2017-2018学年九年级(上)期末数学试卷一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分):1.已知⊙O的半径为4cm,点P在⊙O上,则OP的长为()A.1cm B.2cm C.4cm D.8cm2.已知=,则的值为()A.B.C.D.3.抛物线y=x2﹣2x+3 的对称轴为()A.直线x=﹣1 B.直线x=﹣2 C.直线x=1 D.直线x=24.如图,在⊙O中,点M是的中点,连结MO并延长,交⊙O于点N,连结BN,若∠AOB =140°,则∠N的度数为()A.70°B.40°C.35°D.20°5.在一个不透明的口袋里装有2个白球,3个黑球和3个红球,它们除颜色外其余都相同,现随机从袋里摸出1个球,则摸出白球的概率是()A.B.C.D.6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠D=3∠B,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°7.已知点A(﹣2,a),B(1,b),C(3,c)是抛物线y=x2﹣2x+2上的三点,则a,b,c 的大小关系为()A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a8.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,现将它沿AB方向平移1个单位,得到正六边形A′B′C′D′E′F′,则阴影部分A′BCDE′F′的面积是()A.3B.4C.D.29.如图,在Rt△ABC中,∠A=20°,AC=6,将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C,当点B′第一次落在AB边上时,点A经过的路径长(即的长)为()A.B.C.2πD.10.如图,点A为x轴上一点,点B的坐标为(a,b),以OA,AB为边构造▱OABC,过点O,C,B的抛物线与x轴交于点D,连结CD,交边AB于点E,若AE=BE,则点C的横坐标为()A.a﹣b B.C.D.二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分):11.如图,直线AB∥CD∥EF,已知AC=3,CE=4,BD=3.6,则DF的长为.12.某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测,结果有980个保温杯质量合格,那么可以估计这批保温杯的合格率约为.13.请写出一个开口向上,且其图象经过原点的抛物线的解析式.14.已知扇形的圆心角为45°,半径为3cm,则该扇形的面积为cm2.15.如图,点P是△ABC的重心,过点P作DE∥AB交BC于点D,交AC于点E,若AB的长度为6,则DE的长度为.16.一根排水管的截面如图所示,已知水面宽AB=40cm,水的最大深度为8cm,则排水管的半径为cm.17.函数y=ax2﹣8ax(a为常数,且a>0)在自变量x的值满足2≤x≤3时,其对应的函数值y的最大值为﹣3,则a的值为.18.如图是一个摩天轮,它共有8个座舱,依次标为1~8号,摩天轮中心O的离地高度为50米,摩天轮中心到各座舱中心均相距25米,在运行过程中,当1号舱比3号舱高5米时,1号舱的离地高度为米.三、解答题(共6小题,共46分):19.有三张分别标有数字2,5,9的卡片,它们的背面都相同.现将它们背面朝上,从中任意抽出一张卡片,不放回,再从剩余的两张卡片里任意抽出一张.(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果.(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率.20.如图,在所给的方格纸中,每个小正方形边长都是1,△ABC是格点三角形(顶点在方格顶点处).(1)在图1画格点△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC相似,相似比为2:1.(2)在图2画格点△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC相似,面积比为2:1.21.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),顶点为C.(1)求A,B两点的坐标;(2)若将该抛物线向上平移t个单位后,它与x轴恰好只有一个交点,求t的值.22.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,过A,C,D三点的圆交BA的延长线于点E,连接EC.(1)求证:∠E=90°;(2)若AB=6,BC=10,求AE的长.23.创客联盟的队员想用3D打印完成一幅边长为4米的正方形作品ABCD,设计图案如图所示(四周阴影是四个全等的矩形,用材料甲打印;中心区是正方形A′B′C′D′,用材料乙打印).在打印厚度保持相同的情况下,两种材料的消耗成本如下表设矩形的较短边AH的长为x米,打印材料的总费用为y元.(1)A′D′的长为米(用含x的代数式表示);(2)求y关于x的函数解析式;(3)当中心区的边长不小于3时,预备材料的购买资金700元够用吗?请利用函数的增减性来说明理由.24.如图,在平面直角坐标系中,A(3,4),B(5,0),连结AO,AB.点C是线段AO上的动点(不与A,O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)AO的长为,AB的长为(直接写出答案)(2)求证:△ACE∽△BEF;(3)若圆心H落在EF上,求BC的长;(4)若△CEG是以CG为腰的等腰三角形,求点C的坐标.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.已知⊙O的半径为4cm,点P在⊙O上,则OP的长为()A.1cm B.2cm C.4cm D.8cm【分析】根据点在圆上,点到圆心的距离等于圆的半径求解.【解答】解:∵点P在⊙O上,∴OP=4cm.故选:C.2.已知=,则的值为()A.B.C.D.【分析】根据比例的性质解答即可.【解答】解:∵,∴,故选:A.3.抛物线y=x2﹣2x+3 的对称轴为()A.直线x=﹣1 B.直线x=﹣2 C.直线x=1 D.直线x=2【分析】把抛物线化为顶点式可求得答案.【解答】解:∵y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,∴对称轴为x=1,故选:C.4.如图,在⊙O中,点M是的中点,连结MO并延长,交⊙O于点N,连结BN,若∠AOB =140°,则∠N的度数为()A.70°B.40°C.35°D.20°【分析】由点M是的中点知=,根据圆心角定理知∠BOM=∠AOB,再由圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案.【解答】解:∵点M是的中点,∴=,∵∠AOB=140°,∴∠BOM=∠AOB=70°,∴∠N=∠BOM=35°,故选:C.5.在一个不透明的口袋里装有2个白球,3个黑球和3个红球,它们除颜色外其余都相同,现随机从袋里摸出1个球,则摸出白球的概率是()A.B.C.D.【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率.【解答】解:∵口袋里装有2个白球,3个黑球和3个红球,∴口袋里共有8个球,∴摸出白球的概率是=;故选:D.6.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,若∠D=3∠B,则∠B的度数为()A.30°B.36°C.45°D.60°【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠B的度数即可.【解答】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=3∠B,∴4∠B=180°,解得:∠B=45°,故选:C.7.已知点A(﹣2,a),B(1,b),C(3,c)是抛物线y=x2﹣2x+2上的三点,则a,b,c 的大小关系为()A.a>c>b B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a【分析】根据二次函数的性质,可以判断出a、b、c的大小关系,本题得以解决.【解答】解:∵抛物线y=x2﹣2x+2=(x﹣1)2+1,∴该抛物线的对称轴是直线x=1,当x>1时,y随x的增大而增大,当x<1时,y随x 的增大而减小,∵点A(﹣2,a),B(1,b),C(3,c)是抛物线y=x2﹣2x+2上的三点,1﹣(﹣2)=3,1﹣1=0,3﹣1=2,∴a>c>b,故选:A.8.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,现将它沿AB方向平移1个单位,得到正六边形A′B′C′D′E′F′,则阴影部分A′BCDE′F′的面积是()A.3B.4C.D.2【分析】连接A′E′,BD,过F′作F′H⊥A′E′于H,得到四边形A′E′DB是矩形,解直角三角形得到F′H=1,A′H=,求得A′E′=2,根据矩形和三角形的面积公式即可得到结论.【解答】解:连接A′E′,BD,过F′作F′H⊥A′E′于H,则四边形A′E′DB是矩形,∵正六边形ABCDEF的边长为2,∠A′F′E′=120°,∴∠F′A′E′=30°,∴F′H=1,A′H=,∴A′E′=2,∵将它沿AB方向平移1个单位,∴A′B=1,∴阴影部分A′BCDE′F′的面积=S△A′F′E′+S矩形A′E′DB+S△BCD=2××2×1+1×2=4,故选:B.9.如图,在Rt△ABC中,∠A=20°,AC=6,将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C,当点B′第一次落在AB边上时,点A经过的路径长(即的长)为()A.B.C.2πD.【分析】根据三角形的内角和得到∠B=70°,根据旋转的性质得到BC=B′C,根据等腰三角形的性质得到∠BB′C=∠B=70°,求得∠ACA′=40°,根据弧长的公式即可得到结论.【解答】解:∵∠ACB=90°,∠A=20°,∴∠B=70°,∵将△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转得到△A′B′C,∴BC=B′C,∴∠BB′C=∠B=70°,∴∠BCB′=40°,∴∠ACA′=40°,∴点A经过的路径长==π,故选:B.10.如图,点A为x轴上一点,点B的坐标为(a,b),以OA,AB为边构造▱OABC,过点O,C,B的抛物线与x轴交于点D,连结CD,交边AB于点E,若AE=BE,则点C的横坐标为()A.a﹣b B.C.D.【分析】利用平行四边形的性质得BC∥OA,BC=OA,设C(x,b),则BC=a﹣t,再证明△EBC≌△EAD得到BC=AD=a﹣t,从而得到抛物线的对称轴为直线x=a﹣t,所以a﹣t ﹣t=a﹣(a﹣t),然后解关于t的方程即可.【解答】解:∵四边形OABC为平行四边形,∴BC∥OA,BC=OA,设C(t,b),则BC=a﹣t,∵BC∥AD,∴∠EBC=∠EAD,在△EBC和△EAD中,∴△EBC≌△EAD(ASA),∴BC=AD=a﹣t,∴点A为OD的中点,∴抛物线的对称轴为直线x=a﹣t,∴a﹣t﹣t=a﹣(a﹣t),∴t=a.故选:C.二.填空题(共8小题)11.如图,直线AB∥CD∥EF,已知AC=3,CE=4,BD=3.6,则DF的长为 4.8 .【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解.【解答】解:∵直线AB∥CD∥EF,∴,即,解得:DF=4.8,故答案为:4.812.某工厂从一批保温杯中随机抽取1000个进行质量检测,结果有980个保温杯质量合格,那么可以估计这批保温杯的合格率约为98% .【分析】根据合格率=合格产品数÷总产品数,得出结果即可.【解答】解:这批保温杯的合格率=980÷1000×100%=98%.故答案为:98%.13.请写出一个开口向上,且其图象经过原点的抛物线的解析式y=x2+x.【分析】由开口方向可确定a的符号,由过原点可确定常数项,则可求得其答案.【解答】解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,∵抛物线开中向上,∴a>0,故可取a=1,∵抛物线过原点,∴c=0,∵对称没有限制,∴可取b=1,故答案为:y=x2+x.14.已知扇形的圆心角为45°,半径为3cm,则该扇形的面积为cm2.【分析】根据扇形的面积公式s=计算即可;【解答】解:s===(cm)2,故答案为.15.如图,点P是△ABC的重心,过点P作DE∥AB交BC于点D,交AC于点E,若AB的长度为6,则DE的长度为 4 .【分析】连接CP并延长交AB于F,由重心的性质得,CP:PF=2:1.根据平行线分线段成比例定理即可得到结论.【解答】解:连接CP并延长交AB于F,由重心的性质得,CP:PF=2:1.∵DE∥AB,∴CD:DB=CP:PF=2:1,∴CD:CB=2:3,∴==,∵AB=6,∴DE=4,故答案为:4.16.一根排水管的截面如图所示,已知水面宽AB=40cm,水的最大深度为8cm,则排水管的半径为29 cm.【分析】过点O作OD⊥AB,交AB于点E,由垂径定理可得出BE的长,在Rt△OBE中,根据勾股定理求出OB的长.【解答】解:过点O作OD⊥AB,交AB于点E,∵AB=40cm,∴BE=AB=×40=20cm,在Rt△OBE中,∵OE=OB﹣8,∴OB2=OE2+BE2,即OB2=202+(OB﹣8)2,∴OB=29cm;故答案为:2917.函数y=ax2﹣8ax(a为常数,且a>0)在自变量x的值满足2≤x≤3时,其对应的函数值y的最大值为﹣3,则a的值为.【分析】根据函数解析式画出函数的大致图象,结合图象解题.【解答】解:∵y=ax2﹣8ax=a(x﹣4)2﹣16a,∴函数y=ax2﹣8ax(a为常数,且a>0)的大致函数图象如图所示,∵在自变量x的值满足2≤x≤3时,其对应的函数值y的最大值为﹣3,∴当x=2时,y最大值=﹣3,即4a﹣16a=﹣3,解得a=.故答案是:.18.如图是一个摩天轮,它共有8个座舱,依次标为1~8号,摩天轮中心O的离地高度为50米,摩天轮中心到各座舱中心均相距25米,在运行过程中,当1号舱比3号舱高5米时,1号舱的离地高度为20 米.【分析】作BA、CD分别垂直于摩天轮水平的直径,A、D为垂足,则∠BAO=∠ODC=90°,∠AOB+∠B=90°,由题意得出∠BOC=90°,OB=OC=25,AB=CD+5,证明△AOB≌△DCO (AAS),得出OA=CD,AB=OD,设OA=x,则AB=x+5,在Rt△AOB中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【解答】解:如图所示:作BA、CD分别垂直于摩天轮水平的直径,A、D为垂足,则∠BAO=∠ODC=90°,∠AOB+∠B=90°,由题意得:∠BOC=90°,OB=OC=25,AB=CD+5,∴∠AOB+∠COD=90°,∴∠B=∠OCD,在△AOB和△DCO中,,∴△AOB≌△DCO(AAS),∴OA=CD,AB=OD,设OA=x,则AB=x+5,在Rt△AOB中,由勾股定理得:x2+(x+5)2=252,解得:x=15,∴AB=15+5=20(米),即号舱的离地高度为20米;故答案为:20.三.解答题(共6小题)19.有三张分别标有数字2,5,9的卡片,它们的背面都相同.现将它们背面朝上,从中任意抽出一张卡片,不放回,再从剩余的两张卡片里任意抽出一张.(1)请用树状图或列表法表示出所有可能的结果.(2)求两张卡片的数字之和为偶数的概率.【分析】(1)首先根据题意画出树状图,得出所有等可能的结果数;(2)根据(1)得出所有等可能的结果数和两张卡片的数字之和为偶数的情况数,再利用概率公式求解即可求得答案.【解答】解:(1)根据题意画图如下:共有6种等可能的结果数;(2)∵共有6种等可能的结果数,抽取的两张卡片的数字之和为偶数的有2种情况,∴两张卡片的数字之和为偶数的概率是:.20.如图,在所给的方格纸中,每个小正方形边长都是1,△ABC是格点三角形(顶点在方格顶点处).(1)在图1画格点△A1B1C1,使△A1B1C1与△ABC相似,相似比为2:1.(2)在图2画格点△A2B2C2,使△A2B2C2与△ABC相似,面积比为2:1.【分析】(1)根据相似比进而得出各边扩大2倍得出答案;(2)根据相似比进而得出各边扩大倍得出答案.【解答】解:(1)如图所示:△A1B1C1即为所求:(2)如图所示:△A2B2C2即为所求:21.如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),顶点为C.(1)求A,B两点的坐标;(2)若将该抛物线向上平移t个单位后,它与x轴恰好只有一个交点,求t的值.【分析】(1)通过解方程x2﹣2x﹣3=0得A点坐标和B点坐标;(2)利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3+t,利用判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4(﹣3+t)=0,然后解关于t的方程即可.【解答】解:(1)当y=0时,x2﹣2x﹣3=0,解得x1=3,x2=﹣1,所以A点坐标为(﹣1,0),B点坐标为(3,0);(2)抛物线y=x2﹣2x﹣3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3+t,则△=(﹣2)2﹣4(﹣3+t)=0,解得t=4.22.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,过A,C,D三点的圆交BA的延长线于点E,连接EC.(1)求证:∠E=90°;(2)若AB=6,BC=10,求AE的长.【分析】(1)连接AD,根据等腰三角形“三线合一”的性质知∠ADC=∠ADB=90°,从而知点A,C,D在以AC为直径的圆上,再根据圆周角定理可得答案.(2)证△BAD∽△BCE得=,将有关线段长度代入计算可得.【解答】解:(1)如图,连接AD,∵AB=AC,D是BC中点,∴AD⊥BC,即∠ADC=∠ADB=90°,∴点A,C,D在以AC为直径的圆上,∴∠E=90°;(2)∵BC=10,∴BD=BC=5,∵∠B=∠B,∠ADB=∠E=90°,∴△BAD∽△BCE,∴=,即=,解得:AE=.23.创客联盟的队员想用3D打印完成一幅边长为4米的正方形作品ABCD,设计图案如图所示(四周阴影是四个全等的矩形,用材料甲打印;中心区是正方形A′B′C′D′,用材料乙打印).在打印厚度保持相同的情况下,两种材料的消耗成本如下表设矩形的较短边AH的长为x米,打印材料的总费用为y元.(1)A′D′的长为4﹣2x米(用含x的代数式表示);(2)求y关于x的函数解析式;(3)当中心区的边长不小于3时,预备材料的购买资金700元够用吗?请利用函数的增减性来说明理由.【分析】(1)根据矩形和正方形的性质解答即可;(2)利用矩形的面积公式和正方形的面积公式解答即可;(3)利用二次函数的性质和最值解答即可.【解答】解:(1)∵AH=GD′=x,AD=4,∴A′D′=4﹣2x;故答案为:4﹣2x;(2)y关于x的函数解析式为:y=60×4×x•(4﹣x)+30×(4﹣2x)2=﹣120x2+480x+480;(3)∵当中心区的边长不小于3米时,∴4﹣2x≥3,解得:x≤0.5,∵y=﹣120x2+480x+480,a=﹣120<0,﹣=2,∴当x≤0.5时,y随x增大而增大,所以当x=时,y=690<700,所以当中心区的边长不小于3米时,预备材料的购买资金700元够用.24.如图,在平面直角坐标系中,A(3,4),B(5,0),连结AO,AB.点C是线段AO上的动点(不与A,O重合),连结BC,以BC为直径作⊙H,交x轴于点D,交AB于点E,连结CD,CE,过E作EF⊥x轴于F,交BC于G.(1)AO的长为 5 ,AB的长为2(直接写出答案)(2)求证:△ACE∽△BEF;(3)若圆心H落在EF上,求BC的长;(4)若△CEG是以CG为腰的等腰三角形,求点C的坐标.【分析】(1)利用两点间距离公式计算即可;(2)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断;(3)当GC=GE时,点G与点H重合,根据三角函数和勾股定理解答即可;(4)分两种情形画出图形分别求解即可解决问题;【解答】解:(1)∵A(3,4),B(5,0).∴OA==5,OB=5,AB=.故答案为:5;2.(2)如图1中,∵OA=OB=5,∴∠A=∠EBF,∵BC是直径,∴∠BEC=∠AEC=90°,∵EF⊥OB,∴∠EFB=90°,∴∠AEC=∠EFB=90°,∴△ACE∽△BEF.(3)如图2中,当GC=GE时,点G与点H重合,∴GE=GB=GC,∴∠GEB=∠EBG,∵∠GEB+∠ABO=90°,∴∠EBG+∠ABO=90°,∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠A+∠EBG=90°,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AO,∴OC=OB•cos∠AOB=3,∴BC=;(4)①如图2中,当GC=GE时,点G与点H重合,∴GE=GB=GC,∴∠GEB=∠EBG,∵∠GEB+∠ABO=90°,∴∠EBG+∠ABO=90°,∵OA=OB,∴∠A=∠OBA,∴∠A+∠EBG=90°,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AO,∴OC=OB•cos∠AOB=3,∴C(,).②如图3中,当CE=CG时,作AK⊥OB于K.设CD=4k,OD=3k.∵CE=CG,∴∠CEG=∠CGE=∠BGF,∵∠CEG+∠BEF=90°,∠BGF+∠CBD=90°,∴∠CBD=∠BEF,∵EF⊥OB,AK⊥PB,∴EF∥AK,∴∠BEF=∠BAK,∴∠CBD=∠BAK,∵∠CDB=∠AKB=90°,∴△CBD∽△BAK,∴,∴,∴k=,∴C(,).。