旋转证明一． 利用旋转添加辅助线例1. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终045=∠EAF .过点A 做AP ⊥EF.（1）求证：EF=DE+BF.(2)求证：AP=AD. （3）若△EFC 周长为a ，求正方形的面积.变式1：如图，点M 、N 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，已知AB=a ，△MCN 的周长为2a ， 求证：∠MAN=45°1.如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB ⊥BC,AD=2,BC=3,将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90到ED ，连结AE 、CE,则△ADE 的面积是 。

2.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的动点，且始终满足AF 平分BAE ∠， 探究：BF 、DE 与AE 的关系. 5.如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF=45°，则有结论EF=BE+FD 成立。

（1）如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B=∠D=90°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°，延长BC 到点E ，延长CD到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF=BE+FD 是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立。

请写出它们之间的数量关系，并证明。

例2.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO 且AO=2,BO=1,CO=3,求∠AOB ，∠BOC 的度数分别是多少？2.如图，点D 为等边△ABC 外一点，030=∠ADC ,AD=4,CD=3，求BD 的长。

3.在等边△ABC 中，O 为△ABC 内一点，连接AO 、BO 、CO ，有∠AOB ＝0150，∠BOC=0120.问：AO 、BO 、CO 三条线条能否构成一个三角形若能，求出这个三角形的三个内角分别是多少度？若不能，请说明理由。

25（09朝阳一模）. （本小题8分）图① 图② （1） 已知：如图①，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°. 求证：线段DE 、AD 、EB 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图②，等边三角形ABC 中，点D 、E 在边AB 上，且∠DCE=30°，请你找出一个条件，使线段DE 、AD 、EB 能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数； （3）在（1）的条件下，如果AB=10，求BD·AE 的值． 25（09西城一模）．已知：PA =，4PB =，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧.（1）如图，当∠APB=45°时，求AB 及PD 的长； （2）当∠APB 变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB 的大小. 二． 旋转型相似 例1.图1是边长分别为a 和b （a ＞b ）的两个等边三角形纸片ABC 和C ′DE 叠放在一起（C 与C ′重合）的图形．A BCD EFA B D CE F A D M BC NA B C E DAB CD（如图2）C （如图3）C（如图1)（1）操作：固定△ABC ，将△C ′DE 绕点C 按顺时针方向旋转30°，连结AD ，BE ，如图2；在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．（2）操作：若将图1中的△C ′DE 绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度，连结AD ，BE ，如图3；在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论． （3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段AD 的长度最大？是多少？当为多少度时，线段AD 的长度最小？是多少？（不要求证明）图1 图2 图3例2. 如图为等边△ABC 和菱形BDEF,∠DBF=60°（1）观察图形○1,猜想AF 与CD 之间有怎样的数量关系?直接写出结论,不必证明.（2）将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转,使菱形BDEF 的一边落在等边△ABC 内部,在图○2中画出一个变换后的图形,并对照已知图形标记字母,请问:(1)中的结论是否依然成立?若成立请证明;若不成立,请说明理由;（3）在上述旋转过程中,AF 与CD 之间所夹的锐角度数是否发生变化?若不变,请你求出它的度数,并说明理由;若改变,请说明它的度数是如何变化的. 练习1．点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC的同侧作ABE ∆和BCF ∆，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ． （1）若ABE ∆和FBC ∆是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ∆ 是 三角形．（2）在ABE ∆和BCF ∆中，若BA=BE,BC=BF,且α=∠=∠FBC ABE ，（如图2），则MBN ∆是三角形，且=∠MBN .（3）若将（2）中的ABE ∆绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.B 、在同一直上，A 、D 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。

(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；AC B DF E○1 ACB ○2(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。

在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。

请你任选其中一个结论证明。

4、我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另外一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形。

（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：（2）如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，垂足为O 。

求证：AD 2+BC 2=AB 2+DC 2。

即四边形ABCD 是等平方和四边形。

（3）如果将图①中的△AOD 绕点O 按逆时针方向旋转a 度（0<a<90°）后得到图，那么四边形ABCD 能否成为等平方和四边形？若能，请证明；若不能，请说明理由。

三．正方形中的旋转例1.如图1已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF)，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针 方向旋转。

(1)在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。

①证明DM ＝DN ；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；(2)继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。

练习：1.已知∠AOB=900，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的 两条直角边分别与OA 、OB(或它们的反向延长线)相交于点D 、E ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC ．当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两 种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的 数量关系?请写出你的猜想，不需证明．2.（08平谷一模25）．在图中，把一副直角三角板ABC 和EFG （其短直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合．现将三角板EFG 绕点O 顺时针旋转（旋转角α满足条件：o 0900<α<），四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）． （1）在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系？四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）联结HK ，在上述旋转过程中，设BH=G ，△GKH 的面积为y ，求y 与G 之间的函数关系式，并写出自变量G 的取值范围；（3）在（2ABC 面积的1？若存在，求出此时G3.（08延庆一模23）．（1的直角的=顶点D 放在Rt △A图1是△ABC 的面积的 ；（2）如图10－2，点D 不动，将Rt △DEF 绕着顶点D 旋转α（0°＜∠α＜90°），这时两块三角板重叠部分为任意四边形DNCM ，这时四边形DNCM 的面积是△ABC 的面积的 ； （3）若Rt △DEF 的顶点D 在AB 上移动（不与点A 、B 重合），且两条直角边与Rt △ABC 的两条直角边相交，是否存在一点，使得两块三角板重叠部分的面积是Rt △ABC 的面积的49，如果存在，请在图10－3中画出此时的图形，并说明点D 在AB 上的位置。

如果不存在，说明理由。

已知△0,点D 为.E 、点F,求出重AB 于点E 、另一条直角边交AB的延长线于点F,设AE ＝x y ，求出 y 与x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围；（3）若2BD CD =,将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ，设CF=(1)x x >，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系，并写出自变量x 的取值范围 ．24（09一模）ABCD和方形是MN 交F ，QM 交AD 于E ．（1）猜想：ME 与MF 的数量关系（2）如图24－2其它条件不变，探索线段ME 与线段 （3）如图24－3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且其它条件不变，探索线段ME 与线段MF 的数量关系， （4）如图24－4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M =∠B ，AB:BC = m ，其它条件不变，求出ME ：MF 的值。