专题六 数列第十六讲 等比数列答案部分2019年=265110q a q =＞.又113a =，所以解得3q =. =2.解析 设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有()4142111115134a q qa q a q a ⎧−⎪=⎨−⎪=+⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩. 所以2324a ==．故选C ． 3.解析：（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++−=−+， 即112n n n n a b a b ++−=−+．又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b −是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b −+=，21n n a b n −=−． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++−=+−， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+−−=−+．2010-2018年1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为的等比数列，记为{}n a ，则第八个单音频率为818a f −=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一 因为ln 1x x −≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++−≤，所以41a −≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q −≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>， 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q −<<，所以2131(1)0a a a q −=−>，2241(1)0a a a q q −=−<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a −≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q −≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q −<<，所以2131(1)0a a a q −=−>，2241(1)0a a a q q −=−<， 所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a −==−=−，解得13a =．选B ．4．B 【解析】由于241(1)21a q q ，13a ，所以4260q q ，所以22q(23q舍去)，所以36a ，512a ，724a ，所以35742a a a ．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=． 8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯−14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S −==−． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q −+===−−−．11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足． 12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q qa q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =−，44334,4a a a q a =∴==．14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q−−⇒+⇒=−−，所以1{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 前5项和5511()31211612T −==−． 15．8−【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=−⎧⎨−=−⎩， 解得112a q =⎧⎨=−⎩ ，则3418a a q ==−．16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q−==+=−，所以2q =，由313(1)714a q S q −==−，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==．17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，由题意3138d q −+=−=，所以3d =，2q =−，所以22131(2)a b −+==−−． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==， 则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=．19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=−=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113322n n S −+=⨯，所以5121S =．20．21n【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q −−===−−−．21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得 ∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．23．4【解析】 设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==−==−，∴ 1234||||a a a a +++=15． 25．12,22n +−【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +−==−−．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a −=．记521212−=+++=n n n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a −==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n −>−，化简得：5211212212+−>−n n n，当5211212+−>n n n 时，12212113≈+=n ． 当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．27．11【解析】由2120n n n a a a +++−=，可得220n n n a q a q a +−=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =−，可得5S =11．28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或 因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧−=+⎪⎧−++−=−⎪⎪⇒⎨⎨−−++−=⎪⎪⎩=+⎪−⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q −−+=，即42322330q q q q −−+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。