若 xe 的稳定性（渐近稳定）不依赖于t0 ，则称其为 一致稳定（渐近稳定）。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
4.2 李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第一法又称间接法。他的基本思路是通过系统状态方程的解来 判断系统的稳定性。
一、线性系统的稳定性判据
其传递函数的极点为： s1 1，s2 1
有极点在s平面的左半平面，所以系统的状态不是渐进稳定的。
（2）由输出传递函数
Wuy (s) C(sI A)1 B 1
0
s
0
1
0 1 1
(s 1)
1
s 1 1 (s 1)(s 1) (s 1)
f1 f1

x1
x2
f x

f2

x1
f2 x2
f1
xn

f2
xn




f x
称为雅克比矩阵。

fn
fn
x1 x2
fn

xn nn
若令 x x xe ，忽略高阶项，可得系统的线性化方程：
的。 （3） V (x) 0 ，则称 V (x) 为负定的。例如： （4） V (x) 0 ，则称 V (x) 为半负定（或非正定）
的。 （5）V (x) 0 或 V (x) 0 ，则称 V (x) 为不定的。
例

1） V (x) x12 x22 正定的

2） V (x) (x1 x2 )2 半正定的
1 0 1
x


0
1 x 1 u
y 1 0 x
试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。

解：（W1）ux (s由) 状(sI态 A传)1递B 函s数01
0
1

1
1 s 1
s 1 1 (s 1)(s 1) s 1
线性系统
x Ax Bu
y Cx
在平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实 部。即：
对于状态渐进稳定 Wux (s) (sI A)1 B
对于输出稳定
Wuy (s) C(sI A)1B
的极点全部位于s平面的左半平面。
例：已知
（1）在 xe1 处将其线性化，得
x1 x1 x2 x2
A

1 0
0 1
其特征值为 1 1, 2 1 ，可见原分线性系统在 xe1 处是不稳定的。 （2）在 xe2 处将其线性化，得
x1 x2 x2 x1
A

0 1
1
0

其特征值为 1,2 j1 ，实部为零，因而不能由线性化方程得出原系统
当t 时，最终收敛于xe。 实际上渐近稳定。
区别：工程上常常要求渐近稳定。
3、大范围渐近稳定 xe是渐近稳定，且其渐近稳定范围是整个状态空间。 －－线性只要渐近稳定（只有一个xe）一定是整个状态 空间的渐近稳定。
－－非线性系统，x在一个初态 x0，使 x0 xe ，(t t0 ), 称平衡状态 xe是不稳定的。

3） V (x) x12 x22 负定的

4） V (x) (3x1 2x2 )2半负定的

5） V (x) x1x2 x22 不定的
2. 二次型标量函数
V (x) xT Px x1 x2
p11 p12
xn

p21

p22

pn1
pn1
p1n x1
则称系统的平衡状态xe是稳定的，或称xe在李氏意义下稳定
几何意义：从S ( )
发出的轨迹， 在t t0的任何时刻
总不会超出S ( )
2、渐近稳定（经典理论稳定性定义）
xe在李氏意义下稳定，且当t 时，x xe ,
lim
t
x xe
0
几何意义：
从S (）发出的任意一个解，
3、现代控制理论判稳方法： [俄]李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用 方法，适用于各种系统。
李氏第一法：先求解系统微分方程，根据解 的性质判稳－－间接法
李氏第二法：直接判稳。思路：构造一个李 氏函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对 任何复杂系统都适用。
4、本章内容：李氏第二法及其应用。
AT P PA Q
且 V (x) xT Px
是李雅普诺夫能量函数。
实际应用中，通常选一个最简单的正定实对称矩 阵 Q I ，按李雅普诺夫方程，求出实对称矩阵P， 只要P正定，即可得出系统渐近稳定的结论。
证明：设 V (x) xT Px 则： V (x) xT Px xT Px 将状态方程代入得
以为半径的一个球，记作S(）
四、稳定性的定义
在f作用下
x偏离x
有三种
e
有界 无界（无穷大） x xe
1、李氏稳定性：设x f (x,t),若任意给定一个实数 0, 总存在另一个实数，使当 x0 xe 时，从任意初态 x0出发的解x(t) (t, x0 ,t0 )满足 x xe ，(t t0 ),
x(t) Ax(t)
Axe (t) 0
唯一一个平衡状态，坐
若A非奇异，xe (t) [0] 标原点是唯一平衡点
若A奇异，xe (t)有无穷个
2、非线性系统
x f (xe ,t) 0, xe不只一个，可能有多个
例4.1系统：x2
x1 x1 x1 x2
（4）若 V (x) 为半负定，则 P 为半负定；
可见，矩阵 P 的性质与其所决定的二次函数
的符号性质完全一致。因此，要判别V (x)的符号，
只要判别 P 即可。
二、稳定性判据
1. 若 V (x)为半负定，那么平衡状态 xe为在李雅普诺夫意义下
的稳定。此称稳定判据。
2. 若V (x) 为负定，或者虽然 V (x)为半负定，但对任意的初始状 态 x(t0 ) 0 来说，除去平衡点外，其余处 V (x) 均不为零，那 么原点平衡状态是渐近稳定的。如果还有 limV(x) ，则系 统是大范围渐近稳定的。此称渐近稳定判据。x
如果我们可以找到这个能量函数（正定的标量函数 V(x) ）， 显然可以根据该函数的导数 V (x) 来确定能量随着时间的推 移是减小的，还是增加的，或者是保持不变的。
一、预备知识 1. 标量函数的性质 （1） V (x) 0 ，则称 V (x) 为正定的。 （2） V (x) 0 ，则称 V (x) 为半正定（或非负定）
例：设二阶线性定常系统的状态方程如下，分析平 衡点的稳定性。

x1 x 2


0 1
1 x1 1x2
解：设
P


p11 p12
p12
p22

代入李雅普诺夫方程，得
0 1 p11 1 1 p12
p12 p22
4.1 基本定义
一、系统 设x f (x,t,u) 稳定性是系统本身的一种动态属性，与外部 输入无关。u 0,则x f (x,t) x(t)为n维向量，f (x,t)也是n维向量 x fi (x1, x2 , xn , t),初始状态x(t0 ) x0
解：x(t) (t, x0, t0 ) 如线性定常：x Ax, x (t)x0

V x2
dx2 dt

2x1x1 2x2 x2
2(x12 x22 )
可见 V (x)是负定的，且 limV (x) x
所以，系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。
4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
考虑如下线性定常自治系统 x Ax
则平衡状态 xe 0 为大范围渐近稳定的充要条件 是：对于任意给定的正定实对称矩阵Q，必存在正 定的实对称矩阵P，满足李雅普诺夫方程



p11 p12
p12 0 p22 1
1 1

1 0
中，有三个平衡点 x23
三、范数：－－衡量（度量）状态空间距离的大小
向量x的长度称为向量x的范数
x
x12

x22

x
n
2
,向量x与x
的距离为：
e
x xe (x1 xe1)2 (xn xen )2
与x

x
限定在某一范围时，记作
e
x

xe
， 0
几何意义：在n维状态空间中，表示以xe为球心，
在 处稳定性的结论。这种情况要应用下面的李雅普诺夫第二法进行判
定。
4.3 李雅普诺夫第二法
如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐 衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么这个平衡 状态是渐进稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量， 储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统 的储能既不增加，也不减少，那么这个平衡状态就是李雅普 诺夫意义下的稳定。
p2n


x


pn1


xn

如果 pij p ji ，则称 P 为实对称阵。 矩阵 P 的符号性质如下： （1）若 V (x) 为正定，则 P 为正定； （2）若 V (x) 为负定，则 P 为负定； （3）若 V (x) 为半正定，则 P 为半正定；
第四章 李雅普诺夫稳定性分析