空间向量基本定理及其应用
教学目的：
1、了解空间向量基本定理；
2、能利用基向量法解一些简单的空间问题. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 一、复习引入： 1、（1）向量的平行四边形法则： （2）向量的三角形法则： （3）向量的多边形法则：
2、平面向量基本定理：在平面上，取两个不共线的向量1e 、2e 作基底，则平面内的任一向量a 都可以用1e 、2e 表示，即存在唯一的实数x 、y ，使得12a xe ye =+.
二、讲授新课：
1、空间向量基本定理：在空间，取三个不共面的向量1e 、2e 、3e 作基底，则空间的任一向量a 都可以用1e 、2e 、3e 表示，即存在唯一的实数x 、y 、z ，使得123a xe ye ze =++.
2、将ABCD （包括它的内部）按向量a 平移到A B C D ''''的轨迹所形成的几何体叫做平行六面体，记作平行六面体
ABCD A B C D ''''-. 它的六个面都是平行四边形，
每个面的边叫做平行六面体的棱
三、讲解范例：
例1、三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：ΔABC 为锐角三角形.
例2、设两异面直线a 、b 所成的角为θ，直线a 上两点A 、B 在b 上的射影分别是A′、B′，
则cos θ=
A B AB
''
. 证：∵AA′⊥A′B ′, BB ′⊥A′B ′，
∴cos <AB ,A B ''> =
|| | |
AB A B AB A B ''
⋅''
=()|| | |AA A B B B A B AB A B ''''''++⋅''=2|||||| | |||
A B A B AB A B AB ''''=
'', 故cos θ=
A B AB
''
. 练习：三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ACB=90°且PA=AC=BC=a ，则异面直线PB 与
AC 所成角的正切值等于________．答：2
例3、已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，
4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，
（1）用向量AB 、AD 、AA '表示AC '； （2）求AC '的长
解：（1）AC AB BC CC AB AD AA '''=++=++
（2）22
||()AC AB AD AA ''=++
222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅
222435243cos90245cos60235cos60
=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯
169250201585=+++++=
所以，||85AC '=
例4、已知O 为空间任意一点，G 为ΔABC 的重心，试用向量OA 、OB 、OC 表示OG ；
A
B
A′
B ′
a
b。