了毕生精力.
姜立. 夫
9
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3
巩固练习
练1. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．连 接OP和OQ分别交AB、CD于M、N. 求证：M 、N、P、Q四点共圆.
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4
提高练习
练2. 在锐角△ABC中，以BC为直径作圆与BC
边上的高AD及其延长线交于M，N.以AB为直
径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P，
Q.求证：M，P，N，Q四点共圆.
.5Leabharlann 挑战自己练3. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．求
证：OK⊥PQ.
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6
回味无穷
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7
课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理4~5有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B 、C、D四点共圆；
5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、D， 且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
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2
经典例题
例.在△ABC中，AB= AC，D为BC中点，且 BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP=3，PE=1，求 PA的值.
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.24 四点共圆判定定理（2）
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1
知识链接
常见四点共圆的判定定理： 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆周
上；
2. 点C、D在线段AB的异侧，且∠ACB+∠ADB=180° ，则A、B、C、D四点共圆；
3. 若点C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB，则A 、B、C、D四点共圆；
预习托勒密定理.
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8
他是现代数学在中国最早而又最富成效的一位播种人，他1890年 生于浙江省平阳县(今苍南县)农村一个知识分子家庭．他6岁丧父，10 岁丧母，以后主要由哥嫂抚养成长。后来到美国后，他入加利福尼亚
州的加州大学(伯克利)，专攻数学．1915年获学士学位．那时民国虽 已成立数年，中国的贫弱落后面貌依旧．他认为，中国要富强起来， 需要科学，数学是科学的基础，因而也需要数学．他还认为，他到美 国，用的是美国退回的庚子赔款，那是中国人民血汗换来的，用了人 民的钱，就应当为人民做点好事．他立志要把现代数学移植于中 国．那时候，在中国，现代数学还谈不上有什么基础，他充分意识到，
他面临艰巨的任务．但他不考虑成败得失，用他自己的话说，就是 “不管时机是否成熟”．为了进一步充实自己，以便实现上述抱负，
他努力转到哈佛大学作研究生．1918年，他在哈佛受聘为助教，作为 奥斯古德教授的助手．1919年5月，他完成博士论文《非欧几里得空 间直线球面变换法》．论文是在库利芝教授指导下完成的，内容是用 代数和微分几何方法来讨论射影空间的直线和非欧空间的球面之间的 对应关系，并获得了博士学位．学成之后回国，为中国数学事业贡献