空间向量基本定理
【学习目标】
在复习平面向量定理的基础上，掌握空间向量基本定理及其推论；
【学习重点】
掌握空间向量基本定理及其推论；
【学习难点】
掌握空间向量基本定理及其推论。

【课前预习案】
一、复习
平面向量向量基本定理 。

二、课本助读：认真阅读课本第35页的内容.
1.空间向量基本定理：如果向量 ， ， 是空间中三个 的向量，a 是空间中 向量，那么 实数123,,λλλ，使得
112233a e e e λλλ=++①。

空间中 的三个向量123,,e e e 叫做这个空间的一个 。

①式表式向量a 关于基底123,,e e e 的分解。

特别地，当向量123,,e e e 时，就得到这个向量的一个正交分解。

当1e i =，2e j =，3e k =时，就是我们前面学过的标准正交分解。

2.以下四个命题中正确的是( )
A ．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则a ，b ，c 全不是零向量
C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB ·AC →＝0
D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
【课堂探究案】
探究一：基底的判断
O A /
C
M E
D /
B /
A
D
B
1.若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A ．a,2b,3c
B ．a ＋b ，b ＋c ，c ＋a
C ．a ＋2b,2b ＋3c,3a －9c
D ．a ＋b ＋c ，b ，c 2.在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，
b 共线；
③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 探究二：用基底表示向量
3. 如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /
与CE 的交点，试分别用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM
4.如图，在平行六面体
ABCD —A ′B ′C ′D ′中，
的单位向量分别是'
,,,,321AA AD AB e e e
且,2=AB ,5=AD ,7'=AA 试用321,,e e e 表示AC 、B A '、 D A '、'AC .
【课后检测案】
1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列关于1AC 的表达式中：
①1AA ＋A 1B 1→＋A 1D 1→
；
②AB ＋DD 1→＋D 1C 1→
； ③AD ＋DD 1→＋D 1C 1→
；
④11(2
AB ＋CD 1→)＋A 1C 1→ 正确的个数是________个。

2.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为AC 1与BD 1的交点，AO ＝xAB →＋yBC →＋
zCC 1→，则x ＋y ＋z ＝________。

3.从空间一点P 引出三条射线PA ，PB ，PC ，在PA ，PB ，PC 上分别取PQ ＝a ，PR →
＝a ，PR →＝b ，PS →＝c ，点G 在PQ 上，且PG ＝2GQ ，H 为RS 的中点，则GH →＝__________________。

4.设O-ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG=3GG 1，若OG ＝xOA
→＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，3
4)
C ．(13，13，13)
D ．(23，23，23
)
5.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱'AA 和''C D 的中点，以
,,'AB AD AA 为基底表示EF 。