3.1.2空间向量基本定理
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一、共线向量： 1.共线向量:
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，
则这些向量叫做共线向量或平行向量．
r
r
r a
平行于
r b
记作
r a
//
r b
．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量.
rrr r
2、共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(a 0),
ur r r
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
r b
C
ur p
P
请证明
A
r a
B
思考2：有平面ABC， 若P点在此面内，须 满足什么条件？
ur
rC
p
br Aa
B
P
O
结论:空间一点P位于平面ABC内
uuur uuur uuur
1.存在唯一有序实数对x,y使 AP x AB y AC
uuuur uuuur uuuur (4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
ur ur
2.
已知uue1ur, e2
是平面内两个不共线的向量,
ur uur uuur ur uur
uuur
ur
uur
若AB e1 e2 , AC 2e1 8e2 , AD 3e1 3e2 ,
uuur OP
2
uuur OA1来自uuur OB2
uuur OC
;
555
uuur uuur uuur uuur
(2) OP 2OA 2OB OC ；
uuur r uuur r
例1.如图三棱柱,设AB a, AC b, A1
C1
uuur r uuuur uuuur uuur uuur
AA1
c, AM uuuur
使pr
uur xe1
uur ye2
uur ze3 .
uur uur uur
uur uur uur
把 e1、e2、e3 称为空间的一个基底,e1、e2、e3叫做基向量.
说明： ①空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 ②三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量。（零向量与 任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面） ③一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基 向量是指基底中的某一个向量。
猜想:
如 果 三 个 向 量e1、e2、e3不 共 面 ， 那 么 空 间 任 一 向 量p， 存 在 一 个 唯 一 的 有 序实 数 组 x ， y ， z ， 使p xe1 ye2 ze3。
类似地, 空间向量分解定理 rr r
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向 ur
r b
C
P
它们之间存在怎样 的关系呢？
A
r a
B
二.共面向量:
1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.
a
O
A
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空
a
间任意三个向量就不
一定r共面r 的了
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
ur
rr
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
rr b与a共线的充要条件是存在实数λ,
rr
使b a.
平面向量基本定理：
ur uur 如果是 e1，e2 同一平面内两个不共线的 向量r 量ar ，，ur那有么且对只uur于有这一一对平实面数内1，的任2，一使向
a 1e1 2e2
r a
思考ur 1：空间任意向
r b
量的向p 与量两ar ，个br 共不面共时线，
量 p , 存 在 唯 一 的 有 序 实 数 组 x, y, z 使
ur r r r
p xa ryb zc .
证明思路：先证存在性
ur
Eb p A
对向量
p
进行分解,
r
r
r
作 AB // b, BD // a, BC // c
O
D
r c
ur p
uuur uuur
OB rBA
uuur uuur uuur
k
ArC1
, BN r
k BC ,
求证 : MN与向量a和c共面.
r c
B1 M
r
追问:求证 : MN P平面.AA1B1B
A
b
r
C
a
N
B
在空间向量中,我们还可以作怎样的推广呢? 平面向量基本定理
问题 情境
如 果e1，e2是 同 一 平 面 内 的 两 个 不共 线 向 量 ， 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 一 向 量a， 有 且 只 有
2.对空间任一点O,有
uuur uuur uuur uuur OP OA x AB y AC
3.能转uuu化r 为都以O为uu起r 点u的uur向量uu吗ur ？ OP （1 x y)OA xOB yOC
uuur uuur uuur uuur OP xOA yOB zOC (其中，x y z 1)
一 对 实 数 λ1， λ2， 使a＝ λ1e1＋ λ2 e2。
（e1、e2叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有 向 量 的 一 组 基 底 )
这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个 不共线向量来线性表示.
能否通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基 本定理呢?
即空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?
可证明或判断四点共面
练 习2:
1.下列ur 命题r中正r确的ur有：r
B
r
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ;
ur r r
ur r r
(2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
uuur uuur uuur (3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
OrC OrD OE
Cr
B
xa yb zc
a
然后证唯一性
注：空间任意三个不共面向量都可以构成空
r r r
间的一个基底.如： a, b, c
看书P83
三.空间向量基本定理：
uur uur uur 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间任一 向量pr ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
求证:A,B,C,D 四点共面.
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点
O，
uuuur OM
A. 1
uuur xOA ＋
B.
1 uuur 3 OB
0
＋
1 3
uuur OC
C.
,则x的值为：
3
D. 1
D
3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点
O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？
(1)
三.空间向量基本定理：
uur uur uur 如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间任一 向量pr ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，
使pr
uur xe1
uur ye2