2
y1
)
dy1 dx

2
y1
，
即
d 2 y1 dx2

dy1 dx
2
y1
0
，
特征方程为r 2 r 20 ，r11 ，r2 2 ，
∴ y1c1e x c2e2x ，
y2 c3e2x ，
y3

dy1 dx

2
y1

y2
c1e x 2c2e2x 2(c1e x c2e2x )c3e2x
dx dz
sinx2 cos x 4
yz y2z
的通解。
dx
解：对第一个方程求导，得
d2y dx2
cos x 2 dy dx

dz dx
，
由第一个方程得 zsinx2 y dy ， dx
代入第二个方程，得 dz cosx4 y2(sinx2 y dy )
dx
dx
cosx2sinx2dy , dx
即 cosx2dy dz 2sinx ， dx dx
∴
d2y dx2
2sinx
，
dy dx

2cosx
C1
，
y2sinxC1xC2 ，
zsinx2(2sinxC1xC2 )(2cos xC1)
3sinx 2cos x 2C1 x (2C2 C1 ) 。
由上面两式得
dx dt

2x
(C1
C2 )et
,
解得 x e2t [ (C1 C2 )ete2tdt C3 ]

e 2t [1 3
(C1
C2 )e3t

C3],
即
x

C3e 2t

1 3
(C1
C2 )et
，
y

C3e 2t

1 3 (C2
2C1)e t
dy1
dx dy2
dx
a11( x) y1 a12( x) a21( x) y1 a22( x)
y2 y2
a1n( x) yn g1( x) a2n( x) yn g2( x)
(1)



dyn dx
an2

ann (
x)
(4c2 c3 )e2x c1e x .
例
3．求微分方程组

dx y z dt dy z x dt dz x y dt
的通解。
解：由第一个方程和第二个方程得： d( x y) ( x y) ， dt
x y C1et ，
同理得 x z C2et ，
例
2．求微分方程组

dy1 dx

2
y1

y2

y3
dy2 dx

2
y2
dy3 dx

4
y1

y2

3
y3
的通解。
解：
d 2 y1 dx2
2dy1 dx

dy2 dx

dy3 dx

2
dy1 dx
4
y1
3
y2

3
y3

2dy1 dx
4
y1

3(
dy1 dx
§4.5 一阶常系数线性微分方程组解法举例
一阶微分方程组的一般形式

dy1
dx dy2
dx

f1( x, y1, y2 , f2( x, y1, y2 ,
, yn ) , yn )



dyn dx

fn(
x,
y1 ,
y2
,
,
yn
)
一阶线性微分方程组

，
z
C3e2t

1 3 (C1
2C2 )e t
。
yn

gn
(x)
若 gi ( x)0 (i1, 2, , n) ，则称方程组（1）为齐次的，
否则称为非齐次的。
若 aij ( x) (i, j1, 2, n)为常数 ，则称方程组（1）为
一阶常系数线性微分方程组。
4.5.1 消元法—转化为高阶线性微分方程
例
1．求微分方程组



dy