东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8小题,每小题5分，共40分）1、若a r ,b r ,c r 是空间任意三个向量, R λ∈,下列关系式中,不成立的是（ ）A ．a b b a +=+r r r rB ．()a b a b λλλ+=+r r r rC ．()()a b c a b c++=++r r r r r r D ．b a λ=r r2、给出下列命题①已知a b ⊥r r ,则()()a b c c b a b c ⋅++⋅-=⋅r r r u r r r r r;②A 、B 、M 、N为空间四点,若,,BA BM BNu u u r u u u u r u u u r不构成空间的一个基底,则A 、B 、M 、N 共面;③已知a b ⊥r r ,则,a b r r与任何向量不构成空间的一个基底;④已知{},,a b cr r r 是空间的一个基底,则基向量,a b r r可以与向量m a c =+u r r r构成空间另一个基底.正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、已知,a b r r均为单位向量,它们的夹角为60,那么3a b+r r 等于（ ） A ．7B ．10C ．13D ．4 4、1,2,,a b c a b ===+r r r r r且c a ⊥r r ,则向量a b r r 与的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．1505、已知()()3,2,5,1,,1,a b x =-=-r r且2a b ⋅=r r ,则x 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 6、若直线l的方向向量为a r ,平面α的法向量为n r,则能使//l α的是（ ）A ．()()1,0,0,2,0,0a n ==-r rB ．()()1,3,5,1,0,1a n ==r rC ．()()0,2,1,1,0,1a n ==--r rD ．()()1,1,3,0,3,1a n =-=r r7、在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折成120的二面角后,则线段的长度为（ ） A ．2B ．11C ．32D ．428、正方体1B 1C 1D 1的棱长为1是A 1B 1中点,则E 到平面1D 1的距离是（ ）A ．3B ．22C ．12D ．33二、填空题（本大题共6小题，每空5分，共30分）9、已知123F i j k =++u u r r r r ，223F i j k =-+-u u r r r r ，3345F i j k =-+u u r r r r ，若123,,F F F u u r u u r u u r共同作用于一物体上，使物体从点M （1，-2，1）移动到N （3，1，2），则合力所作的功是 . 10、在平行六面体1B 1C 1D 1中,已知∠∠A 1∠A 160431=5,1AC u u u u r = .11、△和△所在的平面互相垂直,且,∠∠60,则与平面所成角的余弦值为 . 12、若直线l 的方向向量为(4,2),平面的法向量为(2,11),且l ⊥,则m = .13、已知A(-3,1,5)(4,3,1),则线段的中点M 的坐标为 . 三、解答题（本大题共6小题，共80分）14、(本题满分12分)设空间两个不同的单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y ==r r 与向量()1,1,1c =r的夹角都等于45.(1)求11x y +和11x y ⋅的值; (2)求,a br r 的大小.15、(本题满分12分)已知四棱锥的底面是边长为a 的正方形,侧棱⊥底面为上的点且：1：4, 则在线段上是否存在点F 使平面?17、(本题满分14分) 如图,四棱锥的底面是矩形21,且⊥底面,若边上存在异于的一点P,使得PS PD u u u r u u u r.(1)求a 的最大值;(2)当a 取最大值时,求异面直线与所成角的大小;r(3)当a取最大值时,求平面的一个单位法向量n及点P到平面的距离.18、(本题满分14分)已知正方形和矩形所在的平面互相垂直,2,AB 1是线段的中点.(1)求证：平面；(2)求证：⊥平面．19、(本题满分14分)如图所示,矩形的边2⊥平面2,现有数据:①3a =;②1a =;③3a =;④2a =;⑤4a =; (1)当在边上存在点Q,使⊥时可能取所给数据中的哪些值?请说明理由;(2)在满足(1)的条件下取所给数据中的最大值时,求直线与平面所成角的正切值;(3)记满足(1)的条件下的Q 点为(1,2,3,…),若a 取所给数据的最小值时,这样的点有几个?试求二面角1的大小;20、(本题满分14分)如图所示,在底面是菱形的四棱锥中,∠60,2a,点E在上,且：2：1.(1)证明：⊥平面；(2)求以为棱与为面的二面角θ的大小；(3)棱上是否存在一点F,使∥平面?证明你的结论.参考答案：一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCCCCDBB二、 填空题 题号 91011121314答案149730︒22-21,2,32⎛⎫ ⎪⎝⎭三、 解答题15、解：（1）依题意，2222111111111111611261234x y x y x y x y x y ⎧⎧+=⎧+=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=+=⎪⎪⎪=⎩⎩⎪⎩g ； (2)∵单位向量()()1122,,0,,,0a x y b x y ==r r 与向量()1,1,1c =r的夹角都等于45.∴由 111111116262644216262444x x x y x y y y ⎧⎧⎧==+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎩⎩g ,∴62626262,,0,,,04444a b ⎛⎫⎛⎫+--+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r 由1212626262621cos ,2x x y y a b a b++--+==⋅+⋅=⋅r r r r∴,.3a b π=r r16、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则A(0,0,0)(a,0,0)(,0)(0,0)(0,0),则(),,CP a a b =--u u u r,∵E 为上的点且：1：3,∴()11,,,,44444a a b CE CP a a b ⎛⎫=⋅=⋅--=--⎪⎝⎭u u u r u u u r ∴由33,,444a a b CE AE AC AE CE AC ⎛⎫=-⇒=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,设点F 的坐标为(x,0,0,) (0≤x ≤a),则33,,444a a b EF x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭u u u r ,又平面的一个法向量为(),0,0AB a =u u u r,依题意, 33044a aEF AB x a x ⎛⎫⊥⇒-⋅=⇒= ⎪⎝⎭u u u r u u u r , ∴在线段上存在点F,满足条件,点F 在线段的34处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,,0,0)(a,0,0)(a,2,0)(0,2,0)(0,0,1),设P(,0). (0<x<2)(1) ∵(),,1,PS a x =--u u u r (),2,0PD a x =--u u u r∴由PS PD ⊥u u u r u u u r得: 2(2)0a x x --=即: 2(2)(02)a x x x =-<<∴当且仅当1时有最大值为1.此时P 为中点;(2) 由(1)知: (1,1,0),(0,2,1),AP SD ==-u u u r u u u r∴10cos ,,525AP SD AP SD AP SD===⨯⨯u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r ∴异面直线与所成角的大小为10cos.arc (3) 设()1,,n x y z =u r是平面的一个法向量,∵(1,0,0),(0,2,1),SD ==-u u r u u u rDC∴由1111000201021x x n DC n DC y z y n SD n SD z y ==⎧⎧⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩==⎩⎩u r u u u r u r u u u r g u r u u ur u r u u u r g 取得1(0,1,2),n =u r∴平面的一个单位法向量()115250,1,2(0,,),5n n n ==⋅=u rr u r又(0,1,0),=-u u r CP 在r n 方向上的投影为555,15n n-⋅==-u u r r r CP∴点P 到平面的距离为5.18、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为： O(0,0,0)(0,1,0)(-1,0,0)(01,0,)(1,0,0,),E(01,1)(0,1,1)(0,0,1).(1) ∵(0,1,1),(0,1,1)AM OE =-=-u u u u r u u u r∴AM OE =u u u u r u u u r,即,又∵AM ⊄平面, OE ⊂平面, ∴平面;(2) ∵(2,0,0),(1,1,1),BD DF ==-u u u r u u u r∴0,0AM BD AM DF ⋅=⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r,∴⊥⊥, ∴⊥平面.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为: A(0,0,0,)(a,0,0)(a,2,0)(0,2,0)(0,0,2),设Q(,0).(0≤x ≤2)(1) ∵()(),,2,,2,0,PQ a x QD a x =-=--u u u r u u u r∴由⊥得22(2)0(2)PQ QD a x x a x x ⊥⇒-+-=⇒=-u u u r u u u r∵[](]20,2,(2)0,1x a x x ∈=-∈ ∴在所给数据中可取32a =和1a =两个值. (2) 由(1)知1a =,此时1,即Q 为中点, ∴点Q 的坐标为(1,1,0)从而()1,1,2,PQ =-u u u r 又()1,0,0AB =u u u r为平面的一个法向量,∴6cos ,61PQ AB PQ AB PQ AB⋅===⨯⨯u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r , ∴直线与平面所成角的正切值为5.5(3) 由(1)知32a =,此时13,22x x ==或,即满足条件的点Q有两个,其坐标为123133,,0,,022Q Q ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和∵⊥平面,∴⊥1⊥2,∴∠Q 12就是二面角Q 12的平面角.由12121233344cos ,213AQ AQ AQ AQ AQ AQ +⋅===⨯⨯u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ,得∠Q 12=30,∴二面角Q 12的大小为30.20、解：（1）∵，2a∴222222,,PA AB PB PA AD PD +=+= ∴⊥且⊥， ∴⊥平面，（2）∵底面是菱形，∴⊥，设∩，∴以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：0,,0,2a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭3,0,0,a B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭0,,0,2a C ⎛⎫⎪⎝⎭3,0,0,a D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭0,,,2a P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵ 点E在上,且：2：1. ∴3DP DE =u u u r u u u r ，即：()3DP OE OD =-u u u r u u u r u u u r ∴ 3,,63a a OE a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，即点E 的坐标为3,,63a a E a ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭ 又平面的一个法向量为()10,0,1n =u r设平面的一个法向量为()2,,,n x y z =u u r0,,02a OC ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，3,,63a a OE a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r由2222021000630ay x n OC n OC a a y z y n OE n OE z ⎧⋅=⎪⎧⎪=⎧⎧⊥=⎪⎪⎪⎪⇒⇒-+=⇒=⎨⎨⎨⎨⊥=⎪⎪⎪⎪⎩⎩=⎩⎪⎪⎩u u r u u u r u u r u u u r gu u r u u u r u u r u u u r g取x=1，得(2,n =u u r∴12121212cos ,,6n n n n n n n n π⋅===⇒=⨯u r u u ru r u u r u r u u r u r u u r∴由图可知二面角的大小为.6π（3）设在上存在点F ，满足题设条件，由(01)CF CP λλ=≤≤u u u r u u u r ，得120,,2OF OC CP a a λλλ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r∴12120,,,,22BF a a a a λλλλ⎫⎛⎫--⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r 依题意，则有2BF n ⊥u u u r u u r∴12,,2a a λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(0=g 102a λ⇒+=⇒= ∴点F 为中点时,满足题设条件.一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一 定共面的是( ) A.OM++=B.OM--=2C.3121++= D.313131++=2.直三棱柱—A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则( )A.-+B.+-C.++-D.-+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ( )A.//B.⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能 4.以下四个命题中,正确的是( ) A.若3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线 B.设向量},,{是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底C.b a ⋅⋅=⋅(D.△是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量//),(,≠的充要条件是 ( )A.=B.-=C.λ=D.λ=6.已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为与的交点，若A D AB A ===11111,,，则下列向量中与B 1相等的是( )A.212121++- B.212121++ C.+-2121 +-2121 8.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+=( )A.21,51 B.5，2 C.21,51--5，-29.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+=( ) 1553110.在棱长为1的正方体—A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和1的中点，那么直线与 所成角的余弦值是( ) A.52-B.52C.53D.1010二.填空题: (4小题共16分)11.若A(11,3)(22n)(33,9)三点共线，则 .12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：为矩形，⊥平面，，M 、N 分别是、中点， (1)求证：⊥平面；(2)求与平面所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S—中，所有棱长都是2，P为的中点，如图.(1)求二面角B——D的大小；(2)求与所成的角的大小.18.如图，直三棱柱—A 1B 1C 1，底面△中，1，∠90°，棱1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C B A ⊥求证(4)求1与平面A 11所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案11.0 12.(1，1，1) 13.60014.315.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13- (2) π18.(1)(2)10(3) 略21 / 21(4)31018.如图，建立空间直角坐标系O —.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1）∴|BN 3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2）∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，1BA 6，1CB 5∴<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图。