数列的极限【知识概要】1. 数列极限的定义1）数列的极限，在n 无限增大的变化过程中，如果数列{}n a 中的项n a 无限趋向于某个常数A ，那么称A 为数列{}n a 的极限，记作lim n n a A →∞=. 换句话说，即：对于数列{}n a ，如果存在一个常数A ，对于任意给定的0ε>，总存在自然数N ，当n N >时，不等式n a A ε-<恒成立，把A 叫做数列{}n a 的极限，记为lim n n a A →∞=.注：① 理解数列极限的关键在于弄清什么是无限增大，什么是无限趋近； ② 有限项的数列不存在极限问题，只有无穷项数列才存在极限问题； ③ 这里的常数A 是唯一的，每个无穷数列不一定都有极限，例如：{(1)}n-；④ 研究一个数列的极限，关注的是数列后面无限项的问题，改变该数列前面任何有限多个项，都不能改变这个数列的极限；⑤ “无限趋近于A ”是指数列{}n a 后面的项与A 的“距离”可以无限小到“零”.例1 判断下列结论的正误（1）若lim 0n n a →∞=，则n a 越来越小；（2）若lim n n a A →∞=，且{}n a 不是常数数列，则n a 无限接近A ，但总不能达到A ；（3）在数列{}n a 中，如果对一切n N ∈总有1n n a a +>，则{}n a 没有极限； （4）若lim n n a A →∞=，则lim 0n n a A →∞-=.解：（1）不正确，例如：1n a n=-，1n n a a +> （2）不正确，例如：2)21n n a n n n ⎧⎪=⎨⎪+⎩，（为偶数，（为奇数），lim 2n n a →∞=.（3）不正确，例如：11n a n=-，1n n a a +>，但lim 1n n a →∞=.（4）正确2. 数列极限的运算性质1）数列极限的运算性质如果lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，那么① lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；② lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；③ lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠. 特别地，如果C 是常数，那么lim()lim lim .n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅2）四种常见的重要极限（1）lim n C C →∞= （2）1lim0n n →∞= （3）lim 0(11)nn q q →∞=-<< （4）1lim(1)n n e n→∞+=例2 下列命题中正确的命题是（ ） （A ）若lim n n a A →∞=，lim n n b B →∞=，则limn n na Ab B →∞=（B ）若lim 0n n a →∞=，则lim()0n n n a b →∞=（C ）若22lim n n a A →∞=，则lim n n a A →∞=（D ）若lim n n a A →∞=，则22lim n n a A →∞=解：选（D ）例3 已知lim[(21)]2n n n a →∞-=，求lim n n na →∞.解：1lim lim(21)lim21212n n n n n n na n a n →∞→∞→∞=-⋅=⨯=-例4 求下列数列的极限（1）若*621,16()1,72n n n n a n N n --≤≤⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩，则lim 0n n a →∞= ， lim 37n n S →∞=. （2）22211lim 232n n n n n →∞+-=-+；（3）1n =；（4）211lim 21nn n n e→∞-⎛⎫= ⎪+⎝⎭； （5）1111lim(1)(1)(1)(1)0;234n n →∞----=（6）21231lim 2n n n →∞++++=.3.数列极限常见的解题技巧现阶段求数列的极限，总是把被求极限的数列变形四个常见的基本极限，再依据极限的四则运算法则求解。

所谓的解题“技巧”，也就是如何变形的问题。

一般来说，关于n 的数列通项()n a f n =，如果仅仅只在底数的位置中含序号n ，往往变形为1()F n ，利用1lim0n n→∞=求解；如果仅仅只在指数的位置中含序号n ，往往变形成()n F q ，利用lim 0n n q →∞=求解；如果既在底数的位置中含序号n ，又在指数的位置中含序号n ，往往变形成1[(1)]n F n +的形式，利用1lim(1)n n e n→∞+=求解.同时遵循先化简再变形的原则.例5 若lim(34)8,lim(6)1n n n n n n a b a b →∞→∞+=-=，求lim(3).n n n a b →∞+解：根据3(34)(6)n n n n n n a b x a b y a b +=++-求解，可得lim(3) 3.n n n a b →∞+=【课堂练习】1. 下列命题正确的是（ ） ①数列(){}31n-没有极限 ②数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n n21的极限为0 ③数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n233的极限为3 ④ 数列()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧n n 32没有极限 A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④答案：D2. 命题：①单调递减的无穷数列不存在极限；②常数列的极限是这个常数本身；③摇摆的无穷数列不存在极限.以上命题正确的是( )A.0B.1C.2D.3答案：B. 由极限的定义仅有②是正确的.①的反例是a n =n1这是无穷单调递减数列，它的极限是零；③的反例是a n =n n 2)1(1--它是摇摆的无穷数列，它的极限是零.因为|a n －0|=|n n 2)1(1--－0|=n21可以任意小.故选B.3. 已知1a b >>，则∞→n lim 1111-++++-n n n n b a b a 的值是( B )A.－abB.a1C. b -D.不存在 4. 设n S 是无穷等比数列的前n 项和,若lim n n S →∞=41,则首项1a 的取值范围是( C )A. （0，41）B.（0，21）C.（0，41）∪（21,41） D.（0，41）∪（21，1）5. 在数列{}n a 中，若lim(31)1n n n a →∞-=,则lim n n na →∞=___________.6.设数列{}n a ,{}n b 均为等差数列，（公差都不为零），∞→n limnnb a =3,则∞→n limnna nb b b 3221⋅⋅⋅⋅++=___________. 7. 已知∞→n lim 21()01n an b n +--=+，则a =___________,b =___________.8. 已知无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q 且有∞→n lim （21)21=--n q q a ，则首项1a 的取值范围是___________. 答案： 5. 31 6. 92 7. 1 －1 8. 21＜a 1≤23,且a 1≠1.9. 若021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，则a 的取值范围是（ ）A ．1=aB ．1-<a 或31>a C ．311<<-a D ．31-<a 或1>a 分析：由0lim =∞→nn a （a 为常数），知1<a ，所以由已知可得121<-aa，解这个不等式就可求得a 的取值范围．解：由021lim =⎪⎭⎫⎝⎛-∞→nn a a ，得121<-a a ， 所以a a 21<-，两边平方，得：224)1(a a <-，0)1)(13(,01232>+->-+a a a a ，所以1-<a 或31>a ．答案 B10. 在数列{}n a 中，已知113a =，且12(2)n n n a S S n -=-≥，求2lim n n n a S →∞. 解：222(21)lim lim 2(21)(21)n n n na n S n n →∞→∞-+==-+-11. 已知22()4f x x =+ (x ＞0),设2*111,()2()n n a a f a n N +=⋅=∈， 求：(1)数列{}n a 的通项公式；（2）∞→n lim22232244n n a n a n bb ⨯+--解：（1）由a n +12·f (a n )=2,得a n +12·422+n a =2 ∴a n +12－a n 2=4 ∴{a n 2}是以1为首项，4为公差的等差数列，∴a n 2=1+4(n －1)=4n －3 ∵a n ＞0 ∴a n =34-n(2)原式=∞→n lim 3424342324---⨯+-n n n n b 当|b |＜2,即－2＜b ＜2时，原式=－31当|b |=2，即b =±2时，原式=57 当|b |＞2，即b ＞2或b ＜－2时，原式=b2综上，原式=21,(22)37,(2)5,(22)b b b b b ⎧--<<⎪⎪⎪=±⎨⎪⎪><-⎪⎩或12. 如图，在边长为I 的等边△AB C 中，圆1O 为△ABC 的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与AB 、BC 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为n a ，*()n N ∈. (Ⅰ)证明{}n a 是等比数列； （Ⅱ）求123lim()n n a a a a →∞++++的值.解：（Ⅰ）记r n 为圆O n 的半径.r 1=21tan30°=63l ，n n n n r r r r +---11=sin30°=21∴r n =31r n －1(n ≥2) ∴a 1=πr 12=122l π91)(11==--n n n n n r r a a ∴{a n }成等比数列. （Ⅱ)∵a n =(91)n－1·a 1(n ∈N ) ∴∞→n lim （a 1+a 2+…+a n )=32391121l a π=-.13. 设数列{}n a 满足32123a a a +++…+n a n =a 2n－1, {}n a 的前n 项和为*(0,1,)n S a a n N >≠∈.(1)求{}n a ； (2)求∞→n limna S nn)1(2-； （3）求证：12(2)(1)(2)2(1)n n n n n a n n a n n a ++++++<+ 解：（1） ∵a 1+na a a n +⋅⋅⋅++3232=a 2n －1 ∴a 1+132132-+⋅⋅⋅++-n a a a n =a 2(n －1)－1(n ≥2) ∴a2(n －1)－1+na n =a 2n －1 ∴a n =n (a 2n －a 2n －2)(n ≥2) ∵a 1=a 2－1 ∴当n =1时，等式亦成立. ∴a n =n (a 2n－a 2n －2)n ∈N *(2)由（1）a n =n (a 2n －a 2n －2)=n (a 2－1)a 2n －2 ∴S n =(a 2－1)(1+2a 2+3a 4+…+na 2n －2) a 2S n =(a 2－1)(a 2+2n 4+…+(n －1)a 2n －2+na 2n ) a 2S n －S n =－(1+a 2+a 4+…+a 2n －2－na 2n )(a 2－1)(a 2－1)S n =－(1122--a a n －na 2n )(a 2－1) ∴S n =－)1(212--a a n +na 2n∞→n lim =-n a S n n )1(2∞→n lim n a a a na n n n)1(112222----=∞→n lim ［)1(11222---a n a a n n ］=220,(1)1,(1)a a ⎧<⎪⎨>⎪⎩． (3)若要证（n +2)(n +1)a n +n (n +2)a n +1＜2n (n +1)a n +2，只要证11+++n a n a n n ＜2·22++n a n ∵2·1212+--+++n a n a n a n n n =2×1)1)(1()1(2)1)(2(22222222+-+---+-+-+n a a n n a a n n a a n nn n=(a 2－1)·a 2n －2(2a 4－1－a 2)=(a 2－1)2·a2n －2(2a 2+1)＞0∴原不等式成立.【真题演练】14. 求11122lim 11144nn n→∞+++++的值为（ ）(A). 0 (B). 32 (C). 12(D). 1答案：(B)15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若6312,a S ==则2lim nn S n →∞=________.答案：1。