【摘 要】 为引导投资者选择最佳投资组合策略， 将运筹学的线性规划模型、 目标规划模型、 动态规划模型应用于组合投资理论。采用理论与实 际数据相结合， 数据、文字和图表相结合， 通过讲述现实中的实例， 为投资者在投资决策过程中提供一些有价值的思路 。 其主要结论是， 投资者将 有限的资金按照恰当的比例分配到各种投资项目， 获得更多的收益。 【关键词】 运筹学 线性规划 目标规划 动态规划 优化投资

A 股票的收益率为 15% ， 股票 B 的收益率为 8% ， 但同时 A 的风险系数 B 的风险系数为 0． 2 ， 为 0． 5 ， 试求一种投资方案， 使得一年的总投资风 险不高于 700 ， 且投资收益不低于 10000 元。 x2 分别表示投资商所购买的 A 股票和 B 股票的数量。 总投 设 x1 、 即 20 x1 + 50 x2 ≤90000 。 第 1 个目标： 总风险 资额不能高于 90000 元， 不能超过 700 ： 0． 5 x1 + 0． 2 x2 = 700 + d1+ － d1－ ， 其中 d1+ 表示总风险高于 700 的 d1－ 表示总风险少于 700 的部分， d1+ ≥0 。 第 2 个目标： 投资收益 部分， 不低于 10000 元： 3 x1 + 4 x2 － d2+ + d2－ = 10000 ， 其中 d2+ 和 d2－ ， 分别表示年收入超 过与低于 10000 的数量。目标函数为： Min P1 （ d1 + ） + P2 （ d2 － ） ， 利用 图解法不难得出结果。
三、 运筹学之动态规划模型在投资优化中的应用
动态规划是运筹学的一个重要分支， 是解决多阶段决策过程最优 化的一种数量化方法。动态规划把比较复杂的问题划分成若干阶段， 并且逐段解决而最终达到全局最优。 动态规划的成功之处在于， 它可 以把一个 n 维决策问题变换为一个一维最优化问题（ 把一个多阶段决 即固定 策问题变换为一系列互相联系的单阶段问题 ） 。 投资额分配， — — 动态规划基础上的。 动 资金分配模型就是建立在运筹学一大模块— 态规划固定资金分配模型能够解决组合投资中资金分配比例以期达到 最大净收益的问题。 应用举例： 某投资者拟将 200 万元资金分配给三投资项目， 投资项 目获得不同的资金后， 产生的收益也不同（ 如下表所示） ， 如何分配投资 额， 使总收益最大？ 使用动态规划的方法进行求解。
项目 40 1 2 3 45 20 50 投资额 80 120 160 200 70 45 70 90 105 120 75 110 150 80 300 000 x2 1 + x23 = 1. 2 x1 1 x31 + x34 = 1. 2 x21 + 1. 5 x12 x12 ≤150 000 x23 ≤200 000 x34 ≤100 000 借助 WINQSB 软件即可求出各项目相
1． 阶段划分： 以 3 个投资项目为 3 个阶段； 2． 状态变量 yk： （ 0 ≤yk≤200 ） 3． 决策变量 xk； 4． 状态转移方程： 5． 指标函数： f k （ y k ） = max［v k + f k + 1 （ y k + 1） ］ 6． 边界条件： f4 = 0 * * = 40 ； x2 = 利用逆推解法 容 易 解 得 个 项 目 的 最 优 投 资 额 为； x1 * 120 ； x3 = 40 。
证券投资

管理科学之运筹学在投资优化中的应用
◆ 王 泽 陈 恒 苏嘉骐 1． 西南财经大学统计学院 2． 西南财经大学统计学院 3． 西南财经大学统计学院
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一、 运筹学之线性规划模型在投资优化中的应用
战国时期， 曾有个流传后世的田忌赛马的故事， 说明了在有限条件 下， 经过筹划、 安排， 择优选择一个方案， 会取得较好的效果。 例如， 线 当然也可以运用在投资领 性规划帮助企业找到最小成本或最大利润， 域， 帮助我们进行投资组合的优化 。 首先， 投资者可以利用各投资项目历史收益率结合现实的情况对 未来一年内各种投资产品的收益率做个简单的预测或专家测评之后就 根据限制条件做一 可以使用线形规划来找到收益最大化的投资组合， 个简单的线性规划， 利用单纯形法或借助 WINQSB 软件进行求解， 从而 获得投资于各项目的最佳投资额 。 应用举例： ABC 公司有一笔 30 万元的资金， 考虑今后三年内用于 下列项目的投资： 1． 三年内的每年年初均可投入， 每年获利为投资额的 20% ， 其本利可一起用于下一年的投资； 2． 只允许第一年初投入， 于第 二年年末收回， 本利合计为投资额的 150% ， 但此类投资限额 15 万以 内； 3． 允许于第 二 年 初 投 入， 于 第 三 年 末 收 回， 本利合计为投资额的 160% ， 但限额投资 20 万元以内； 4． 允许于第三年初投入， 年末收回， 可 获利 40% ， 但限额为 10 万元以内； 试为该公司确定一个使第三年末本 利总和为最大的投资组合方案 。 解： 用 xij 表示第 i 年初投放到 j 项目的资金数， 由于第三年末收回 第二年初项目三的投资和第三 的本利只包含第三年初项目一的投资 、 年初项目四的投资， 因此目标函数为： maxz = 1. 2 x31 + 1. 6 x23 + 1. 4 x34 ； 约束条件为第一年初投资总额为 30 万： x11 + x1 2 = 300 000 ； 第二年初的 投资额与第一年末收回的本利总额相同： x2 1 + x23 = 1. 2 x1 1 ； 第三年初 投资额与第二年末收回的本利总额相同： x31 + x34 = 1. 2 x21 + 1. 5 x12 ； 再 考虑 各 项 目 的 投 资 限 额，综 上，该 问 题 的 线 性 规 划 模 型： maxz = 1. 2 x31 + 1. 6 x23 + 1. 4 x34
x ij ≤0 （ i = 1 ， 2， 3； j = 1， 2， 3， 4） 应投资额。
二、 运筹学之目标规划模型在投资优化中的应用
在投资决策时我们通常面临着几个投资方案， 这些方案在技术上 都是可行的， 经济上也是合理的， 以往的技术经济分析方法是通过对某 一个技术经济指标的确定和比较来决定方案的取舍， 如通常取净现值 最大的方案或投资回收期最短的方案或内部收益率最高的方案为最优 方案， 即将决策问题归结为单目标问题 。 然而， 在投资选择过程中逐渐 开始要求几个目标同时达到优化， 既要求投资回收期短， 还要求内部收 益率高， 又要求净现值大于零等众多经济指标优化 。 显然线性规划已 经不满足现在的要求， 这一问题的解决就要求助于多目标规划 。 做任何决策都要考虑多重标准， 以便找出好的决策方案。1961 年美 国学者查纳斯（ A． Charnes） 和库伯（ W． W． Cooper ） 首次提出目标规划： 一 种解决多准则问题的方法， 是线性规划的特殊应用， 能够处理单个主目标 与多个目标并存， 以及多个主目标与多个次目标并存的问题。它对众多 的目标分别确定一个希望实现的目标值， 然后按目标的重要程度（ 级别） 依次进行考虑与计算， 以求得最接近各目标预定数值的方案。 应用举例： 一 位 投 资 商 有 一 笔 资 金 准 备 购 买 股 票 。 资 金 总 额 为 90000 元， 目前可选的股票有 A 和 B 两种（ 可以同时投资于两种股票） 。 90
四、 结语
管理科学是一门运用科学的方法， 依靠广泛的定量分析进行决策 的科学。除了管理科学， 运筹学和决策科学也是人们熟知的两个名字， 现在， 很多场合 3 个名称可以互相使用。 总的说来， 运筹学是应用科 学， 运筹学是一门通过分析运算来解决实际问题的学科， 与其他基础学 科相比， 运筹学与实际结合得更加紧密， 更着眼于解决实际问题， 发挥 着很大的作用。在投资优化过程中， 我们可以把投资行为中的各种问 题模型化、 数据化， 帮助投资者进行分析， 但运筹学本身不做决策， 只提 供决策支持， 提供各种有效可行的方案， 最终还得由投资者做决策。 参考文献： ［ 1］ 胡运权 郭耀煌： 运筹学教程． 清华大学出版社， 2003 ［ 2］ 胡昌生： 投资组合管理策略［ J］． 数量经济技术经济研究， 1999 年第 1 期： 27 － 30 ［ 3］ 方运生： 多目标规划最优投资组合方法［J］ ． 文章编号： 1008 － 7710 （ 2003 ） 3 － 0004 － 03