广东中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类（佛山专版）（4）——三角形一．选择题（共11小题）1．（2020•南海区一模）如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°2．（2020•禅城区二模）如图，含45°角的三角板的直角顶点A在直线a上，顶点C在直线b上．若a∥b，∠1＝58°，则∠2的度数为（）A．85°B．110°C．103°D．118°3．（2020•顺德区四模）如图，四边形ABCD为菱形，BF∥AC，DF交AC的延长线于点E，交BF于点F，且CE：AC＝1：2．则下列结论：①△ABE≌△ADE；①∠CBE＝∠CDF；①DE＝FE；①S△BCE：S四边形ABFD ＝1：10．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2020•顺德区校级模拟）判断下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A．8，10，7B．2，3，4C．12，15，20D．√3，1，25．（2020•南山区校级一模）等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A．17B．22C．13D．17或226．（2019•南海区二模）如图，直线l1∥l2，将等边三角形如图放置若∠α＝25°，则∠β等于（）A．35°B．30°C．25°D．20°7．（2018•南海区二模）如图，A、B两点被一座山隔开，M、N分别是AC、BC中点，测量MN的长度为40m，那么AB的长度为（）A．40m B．80m C．160m D．不能确定8．（2018•南海区校级二模）如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°9．（2020•南海区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3B．4C．5D．610．（2020•顺德区三模）下面是证明勾股定理的四个图形，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．11．（2020•三水区校级二模）一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为（）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°二．填空题（共13小题）12．（2020•三水区一模）三角形的外角和是 ．13．（2020•顺德区模拟）如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2，B 2，C 2分别是边B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点；点A 3，B 3，C 3分别是边B 2C 2，A 2C 2，A 2B 2的中点；…以此类推，则第2020个三角形的周长是 ．14．（2020•顺德区模拟）如图，在正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ ．15．（2019•佛山模拟）如图，G 为△ABC 的重心，点D 在CB 延长线上，且BD =12BC ，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AA AA = ．16．（2019•顺德区三模）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点D 、E 、F 是三边的中点，则△DEF 的周长是 ．17．（2019•禅城区模拟）如图，已知l 1∥l 2∥l 3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC 的三个顶点分别在这三条平行直线上，斜边AC 与l 3所夹的锐角为α，则tanα的值等于 ．18．（2019•顺德区二模）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝45°，∠B ＝120°，AB ＝5，BC ＝10，则CD的长为．19．（2019•佛山模拟）在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为．20．（2019•禅城区模拟）空调安装在墙上时，一般都会象如图所示的方法固定在墙上，这种方法应用的数学知识是．21．（2018•南海区二模）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是．22．（2020•顺德区模拟）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE．若∠A＝40°，则∠CBE的度数为．23．（2020•顺德区模拟）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．若∠BPC＝130°，则∠A ＝°．24．（2020•顺德区模拟）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC与∠BCA的三等分线分别交于点D、E两点，则∠ADC的度数是．三．解答题（共9小题）25．（2020•南海区校级模拟）如图，△ABC与△DEC为正三角形，A，E，D三点在一条直线上，AD与BC 交于点F，BE⊥AD．（1）求证：△AEC≌△BDC；（2）求证：AE＝2DE．26．（2020•禅城区二模）如图所示，在四边形ABCD中，AC与BD交于O，AB＝AD，CB＝CD．BE⊥CD 于E，BE与AC交于F．CF＝2BO．（1）求证：△BEC是等腰直角三角形；（2）求tan∠ACD的值．27．（2020•禅城区一模）如图，已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为圆心以AM为半径作圆弧，以B为圆心以BN为半径作圆弧，两圆弧相交于点C构成△ABC，设AB＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；（3）当∠CAB是锐角时，求△ABC的最大面积？28．（2020•佛山模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边的中点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，延长EF交AB于点G，连接DG、BF．（1）求证：DG平分∠ADF；（2）若AB＝12，求△EDG的面积．29．（2020•顺德区校级模拟）已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，AD 平分外角∠EAC ．求证：AD ∥BC ．30．（2020•顺德区校级模拟）如图，四边形ABCD 中，AB ＝20，BC ＝15，CD ＝7，AD ＝24，∠B ＝90°．（1）判断∠D 是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD 的面积．31．（2019•禅城区模拟）如图，在等边三角形ABC 中，AE ＝CD ，AD ，BE 交于P 点，BF ⊥AD 于F ．（1）求证：△ACD ≌△BAE ；（2）求证：BF =√3PF ．32．（2019•禅城区模拟）如图，等腰直角△OAB 的斜边OA 在坐标轴上，顶点B 的坐标为（﹣2，2）．点P从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向点O 运动，点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，当点P 到达点O 时，点P 、点Q 同时停止运动．连接BP ，过P 点作∠BPC ＝45°，射线PC 与y 轴相交于点C ，过点Q 作平行于y 轴的直线l ，连接BC 并延长与直线l 相交于点D ，设点P 运动的时间为t （s ）．（1）点P 的坐标为 （用t 表示）；（2）当t 为何值，△PBE 为等腰三角形？（3）在点P 运动过程中，判断AA 2AA 的值是否发生变化？请说明理由．33．（2019•禅城区一模）已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2√2，直接写出线段BF的范围．广东中考数学复习各地区2018-2020年模拟试题分类（佛山专版）（4）——三角形参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠A＝50°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．故选：B．2．【答案】C【解答】解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∵a∥b，∠1＝58°，∴∠DAC＝∠1＝58°，∴∠2＝∠DAC+∠ACB＝103°，故选：C．3．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；故①正确；∴BE＝DE，∠AEB＝∠AED，∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE（SAS），∴∠CBE＝∠CDF，故①正确；∵BF∥AC，∴∠FBE＝∠AEB，∠AED＝∠F，∴∠FBE＝∠F，∴BE＝EF，∴DE＝FE；故①正确；连接BD交AC于O，∵AO＝CO，∵CE：AC＝1：2，∴AO＝CO＝CE，设S△BCE＝m，∴S△ABE＝S△ADE＝3m，∴S△BDE＝4m，∴S△BEF＝S△BDE＝4m，∴S四边形ABFD＝10m，∴S△BCE：S四边形ABFD＝1：10，故①正确；故选：D．4．【答案】D【解答】解：A、82+72≠102，故不能作为直角三角形三边长；B、22+32≠42，故不能作为直角三角形三边长；C、122+152≠202，故不能作为直角三角形三边长；D、（√3）2+12＝22，故能作为直角三角形三边长；故选：D．5．【答案】B【解答】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长＝9+9+4＝22．故选：B．6．【答案】A【解答】解：过点B作BD∥l1，如图，则∠ABD＝∠α＝25°．∵l1∥l2，∴BD∥l2，∵∠DBC＝∠β．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠β＝∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣25°＝35°．故选：A．7．【答案】B【解答】解：∵M、N分别是AC、BC中点，∴NM是△ACB的中位线，∴AB＝2MN＝80m，故选：B．8．【答案】A【解答】解：∵∠1＝125°，∴∠ADE＝180°﹣125°＝55°，∵DE∥BC，AB＝AC，∴AD ＝AE ，∠C ＝∠AED ，∴∠AED ＝∠ADE ＝55°，又∵∠C ＝∠AED ，∴∠C ＝55°．故选：A ．9．【答案】C【解答】解：∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，AE 平分∠BAC ， ∴BE ＝CE =12BC ＝2，又∵D 是AB 中点，∴BD =12AB =32，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE =12AC =32，∴△BDE 的周长为BD +DE +BE =32+32+2＝5．故选：C ．10．【答案】C【解答】解：A 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C ．11．【答案】B【解答】解：∵AB ∥CD ，∴∠BAC ＝∠ACD ＝30°，∵∠AED ＝45°，∴∠AEC ＝135°，∵∠CAE +∠AEC +∠ACE ＝180°，∴∠EAC ＝180°﹣∠AEC ﹣∠ACE ＝180°﹣30°﹣135°＝15°， 故选：B ．二．填空题（共13小题）12．【答案】360°．【解答】解：三角形的外角和是360°．故答案是：360°．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7， ∴△A 1B 1C 1的周长是16，∵A 2，B 2，C 2分别是边B 1C 1，A 1C 1，A 1B 1的中点，∴B 2C 2，A 2C 2，A 2B 2分别等于A 1B 1、B 1C 1、C 1A 1的12， …，以此类推，则△A 4B 4C 4的周长是123×16， ∴△A n B n ①n 的周长是242A −1，则第2020个三角形的周长是2422019=122015． 故答案为：122015．14．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC 和△ADE 中{AA =AAAA =AA AA =AA ，∴△ABC ≌△ADE （SAS ），∴∠4＝∠3，∵∠1+∠4＝90°，∴∠3+∠1＝90°，∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝135°，故答案为：135°．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示，连接CG 并延长，交AB 于F ，连接AG 并延长，交BC 于H ，连接FH 交DE 于N ，则FH 是△ABC 的中位线，∴FH ∥AC ，∵BD =12BC ，∴BD ＝BH ＝CH ，∵NH ∥EC ，∴AA AA=AA AA =23，即EC =32NH ， ∵NH ∥AE ， ∴AA AA =AA AA =12，即AE ＝2NH ， ∴AA AA=2AA 32AA =43， ∴AA AA =47．故答案为：47．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB =√32+42=5，∵点D 、E 、F 是三边的中点，∴DE =12AC ，DF =12AB ，EF =12BC ，∴△DEF 的周长＝DE +EF +DF =12AC +12AB +12BC =12（AC +AB +BC ）=12（3+4+5）＝6， 故答案为：6．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图1所示，过点A作l1的垂线，垂足为D，过点C作l1、l3的垂线，垂足为E、F，设l1、l2之间的距离为a，则l2与l3之间的距离也为a，∵∠ABC＝90°，∴∠DBA+∠EBC＝90°，∵∠DBA+∠DAB＝90°，∴∠EBC＝∠DAB，∵∠ADB＝∠BEC，AB＝BC，∴△ADB≌△BEC（AAS），∴AD＝BE＝2a，DB＝EC＝a，∴AF＝DE＝3a，∵CF＝a，∴tanα=1 3．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，作DE⊥AB交AB的延长线于E，CF⊥AB交AB的延长线于F．∵DE⊥EF，CF⊥EF，∴DE∥CF，∵CD∥EF，∴四边形CDEF是平行四边形，∵∠F＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴CD＝EF，DE＝CF，在Rt△BCF中，∵BC＝10，∠CBF＝60°，∴BF=12BC＝5，CF＝DE＝5√3，在Rt△ADE中，∵∠A＝45°，∴AE＝DE＝5√3，∴BE＝5√3−5，∴CD＝EF﹣5﹣（5√3−5）＝10﹣5√3，故答案为10﹣5√3．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABD中，BD=√AA2−AA2=9；在Rt△ACD中，CD=√AA2−AA2=5，∴BC＝BD+CD＝14或BC＝BD﹣CD＝4，∴C△ABC＝AB+BC+AC＝15+14+13＝42或C△ABC＝AB+BC+AC＝15+4+13＝32．故答案为：32或42．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝40°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB＝AD∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝40°，∴∠CEB＝80°，∵∠C＝90°，∴∠CBE＝10°，故答案为：10°．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在△PBC中，∵∠BPC＝130°，∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣130°＝50°．∵PB、PC分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠PBC+∠PCB）＝2×50°＝100°，在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣100°＝80°．故答案为：80°．24．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝120°．∵∠BAC与∠BCA的三等分线分别交于点D、E两点，∴∠DAC=23∠BAC，∠DCA=23∠BCA，∴∠DAC+∠DCA=23（∠BAC+∠BCA）＝80°，∴∠ADC＝180°﹣（∠DAC+∠DCA）＝180°﹣80°＝100°．故答案为：100°．三．解答题（共9小题）25．【答案】（1）证明过程见解答；（2）证明过程见解答．【解答】证明：（1）∵△ABC与△DEC为正三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，EC＝DC，∴∠ACE＝∠BCD，∴△AEC≌△BDC（SAS）；（2）∵△AEC≌△BDC，∴AE＝BD，∠BDC＝∠AEC，∵△DEC为正三角形，∴∠EDC＝60°∴∠AEC＝∠EDC+∠ECD＝60°+60°＝120°，∴∠BDC＝120°，∴∠ADB＝60°，∵BE⊥AD，∴∠DBE＝30°，∴BD＝2DE，∴AE＝2DE．26．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC垂直平分BD，∴BD＝2BO，∵CF＝2BO，∴CF＝BD，∵∠DBE+∠BDE＝90°，∠BDE+∠DCO＝90°，∴∠DBE＝∠FCE，又∵∠BED＝∠CEF，∴△BDE≌△CFE（AAS），∴BE＝CE，又∵BE⊥CD，∴△BEC是等腰直角三角形；（2）如图，连接DF，∵△BDE≌△CFE，∴DE＝EF，∴DF=√2EF，∵AC垂直平分BD，∴BF＝DF=√2EF，∴BE＝BF+EF＝（√2+1）EF，∴CE＝（√2+1）EF，∴tan∠ACD=AAAA=√2−1．27．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC＝1，AB＝x，BC＝3﹣x．{1+A ＞3−A 1+3−A ＞A， 解得1＜x ＜2；（2）①若AC 为斜边，则1＝x 2+（3﹣x ）2，即x 2﹣3x +4＝0，无解，①若AB 为斜边，则x 2＝（3﹣x ）2+1，解得x =53，满足1＜x ＜2， ①若BC 为斜边，则（3﹣x ）2＝1+x 2，解得x =43，满足1＜x ＜2，综上，x =53或43；（3）在△ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，设CD ＝h ，△ABC 的面积为S ，则S =12xh ，由题意点D 在线段AB 上， 则√1−A 2+√(3−A )2−A 2=x ，∴（3﹣x ）2﹣h 2＝x 2﹣2x √1−A 2+1﹣h 2，即x √1−A 2=3x ﹣4，∴x 2（1﹣h 2）＝9x 2﹣24x +16，即x 2h 2＝﹣8x 2+24x ﹣16．∴S 2=14x 2h 2＝﹣2x 2+6x ﹣4＝﹣2（x −32）2+12（43≤x ＜2）， 当x =32时（满足43≤x ＜2），S 2取最大值12，从而S 取最大值√22； ∴△ABC 的最大面积为√22．28．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵正方形ABCD ，∴∠C ＝∠A ＝90°，DC ＝DA ，∵△DCE 沿DE 对折得到△DFE ，∴DF ＝DC ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，DF ＝DA ，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，{AA =AA AA =AA ， ∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），∴∠ADG ＝∠FDG ，即DG 平分∠ADF ；（2）∵正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 是BC 边的中点，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝x ，则EG ＝6+x ，BG ＝12﹣x ，在Rt △BEG 中，根据勾股定理得，EG 2＝BE 2+BG 2，即（6+x ）2＝62+（12﹣x ）2，解得x ＝4，∴EG ＝6+4＝10，∴△EDG 的面积=12EG ×DF =12×10×12=60．29．【答案】见试题解答内容【解答】证明：由三角形的外角性质得，∠EAC＝∠B+∠C，∵∠B＝∠C，∴∠EAC＝2∠B，∵AD平分外角∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∴∠B＝∠EAD，∴AD∥BC．30．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∠D是直角．理由：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；（2）∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC，∴S四边形ABCD=12AB•BC+12AD•CD=1 2×20×15+12×24×7＝234．31．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：（1）∵△ABC是等边三角形，∴在△ABE和△CAD中，{AA =AA AAAA =AA AA =AA ；∴△ABE ≌△CAD （SAS ）（2）∵△ABE ≌△CAD ，∴∠ABE ＝∠CAD ，又∵∠BAE ＝∠BAP +∠P AE ＝60°，∴∠BAP +∠ABP ＝60°，又∵∠BPF ＝∠BAP +∠ABP ，∴∠BPF ＝60°，∵BF ⊥AD∴tan ∠BPF =AA AA ，∴tan60°=AA AA =√3，∴BF =√3PF ．32．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△OAB 是等腰直角三角形，且B 的坐标为（﹣2，2），∴OA ＝4由题意得：AP ＝t ，OP ＝4﹣t∴P （t ﹣4，0）；故答案为：（t ﹣4，0）；（2）分三种情况：①当PB ＝PE 时，如图1，∵∠BPC ＝45°，∴∠PBE ＝∠BEP ＝67.5°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABP ＝90°﹣67.5°＝22.5°，∴∠ABP ＝∠OPE ＝22.5°，∵∠A ＝∠BOP ＝45°，∴△BAP ≌△POE （AAS ），∴AB ＝PO ＝2√2，∴AP ＝t ＝4﹣2√2；①当PB ＝BE ，则t ＝0，符合题意；①当BE ＝PE 时，如图2，∴∠BPE ＝∠PBE ＝45°，∵∠AOB ＝45°，∴∠BPO ＝90°，即BP ⊥AO ，∵AB ＝BO ，∴AP ＝PO ＝t =12×4=2， 综上，当t 为4﹣2√2或0或2时，△PBE 为等腰三角形；（3）在点P 运动过程中，AA 2AA 的值不发生变化，是定值；如图3，过B 作BG ⊥x 轴于G ，过B 作BH ⊥y 轴于H ，∵∠AOB ＝∠BOH ＝45°，∴BG ＝BH ，∵∠BPC ＝∠BOC ＝45°，∴B 、P 、O 、C 四点共圆，∴∠BCH ＝∠BPG ，∵∠BGP ＝∠BHC ＝90°，∴△BHC ≌△BGP （AAS ），∴BC ＝BP ，∠PBG ＝∠CBH ，∵∠BGO ＝∠GOH ＝∠OHB ＝90°，∴四边形BGOH 是正方形，∴∠GBH ＝90°，∴∠PBC ＝∠GBH ＝90°，∵∠ABO ＝∠PBC ，∴∠ABP ＝∠OBC ，∵AB ＝BO ，PB ＝BC ，∴△ABP ≌△OBC （SAS ），∴OC ＝AP ＝t ，∴CH ＝2﹣t ，延长BD 交x 轴于M ，∵BH ∥OM ，∴△BHC ∽△MOC ，∴AA AA =AA AA ， ∴22−A =AA A，OM =2A2−A ， ∴MQ =2A 2−A −A =A 22−A ， ∵DQ ∥OC ，∴AA AA =AA AA ，∴AA A =A 22−A 2A 2−A =A 2， ∴t 2＝2DQ ，∴AA 2AA =2．33．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）结论：FD ＝FC ，DF ⊥CF ．理由：如图1中，∵∠ADE ＝∠ACE ＝90°，AF ＝FE ，∴DF ＝AF ＝EF ＝CF ，∴∠F AD ＝∠FDA ，∠F AC ＝∠FCA ，∴∠DFE ＝∠FDA +∠F AD ＝2∠F AD ，∠EFC ＝∠F AC +∠FCA ＝2∠F AC ，∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠BAC ＝45°，∴∠DFC ＝∠EFD +∠EFC ＝2（∠F AD +∠F AC ）＝90°，∴DF ＝FC ，DF ⊥FC ．（2）结论不变．理由：如图2中，延长AC 到M 使得CM ＝CA ，延长ED 到N ，使得DN ＝DE ，连接BN 、BM ．EM 、AN ，延长ME 交AN 于H ，交AB 于O ．∵BC⊥AM，AC＝CM，∴BA＝BM，同法BE＝BN，∵∠ABM＝∠EBN＝90°，∴∠NBA＝∠EBM，∴△ABN≌△MBE（SAS），∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，∵AF＝FE，AC＝CM，∴CF=12EM，FC∥EM，同法FD=12AN，FD∥AN，∴FD＝FC，∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，∴∠BAN+∠AOH＝90°，∴∠AHO＝90°，∴AN⊥MH，FD⊥FC．方法二：延长CF到M．使得CF＝FM，连接EM，CD，CE，DM，证明△CDM是等腰直角三角形即可解决问题．（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3√2如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值=√2．综上所述，√2≤BF≤3√2．21/ 21。