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资产组合的风险价值计算公式
❖ 基本假设：资产组合中的所有证券的投资回 报率满足正态分布，从而资产组合作为正态
变量的线性组合也满足正态分布。
V a R R P P P 1 c r P t
V a R A P P P 1 c r P t r P t
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Rit Ri
Rjt Rj
i,j1, ,n
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超额收益矩阵法
❖ 记超额收益矩阵为 A，则：
R11R1nRnmn
方差-协方差矩阵的计算公式为：
ij
1ATA nn m
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2、相关系数与标准差相乘法
由于任意两个资产之间的协方差为两只资产的标准差与它们 之间相关系数的乘积，所以我们先计算出任何一种资产的标 准差以及任意两个资产之间的相关系数，就可以计算出任意 两个资产之间的协方差。设标准差矩阵、相关系数矩阵为：
4、单因素模型分析
1. 单因素模型 ①基本方程 ②模型假设 ③模型定义
2. 单一资产的期望收益率、标准差与协方差 3. 投资组合的期望收益率、方差 4. 单因素模型的组合收益结构推论
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4.1单因素模型分析
单因素模型认为，当股市上涨或下跌时，大多数资产价格都会上涨或下 跌。
e 2 i E e i E e i2 E e i2
m 2 ER m E R m 2
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2、推论1：单一资产的期望收益 率、标准差与协方差分别是：
E R iiiE R m
2 2 2 2
i
i m ei
ij ijm 2
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推导：单一资产的期望收益率
式、软件实现
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1、超额收益矩阵法
❖ 设区间内有m 个交易日， 分别表示第 n只股
票在第 m期的收益率，由定义可知：
R i m 1tm 1R it, i1, ,n
ij covRi,Rj
ERit Ri
Rjt Rj
ERitRjt ERit ERjt
1m mt1
这说明资产收益彼此相关、协同变动的原因就是对市场变动的共同反应。 通过将资产收益与资产市场因素收益联系起来，就可以得到相关性指标。
如果使用市场收益作为解释因素的单因素模型就称作市场模型（Market Model）。市场模型是从资产收益和市场收益之间的线性关系开始的：
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4.2 单因素模型
wiwjijm2
w2 2 i ei
i1
i1 j1
i1
ji
nn
n
wiwjijm2
w2 2 i ei
i1 j1
i1
n
wii
n
wjj m2
n
w2 2 i ei
i1
j1
i1
n
p 2
2 p
m 2
w2 2 i ei
i1
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5、多因素模型
1. 三个常用的多因素模型： ① 基本多指数模型 ② 行业指数模型 ③ 三因素模型
一、VaR的含义
假设欧元汇率的收益率服从正态分布，即：
RM,t1MtM 1t Mt
这样，投资在欧元上的价值变化为：
V t 1V t 1V t10m ilM t 110m ilM t 10m ilM t(M M t t1) 10m ilM t
= $13.7610 mil RMt1 也服从正态分布。
根据
R
M
t
的分布密度，我们可以画出
1
Vt 1
的分布图(Figure
1
with
a daily volatility =0.6% )
1% VaR 是(负数)这样一个数据，即只有 1%的概率使得我们资 产的变化低于这个数值。
Area=1%,the VaR is 192048.52
例子：考虑前面欧元的例子。 组合价值的变化为： V t 1V t 1V t
n
n
n
p2 wiwjij w1 whh1w2 whh2 wN whhn
i1 j1
h1
h1
h1
n whh1
n
whh2
n whhnw1 w2
wn T
h1
h1
h1
11 12
1n
w1 w2
wn21 22
2nw1 w2
wn T
n1 n2 nn
WTW
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方差-协方差矩阵的计算方法
❖ 主要有两类五种： ❖ ①根据协方差的定义，利用超额收益矩阵计算； ❖ ②根据相关系数的定义与计算公式，利用相关
系数矩阵及标准差矩阵计算。
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资产组合的收益率与方差计算
❖ ③期权隐含参数法
❖ ④利用单因素模型的简化计算
❖ ⑤利用多因素模型的简化计算
❖ 三种常用的表示、计算方法：代数式、矩阵
n
wi2i2m 2
wi wji jm 2
w2 2 i ei
i1
i1 j1
i1
ji
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4.2 单因素模型的推论3：
n
p wii i1
n
p wii i1
E R pp p E R m
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推导：组合的方差
n
nn
n
p2 wi2i2m2
n
E Rp wi ERi i1
n
wi i i ERm i1
n
n
wii wi i ERm
i1
i1
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推导：投资组合的方差
n
nn
p2 wi i2
wi wj ij
i1
i1 j1
n
nn
wi i2m 2 e2i
wi wj i jm 2
i1
i1 j1
n
nn
同理可得相对风险价值计算式：
V a R RP 0 1(c)
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资产组合的方差－协方差法
假定资产组合包括N种证券，各证券在t时刻末
的投资回报率为Ri，各证券在资产组合中所
占的比重为wi，则在t时刻资产组合的投资回
报率为：
N
Rp,t wi,tRi,t
i1
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资产组 合的标 准差
VaR
单个证券 收益的标 准差
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资产组合风险价值的计算：符号定义
❖ 为计算资产组合的VaR，我们定义：
1.P0为初始投资额； 2.R为计算期间的投资回报率，假设R的均值为
μ，方差为σ2；
3.Pt为期末资产组合的价值，Rt、Wt都是随机
变量；
4.c为置信水平。
ijm 2
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3、推论2： 投资组合的期望收益率与方差
n
n
E R pw i iw iiE R m
i 1
i 1
n
nn
n
p 2w i2i2m 2 w iw j i j m 2w i2e 2 i
i 1
i 1j 1
i 1
j i
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推导：投资组合的期望收益率
。
P r ( V t 1 V () ) 1
这样，100%， 1 day Value at Risk 为：
VaR = V()
负号表示VaR测量的是损失而不是收益。
将 M 0 ,M . 6 % , z ( . 9 9 ) 2 . 3 2 6 a n d M t 1 . 3 7 6 1 代入，得：
VaR=-(-2.326 * 13.7610 mil *1.3761*.006) =$ 192048.52
风险价值的方差-协方差计算法
❖ 单一资产风险价值的方差-协方差计算 ❖ 资产组合风险价值的方差-协方差计算
超额收益矩阵计算法 协方差计算公式 单因素映射计算 多因素映射计算
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2. 单一资产的收益结构 3. 资产组合的收益结构
资产组合的收益率与方差计算
❖ 资产组合的收益期望值：
N
N
u P E R P =w iE R i w iu i
i 1
i 1
❖ 资产组合的方差：
NN
P 2V arR P w iw j ij i 1j 1
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资产组合方差的矩阵计算法
❖ 如果设方差-协方差矩阵表达式为：
11 12
B T1 2
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11 12
n
21
22
n1 n2
1n
2n
nn
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相关系数与标准差相乘法
11 12
计算公式为：
ij
21
nn
22
1n
2n
n1
n2
nn
11,1 1
2
2 ,1
1
11,2 2 2 2,2 2
11,n n
2
2,n
n
i2m2 e2i
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推导：单一资产的协方差
ijE R iER i
RjERj
E iiR meiiiER m jjR mej jjER m
E iR mER mei jR mER mej
ijER mER m2jE eiR mER m iE ejR mER m Eeiej