3) 引出复数的指数表示法，从而使得复数的表示法增加为代数形式、三角形式和指数形式三种形式，便于我们酌情使用．三 欧拉公式在三角函数中的应用(一) 倍角和半角的三角变换 在此类型的题目中，大都用到以下两个技巧：()2222i i i i e e e e θθθθ--+-=-及21i =-．例1 求证sin 21cos 2θθ-cot θ=证 左()2222i i i ie e i e e θθθθ---=-+2222sin 221cos 212i i i i e e i e e θθθθθθ---==+--()()()()()21i i i i i i i i i i e e e e i e e e e i e e θθθθθθθθθθ------+-+==--cot θ==右 所以原式成立．(二) 积化和差与差化积的三角变换 例2 计算：1cos cos 2cos 2s x x nx =++++ 解 1cos cos 2cos 2s x x nx =++++()()120212n xi nxi xi xi xi xi nxi e e e e e e e e -----=++++++++1222ix ix nix nixe e e e --++=++ ()1122112211221n xi n xi nix ix nixixix ix ee e e e e ee⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎛⎫- ⎪- ⎪⎝⎭==--=1sin 212sin 2n xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭ . 所以原式等于1sin 212sin 2n xx⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (三) 求三角表达式的值 例3 已知tgx a =，求3sin sin 33cos cos3x xx x++的值:解 原式()()()()333331223122xi xi ix ix xi xi ix ix e e e e i i e e e e -----+-=+++ ()()()()()223113()3xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi xi e e e e e e i e e e e e e ------⎡⎤-+-+-⎢⎥⎣⎦=⨯⎡⎤++++-⎢⎥⎣⎦由tgx a =()xi xi xi xi e e ai e e --⇒-=+代入上式消去xi xi e e -+原式()()222xi xi xi xi a e e e e --⎡⎤++⎢⎥⎣⎦=+ 2112cos a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对2222221cos 1cos cos 1x a tg x x x a-==⇒=+所以原式2112a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．(四) 证明三角恒等式 例4 证明32sin 22cos cos 2x x x tgtg x x -=+为方便计算令2xθ=, 原式变为2sin 23cos 2cos 4tg tg θθθθθ-=+证明 左边()()3333i i i ii ii i e e e e i e e i e e θθθθθθθθ------=-++ ()()()()()()3333331ii i i i i i i i i i i e e e e e e e e ie e e e θθθθθθθθθθθθ------+--+=⨯++右边22224422i ii i i ie e e e e e θθθθθθ----=+++2242242i ii i i i e e i e e e eθθθθθθ----=⨯+++=左边． 例5 求证：sin 21cos tgααα=+证明 22222ii i i e etgi e e ααααα---=⎛⎫+ ⎪⎝⎭而()sin 21cos 212i ii i i i i i e e e e i e e i e e αααααααααα-----+==+++++2222222i i i i i i e e e e i e e αααααα---⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2222iiii e ei e e αααα---=⎛⎫+ ⎪⎝⎭2tgα=．(五) 解三角方程 例6 解方程 120x y += ()1sin 2sin xy= ()2 解 把120y x =-代入()2得：()sin 2sin 120xx =-．由欧拉公式得：223322i x i x ix ix eee e iππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---=⨯，经整理得：222331212i i ixe e e ππ-⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，21xi e =-，xi e i =, cos sin x i x i +=，cos 0,sin 1x x ==．所以18090x k =+，代入()1式得到18030y k =-+，由此即得到方程的解．(六) 利用公式求三角级数的和在三角级数中，按常规方法求和常常是很麻烦的，有时甚至求不出结果．而欧拉公式：sin 2i i e e i θθθ--=，cos 2i i e e θθθ-+=很好的解决了这类问题．例7 求三角级数sin sin 2sin3sin x x x nx ++++的前几项和．解 1sin nn k s kx ==∑12ikx ikx nk e e i -=-=∑1112n n ikx ikx k k e e i -==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑∑()()11112121ix inx ix inxix ix e e e e i e i e----=⨯-⨯-- 22222212n n n i x i x i x ixx x x i i i e e e e i e e e --⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭22222212n n ni x i x i x ixx x xi i i e e e e i e e e ----⎛⎫- ⎪⎝⎭-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭22221122222211222222nxnx nx nx i i i i n n i x i xx x x x iiiie e e e iie e iie e e e ii--++-----=⨯⨯-⨯⨯--1122sin sin 112222sin sin 22n n i x i x n n x x e e x x i i ++-=⨯⨯-⨯⨯ 1122sin22sin 2n n i x i xn x e e x i ++--=⨯ 1sin sin 22sin 2n n x x x +⨯=． (七) 探求一些复杂的三角关系式 例8 试把2cos n θ和2sin n θ分别表示成1,cos 2,cos 4,,cos 2n θθθ的线形组合．解 ()222222201cos 22ni i ni n k nk nn k e e Ce θθθθ--=⎛⎫+== ⎪⎝⎭∑，注意到()()212222221nn i n k i n k k m nn k n m CeC e θθ----=+==∑∑，得到 ()()()12222222201cos 2n i n k i n k nn k n n nk C C e e θθθ----=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑，故有()1222201cos 2cos 22n nn k n n nk C C n k θθ-=⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦∑ ()3在()3式中用2πθ-代替θ得到()()1222201sin 21cos 22n n k nn k n n nk C C n k θθ--=⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦∑(八) 解决方程根的问题 例9 证明 方程()cos arccos 0n t = ()0,1,2n =至多有n 个根．证明 令0ϕπ≤≤，设cos t ϕ=，则sin ϕ=，()cos sin nin ei ϕϕϕ=+(nt =+,那么：()(cos cos cos Re n n naro t t ϕ==+()()222244211n n n n n t C t t C t t --=+-+-+故()cos arccos n t 是关于t 的n 次多项式，所以由代数学基本定理知：方程()cos arccos 0n t =至多有n 个根． 例10 设1,2,3,,n a a a a 都是实常数，()()()()12111sin sin sin 22n n f a a a θθθθ-=++++++， 若12,θθ是方程()0f θ=的两个根，1θ，2θ不全为零．证明：()12k k θθπ-=为整数．证明()()()()()()()11222222n n i a i a i a i a i a i a n e e e e e ef i iiθθθθθθθ+-++-++-+---=+++121222222222nn ia ia ia ia ia ia i i nne e e e e e i e i e θθ----⎛⎫⎛⎫=-+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭令 122222nia ia ia ne e e i α⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭， 122222n ia ia ia ne e e i β---⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．则()0f θ=化为0i i e e θθαβ-+=．由三角不等式知121222222222n nia ia ia ia ia ia n n e e e e e e α=+++≥-- 2111222n=---， 所以复常数0,α≠同理复常数0,β≠ 又12,θθ分别满足方程()0f θ=，即()1110i i f e e θθθαβ-=+=，()2220i i f e e θθθαβ-=+=．可见,αβ的系数行列式()()()1212122sin 0i i e e i θθθθθθ----=-=，从而必存在整数k 使得12k θθπ-=．(九) 欧拉公式大降幂在高等数学中常会遇到高次幂的正余弦函数，这些函数在计算上很不方便，欧拉公式可把高次幂的正余弦函数表示为一次幂函数的代数和，克服了高次幂函数在运算上的不方便．首先我们先介绍一下欧拉公式在三角函数中的降幂使用．1 正弦大降幂：33sin 2ix ix e e x i -⎛⎫-= ⎪⎝⎭()322331332i x i x ix ix i x i x e e e e e e i ---⎡⎤=-⨯+⨯-⎣⎦()33213222i x i x ix ix e e e e i i i --⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦()()21sin 3sin 2x x i =-．44sin 2ixixe e x i -⎛⎫-=⎪⎝⎭()432234414642i x i x ix i x i x ix i x i x e e e e e e e e i ----⎡⎤=-⨯+⨯-⨯+⎣⎦()421cos 44cos 2622x x i ⎡⎤=-+⨯⎢⎥⎣⎦． 55sin 2ix ix e e x i -⎛⎫-= ⎪⎝⎭()54322345515101052i x i x ix i x i x i x i x ix i x i xe e e e e e e e e e i -----⎡⎤=-⨯+⨯-⨯+⨯-⎣⎦()[]41sin 55sin 310sin 2x x x i =-+．综上：正弦大降幂规则如下()1 括号前的系数视n 的奇偶而定；当2n m =时系数为22(2)m i ，当21n m =+时系数为()212mi ． ()2 括号内符号正负相同； ()3当2n m =时括号内各项均为余弦，依次为()1122cos2,cos 22cos2,m m mmx C m xC x --212m m C ． 当21n m =+时，括号内各项均为正弦，依次为()()()121212121sin 21,sin 21,sin 23,sin3m m m m m x C m x C m x C x -++++--，21sin m m C x +． 2余弦大降幂33cos 2ix ix e e x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭3331332i x ix ix i x e e e e --⎡⎤=+++⎣⎦ []21cos33cos 2x x =+． 44cos 2ixixe ex -⎛⎫+=⎪⎝⎭1244311cos 4cos 222x C x C ⎡⎤=++⨯⎢⎥⎣⎦55cos 2ix ix e e x -⎛⎫+= ⎪⎝⎭125541cos5cos3cos 2x C x C x ⎡⎤=++⎣⎦ 综上：余弦大降幂规则如下： ()1括号前的系数为112n -；()2括号内全部是+号； ()3括号内各项均为余弦；当2n m =时，依次为()()12122221cos 2,cos 22,cos 24,cos 2,,2m m m m mm mx C m x C m x C x C --- 当21n m =+时，依次为()()()12212121cos 21,cos 21,cos 23,cos mm m m m x C m x C m x C x ++++--．3 正余弦大降幂的应用 (1) 求傅里叶级数 例11 求12sin x 的傅立叶级数解()112234561212121212121221sin cos12cos10cos8cos6cos4cos222x x x C x C x C x C x C i c ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭由于12sin x 是2π为周期的连续函数，所以它的傅立叶级数展开式唯一，即：12123412121212111111111111111sin cos12cos10cos8cos6cos 422222x x C x C x C x C x =---+ 561212111111cos 222C x C -+． (2) 求n 阶导数例12 求7cos x 的n 阶导数解 712377761cos cos7cos5cos3cos 2x x C x C x C x ⎡⎤=+++⎣⎦()()()()71237776cos 1cos 7cos 5cos 3cos 2n n n n n n d x x C x C x C x dx ⎡⎤=+++⎣⎦ 123777617cos 75cos 53cos 3cos 22222n n n n n n n x C x C x C x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦(3) 求积分例13 求11sin xdx ⎰()()11123451111111111101sin sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x x Cx C x C x C x C x i =-+-+-()123451111111111101sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x C x C x C x C x C x =--+-+- ()2()123451111111111101sin11sin 9sin 7sin 5sin 3sin 2x Cx C x C x C x C x dx =--+-+-⎰123451111111111101cos11cos9cos 7cos5cos3cos 2119753x x x x x C C C C C x c ⎛⎫=-+-+-+ ⎪⎝⎭例14 求0⎰解 令sin x a t =，则：x a →，2t π→，662cos a tdt π=⎰⎰612226665011cos 6cos 4cos 222at C t C t C dt π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰612665sin 6sin 4sin 2102642a t t t C C t ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的值， 6100322a π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦6532a π=． （十）三角函数的求积 例15 不查表，计算cos 20cos 40cos80P =解 24coscoscos 999P πππ=2244999999222ii i i i i e e ee ee ππππππ---+++=⨯⨯7533579999999918i i i i i i i i e e e e e e e e ππππππππ----⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭72799929181i i i i e e e e ππππ-⎛⎫⨯- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭29291181i i i e e e πππ-⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭=⨯- 18=． （十一）条件等式的证明 例16 已知,αβ均为锐角且223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=．求证 22παβ+=．证明 由223sin 2sin 1αβ+=，得到2231222i i i i e e e e i i ααββ--⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2221322i i i ie e e e i ααββ--⎛⎫-⇒=+ ⎪⎝⎭()122223sin 22sin 203222i i i ie e e e i iααββαβ-----=⇒⨯-⨯0=()()2232ii i i i ie e e e e e iiααααββ---+--⇒⨯=()2 ()()12÷得：()()2222i i i ii i i i i e e e e e e i e e ββααββαα----+-=-+．由三角变换得：2tg ctg αβ=，因为,αβ均为锐角，所以2β也为锐角，即知22πβα+=，所以原式得证．结束语欧拉公式在数学的许多定理和计算中,有着广泛的应用．它将定义和形式完全不同的指数函数和三角函数联系起来,为我们研究这两种函数的相关运算及其性质架起了一座桥梁．本文通过实例的形式说明欧拉公式在三角函数中的应用,在求三角表达式的值、证明三角恒等式、解决一些方程根的问题、求三角级数的和、解决高次幂的三角函数时,都应用到了欧拉公式,从而避免了复杂的三角变换,使得问题迎刃而解,在三角中的应用能够利用较为直观代数运算使得问题得到解决．在探求一些复杂的三角关系时,如果不借助欧拉公式,而试图通过纯三角运算直接推导这些关系是相当麻烦的．本文在介绍欧拉公式时给出了欧拉公式的证明,应用到了极限的方法,不同于其它的定义复变指数函数和复变三角函数进行证明的方法． 但不可避免的是：欧拉公式在证明某些恒等式时，却相对增加了计算量．因此，在证明三角恒等式时，要具体问题具体分析．参考文献[1] 裴礼文．《数学分析中的典型问题与方法》．高等教育出版社．1984． [2] 姜淑美． 欧拉公式的应用[J]．丹东纺专学报．1997．[3] 辛华．欧拉公式在三角恒等变换中的推广应用[J]．雁北师范学院院报．2002． [4] 姜志基．欧拉公式及其应用[J]．甘肃教育学院学报(自然科学版)．1997．[5] 赵永强,申玉发,何文杰,易炜．欧拉公式的一个应用[J]．河北省科学学院院报．2006． [6] 陈明．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+在三角中的应用[J]．达县师范专科学校学报1996． [7] 苏炳松．关于欧拉公式的推广及其应用[J]．徐州师范大学学报(自然科学版)．1992． [8] 胡学平．欧拉常数及其应用[J]．安庆师范学院学报(自然科学版)． 2002． [9] 周本虎．欧拉公式的简单应用[J]．高等数学研究．2003． [10] 钟玉泉．《复变函数论》．高等教育出版社．2003．[11] 孔立．关于欧拉公式的一个应用[J]．山东电大学报．2004．[12] 茹淑叶,温瑞萍．三角变换与欧拉公式[J]．新疆教育学院学报．1995．[13] To M. 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