第六讲
一元一次方程—解法大比拼
等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。
等式的类型：恒 等 式
条件等式 矛盾等式
等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式。
若a b =，则a c b c ±=±。
等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是0），结果仍是等式。
若a b =，则ac bc =，若a b =且0c ≠，则a b
c c
=。
方程：含有未知数的等式。
方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
解方程：求方程的解的过程。
一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次
方程。
一元一次方程的最简形式：ax b =（0a ≠，a ，b 为已知数） 一元一次方程的标准形式：0ax b +=（0a ≠，a ，b 是已知数）
注意：⑴判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形为最简形式或标准形式来验证。
如方程
22216x x x ++=-是一元一次方程。
⑵对于方程ax b =的解要分类讨论：
①当0a ≠时，方程的解是b
x a
=；
②当0a =且0b =时，方程的解是任意数；
③当0a =且0b ≠时，方程无解。
一元一次方程的基本解法
解一元一次方程的一般步骤： ⑴去分母； ⑵去括号； ⑶移项；
⑷合并同类项；
⑸未知数的系数化为1。
易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。
易错点2——去分母：漏乘不含分母的项。
易错点3——移项忘记变符号。
【例1】下列方程是一元一次方程的是（ ）
A ．2237x x x +=+
B ．3435322x x -+=+
C ．22(2)3y y y y +=--
D ．3813x y -=
【例2】（海淀期末复习）已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足方程1
02
x -
=，则m = 。
【例3】（西城期末）某书中有一道解方程的题：
113
x
x ++=， 处在印刷时被墨盖住了，查后面的答案，
得知这个方程的解是2x =-，那么 处应该是数字（ ） A.7 B ．5 C ．2 D ．2-
【例4】（东城教学评估）已知方程1
(2)40a a x --+=是一元一次方程，则a = ，x = 。
【例5】（2009人大附中初一期中第14题2分）方程||(1)2m m x m n -=+是关于x 的一元一次方程，若n 是
它的解，则n m -=（ ）
A ．14
B ．54
C ．34
D ．54-
【例6】解方程7110.251
0.0240.0180.012
x x x --+=-
解：原方程可化为7110.251
432
x x x --+=-
根据等式的性质（ ） 去分母，得 。
去括号，得 。
移项，得 。
合并同类项，得 。
系数化为1，得 。
根据等式的性质（ ）
【例7】253164x x
---=
【例8】0.130.41
20
0.20.5x x +--=
例题精讲
板块一：一元一次方程相关概念及基本解法
若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式。
两个解的数量关系很多，比如相等、互为相反数、多1、2倍等等。
【例9】（2009-2010北京四中期中考试附加题33题2分）当m =________时，方程5443x x +=-的解和
方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同。
【例10】（人大附中期中练习）已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，
且它们的解互为相反数，求关于x 的方程
115
x p -+=的解。
对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法
【例11】解方程： 1111
23452345x x x x +++=+++
【例12】解方程：2009122320092010
x x x
+++=⨯⨯⨯
【例13】解方程：1123
(23)(32)11191313x x x -+-+=
板块二：两个一元一次方程解的关系问题
板块三：复杂的一元一次方程
【例14】解方程：2018161412
5357911x x x x x -----++++=
方程ax b =的解要分类讨论：
①当0a ≠时，方程有唯一解b x a
=。
②当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数。
③当0a =且0b ≠时，方程无解。
【例15】已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无数多个解，那么a = ，b = 。
【例16】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab
a b x x a b a b
+-
=-++的解。
【例17】（北师大附中期中考试）若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程
2236kx a x bk
+--=，无论k 为 何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值。
1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；
⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±。
板块四：含字母系数的一元一次方程
板块五：绝对值方程
2．形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：
首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥；
分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可。
3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值。
【例18】解绝对值方程： 4812
x +=
【例19】4329
x x +=+
【例20】（2009-2010北京四中期中考试第37题附加题2分）方程125x x -++=的解是_______。
【例21】解关于x 方程：
4x a b c x b c d x a c d x a b d
d a b c
------------+++=
测 试 题
1．解绝对值方程：35
162
x x ---=
2．（北京四中期中考试）关于x 的方程21x a --=有三个整数解，求a 的值。
3．解关于x 的方程 ()()1
34
m x n x m -=-
4．解方程：3548x -+=
答 案
1．15x =、1x =-
2．1a =
3．当34m ≠时，方程的解为4343mn m
x m -=-；
当34m =，3
4n =时，解为任意值；
当34m =，3
4
n ≠时，方程无解。
4．3x =或13
x =。