82
§2
平稳时间序列模型
这里的平稳是指宽平稳，其特性是序列的统计特性不随时间 的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。 下面自回归模型（Auto Regressive Model）简称 AR 模型，移 动平均模型（Moving Average Model）简称 MA 模型，自回归移 动平均模型（ Auto Regressive Moving Average Model ）简称 ARMA 模型。 下面的 X t 为零均值 （即中心化处理的） 平稳序列。 （1）一般自回归模型 AR( n ) 假 设 时 间 序 列 X t 仅 与 X t 1 , X t 2 ,, X t n 有 线 性 关 系 ， 而 在
j 0

(1) S （2）式表明 t 是全部历史数据的加权平均，加权系数分别为
, (1 ), (1 ) 2 ,；显然有 j ( 1 ) 1 1 (1 ) j 0
由于加权系数序列呈指数函数衰减，加权平均又能消除或减弱 随机干扰的影响，所以（2）称为一次指数平滑，类似地，二次 指数平滑公式为：
上式还可以表示为
at X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n
可见， AR(n) 系统的响应 X t 具有 n 阶动态性。 AR(n) 模型通过 把 X t 中的依赖于 X t 1 , X t 2 ,, X t n 的部分消除掉之后， 使得具有
1) (1) (1) St(1) yt (1 )St( S ( y S 1 t 1 t t 1 ) （1）
假定历史序列无限长，则有
S
(1) t
yt (1 )[yt 1 (1 ) S
(1) t 2
] (1 ) j yt j （2）
574.6 606.9 892.7 963.9
1015.1 1102.7
平均值一次移动
解：
1 (1) M ( y t yt 1 y t 3 ) ， t 首先计算出 4
t 4,5,,11
(1) (1) ˆ y M ˆ t 4 , 5 , , 11 y M 由于 t 1 ，则 12 t ， 11 993.6，预
(1) 1) t 1,2,,8 S0 y1 ， St(1) yt (1 )St( 1，
求得
(1) ˆ 9 S8 y 17.18
预测标准误差为：
ˆ (y
t 2 8 t
S
yt ) 2 7
0.96
计算的 Matlab 程序如下： alpha=0.4; y=[16.41 17.62 16.15 15.54 17.24 16.83 18.14 17.05]; s1(1)=y(1); for i=2:8 s1(i)=alpha*y(i)+(1-alpha)*s1(i-1); end yhat9=s1(end) sigma=sqrt(mean((s1(1:end-1)-y(2:end)).^2))
2) St( 2) St(1) (1 )St( 1
（3）
同理，三次指数平滑公式为：
3) St(3) St( 2) (1 )St( 1
（4）
一般 P 次指数平滑公式为：
P) St( P) St( P1) (1 )St( 1
（5）
利用指数平滑公式可以建立指数平滑预测模型。原则上说， 不管序列的基本趋势多么复杂，总可以利用高次指数平滑公式 建立一个逼近很好的模型，但计算量很大。因此用的较多的是 几个低阶指数平滑预测模型。
，
TN
最近 N 期序列值的平均值作为未来各期的预测结果。 一般 N
N 200 。当历史序列的基本趋势变化就较大
且序列中随机变动成分较多时， N 的取值应较大一些。否则 N 的取值应小一些。 在有确定的季节变动周期的资料中， 移动平均 的项数应取周期长度。选择最佳 N 值的一个有效方法是，比较 若干模型的预测误差。均方预测误差最小者为好。
例1
某企业 1 月～11 月份的销售收入时间序列如下表所
示。取 N 4 ，试用简单一次滑动平均法预测第 12 月份的销售 收入，并计算预测的标准误差。 月份 t 销售收入 y 月份 t 销售收入 y
t t
1 533.8 7 816.4
2 8
3 9
4 649.8 10
5 705.1 11
6 772.0 12
时间序列模型
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且相互关联的数 据序列。 时间序列根据所研究的依据不同，可有不同的分类。 1．按所研究的对象的多少分，有一元时间序列和多元时间序 列。 2．按时间的连续性可将时间序列分为离散时间序列和连续时 间序列两种。 3．按序列的统计特性分，有平稳时间序列和非平稳时间序 列。 4．按时间序列的分布规律来分，有高斯型时间序列和非高 斯型时间序列。
（2）如果预测目标的基本趋势已发生系统地变化，则 值应 取得大一些。这样，可以偏重新数据的信息对原模型进行大幅 度修正，以使预测模型适应预测目标的新变化。 另外，由于指数平滑公式是递推计算公式，所以必须确定初
(1) ( 2) (3) S , S , S 始值 0 0 0 。可以取前 3～5 个数据的算术平均值作为初
指数平滑预测模型是以时刻 t 为起点，综合历史序列的信息， 对未来进行预测的。选择合适的加权系数 是提高预测精度的 关键环节。根据实践经验， 的取值范围一般以 0.1～0.3 为宜。
值愈大，加权系数序列衰减速度愈快，所以实际上 取值大
小起着控制参加平均的历史数据的个数的作用。 值愈大意味 着采用的数据愈少。因此，可以得到选择 值的一些基本准则。 （1） 如果序列的基本趋势比较稳， 预测偏差由随机因素造成， 则 值应取小一些，以减少修正幅度，使预测模型能包含更多 历史数据的信息。
通常用 Tt 表示长期趋势项， St 表示季节变动趋势项， Ct 表示 循环变动趋势项， Rt 表示随机干扰项。常见的确定性时间序列 模型有以下几种类型： （1）加法模型
yt Tt S t Ct Rt
（2）乘法模型
yt Tt St Ct Rt
（3）混合模型
yt Tt St Rt yt St Tt Ct Rt
M t(1) 1 ( y t y t 1 y t N 1 ) N 1 1 1 1) ( y t 1 y t N ) ( y t y t N ) M t( ( yt yt N ) 1 N N N
二次移动平均值计算公式为：
M t( 2) 1 1 1) ( 2) 1) ( M t(1) M t( ) M ( M t(1) M t( N 1 t 1 N) N N
2 2 其中 yt 是观测目标的观测记录， E ( Rt ) 0 ， E( Rt ) 。
如果在预测时间范围以内， 无突然变动且随机变动的方差
2
较小，并且有理由认为过去和现在的演变趋势将继续发展到未 来时，可用一些经验方法进行预测，具体方法如下：
1.1
移动平均法
设观测序列为 y1 , , yT ，取移动平均的项数 N T 。一次 移动平均值计算公式为：
下面进行预测误差分析，取
ˆ t 1 at bt (2S t(1) S t( 2) ) y
1 ( S t(1) S t( 2) ) S t(1) ( S t(1) S t( 2) ) 1 1
1.21
预测标准误差
S
ˆ (y
t 1
8
t
yt ) 2
权数的结构越复杂，但永远保持对称的权数，即两端项权数小， 中间项权数大，不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据 对未来值的影响是随时间间隔的增长而递减的。所以，更切合 实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权平均作为预 测值。指数平滑法可满足这一要求，而且具有简单的递推形式。
设观测序列为 y1 ,, yT ， 为加权系数， 0 1 ，一次指数 平滑公式为：
（3）
二次曲线趋势预测模型－Brown 单系数二次式平滑预测
ˆ t m a t bt m y 1 Ct m 2 ， m 2
1,2,
(1) ( 2) ( 3) a 3 S 3 S S 其中 t t t t ，
bt
(1) ( 2) ( 3) [( 6 5 ) S 2 ( 5 4 ) S ( 4 3 ) S t t t ]， 2 2(1 )
§1
确定性时间序列分析方法概述
时间序列预测技术就是通过对预测目标自身时间序列的处 理，来研究其变化趋势的。一个时间序列往往是以下几类变化 形式的叠加或耦合。 （1）长期趋势变动。它是指时间序列朝着一定的方向持续上 升或下降，或停留在某一水平上的倾向，它反映了客观事物的 主要变化趋势。 （2）季节变动。 （3）循环变动。通常是指周期为一年以上，由非季节因素引 起的涨落起伏波形相似的波动。 （4）不规则变动。通常它分为突然变动和随机变动。
（1）一次指数平滑预测
ˆ t 1 St(1) ， y
（2）线性趋势预测模型－Brown 单系数线性平滑预测（二次 指数平滑预测）
ˆ t m at bt m ， m 1,2, y
其中 at 2( S t(1) S t( 2 ) ) 1
at X t 1 , X t 2 ,, X t n 已知条件下，X t 与 X t j ( j n 1, n 2,) 无关，
2 是一个独立于 X t 1 , X t 2 ,, X t n 的白噪声序列， at ~ N (0, a ) 。
X t 1 X t 1 2 X t 2 n X t n at