数学文化课程报告欧拉公式的证明与应用一. 序 ---------------------------------------------------------------------- 2 .欧拉公式的证明-------------------------- 31.1 极限法 ------------------------- 31.2 指数函数定义法 ------------------- 41.3 分离变量积分法 -------------------- 41.4 复数幕级数展开法------------------- 41.5 变上限积分法----------------------- 51.6 类比求导法----------------------- 7三.欧拉公式的应用2.1 求高阶导数----------------------- 72.2 积分计算----------------------- 82.3 高阶线性齐次微分方程的通解----------- 92.4 求函数级数展开式------------------- 92.5 三角级数求和函数------------------- 102.6 傅里叶级数的复数形式----------------- 10四.结语------------------------------- 11参考文献------------------------------ 11欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。
ix 丄・・“本文关注的欧拉公式e二cos x t sin x，在复数域中它把指数函数联系在一起。
特别当x二…时,欧拉公式便写成了』二7 =0，这个等式将最富有特色的五个数。
「丄巳二绝妙的联系在一起，“ 1是实数的基本单位，i是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，都具有代表性。
i源于代数，二源于几何，e源于分析，e与二在超越数之中独具特色。
这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。
” [2]公式e" - 1-0成为人们公认的优美公式，被视为数学美一个象征。
这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。
二.欧拉公式的证明欧拉公式e lx = cosx i sinx有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种:首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是用Lagrange 中值定理的推论来证明[3]。
1.1极限法当x =0时，欧拉公式显然成立;当 x=0时，考虑极限 lim (1 ^)n ,(^ R,n N),n —^cn "亠 则有IX所以有由(1)、(2)两式得1.2指数函数定义法=x iy,(x, y R)，复指数函数 e z =e x iy =e x (cos y i si ny)[4] 所以，当复数z 的实部x=0时，就得e ix 二 cosx i sinx 。
复指数函数定义法[2];另外从对数函数特征性质 变量积分法；再者采用复数幕级数展开式法来验证x匹 J 或 竺=e x出发[3],利用微分方程分离 dx x dx[3];再其次采用变上限积分法验证；方面，令t另一方面，将 lim (1 %)n n厂 nix1化为三角式，得nix二e；(1)由棣莫弗公式得(心)nx x x()2[cos(arctan(-)) i sin(arctan(-))]；n nn二[1 (_)2] 2[cos(narctan(—))i sin(narctan(-))],n ，nX 、=lim e 2nn ]：:何1弋)]2jmi 1(n )]x x”m cos(narctan ㈠)=cos]im narctan 「)= cosx, lim sin n )：:(n arcta ng))= n sin lim n arctanC) = sin x ,lim(1 与 n r ：： n二 cosx i sinx.因为对任何复数ze iy = cos y is in y。
1.3分离变量积分法设复数z =cosx • isin x,（x：二R）,两边对x求导数，得= -sinx i cosx = i2sinx i cosx 二i(cosx i sin x) =iz，dx 分离变量并对两边积分，1dz = idx , In z = ix c, 'z '取x =0，得z = cosx i sinx = 0,c = 0,故有In z =ix，即e ix = cosx i sin x。
1.4复数幕级数展开法4xcosx =1 ( —1)2! 4!x2n 而！＜心3 R)，n£(2n)!2 4 ,L(ix)丄(ix)cosx =1 -2! 4! 「曲.. (2n)!八空(x R) n凶(2n)!3 x sin x 二x -一3! 5U •…(_1)n 25!2n 1 丄_ -(2n 1)!n 2 2n 1寸(T) x / _ c、,(x R)，n£(2n 1)!.3.5 . 2n 1ix ix n '2 IX I sin x = ix (T)3! 5! (2n +1)!=区1! .应.应3!2n 1+•.* 十(IX)十5! (2n 1)!::（ix ）2n 1爲亦，（X R ）2e^ =i .「他1! 2!八 a,(x. R) n 卫n!- n八空卅。
n£n!‘丄(丄—)dt1-2i t - i t -1= ；[l n(t i)-l n(t-i)]|0=-[l n(y i)—l n( y —i) — l n i l n( -i)] 2ln (-1)]1 y i - i = -[l n( —) l n —]n!cosx isinxt 回2n 1 吃虫— n 卫(2n)! n 」(2n 1)!2n 1.5 变上限积分法考虑变上限积分 因为又因为1t 2 1dtdt y=arctant | = arctany ,4[ln2(y i) y 2 1ln( -1)]。
再设 arcta ny =二 由此得y = tanr ，即(y i)2 y 2 1ln (-1)]y1sec2二2 2ln(cos)-2isin JCOSV - sin v)I 2 2 2ln(cos (-R 2isin(-J)COS(-J) i sin (-)))i 2ln(cos(_〒)i sin(_R)=i ln(cos( - v) i sin( -v))；ix = ln( cos x is in x),id n(cos(-R isi n(“)),即有ixe cosx I sin x。
1.6类比求导法cosx i sinx^O ，所以在区间1=(-二厂：：)上，f (x)处处可导，且ie x (cosx i sin x) -e x (-sin x i sin x)ixe (i cosx-sin x+sinx-icosx)cos2x i sin 2x根据Lagrange 微分中值定理的一个重要推论“如果函数f(x)在区间I 上的导数恒为0 ,那么f(x)在区间I 上是一个常数”，f(x)在区间|上是一个常数，即存在某个常数 C ，使得-x 三I =(-“，,--••)，都有f (X )三 C ；又因为f (0) =1，所以c = 1,从而f (x)三1，即ixe cosx i sin x 。
三.欧拉公式在高等数学的应用举例欧拉公式除了在初等数学中诸如证明一些三角恒等式有十分重要的应用外，在高等数 学中也有极为广泛的应用，分以下几个方面各举一个例子来说明。
2.1求高阶导数设 f (x)二 e“x cos4x,求f (n)(x)。
3 4解：设 g(x)二e xsin4x, - - arctaw ,并记 F (x)二 f (x) ig (x)，3根据欧拉公式，有F (x) =e^x (cos4x isinAxIreC^xF (n )=(-3 4i)n e2 4i)x =(-5d )n en -3x (n \ '4x)i=(-5) e= (-5)n e^x [cos(n ：4x) isin(n ：4x)],构造辅助函数xef (x),为在Icosx +i sinxe ix 禾口 cosx - isinx 可导，且f (x)二2(cosx isin x)(-3 4i)x分离其实部和虚部，即可得所求之结果f (n )=(_5)n e ；x cos(4x_ narctanf)。
22积分计算求不定积分： xe 2x sin 3xdx 禾口 xe 2x cos3xdx 。
解：记 f (x) = xe 2x cos 3xdx , g (x) = xe 2x sin 3xdx ，则f(x) ig(x)二 xe 2x cos3xdx i xe 2x sin 3xdx= xe 2x (cos3x i sin 3x) dx1xde (2 3i)x2 3i1 r(243i)x1(2 期)x i 」[x ee ] c2 3i2 3i1、，亠(2卞i)x 1卞i)x 丄亠二 ---- x e2 e c2 3i(2 3i)2_ 2_3ix e(2 3i)x.512ie (2 朴■ c13 169 26 -39i (2 3i)x 5 ■ 12i (2s )x = ----------- x ee c169 169 2xe 3ix[(26x 5) -(39x-12)i] e c 1692xe [(26x 5) -(39x-12)i] (cos3x isin 3x) c 1692xe [(26x 5)cosx (39x-12)sin 3x] 1692xe[(12-39x)cosx (26x 5)sin 3x] c 169分离实部和虚部(上式中 c 为任意复数，c 和c 2分别为其实部和虚部)2xecos3xdx [(26x 5) cosx (39xT2)sin3x]169e 2xxe 2x sin 3xdx[(12 -39x) cosx (26x 5)sin 3x] C 2 。
16922.3高阶线性常系数齐次微分方程的通解求微分方程y (5)-12y" 144y ，=0的通解。
xe2x解：因为原方程的特征方程为5 3 2 2-12' 144 • =0,即即• [( ■ —6) 108] = 0 ,可知有一个实数特征根为'1 ，其余四个特征根由=6 6.. 3i =12e 3，可求得另四个特征根为:■2=2.3e^ = .、3 • 3i,=2.. 3e_ = _•、3 _3i,... .匸■4 =2..3e 6 3 _3i, ,5 =2、、3e 6 =…3 • 3i,即两对共轭复根3 _3i和_ 3 _3i ,所以原方程组通解为:迈x ,_3xy =G (C2 cos3x + C3sin3x) (C4 cos3x + C5sin3x)。