即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ ABD=30°，∠ ADC=60°， 在 Rt△ ABC 中，AC=60m，
60 AB= AC = 1 =120（m）
sin 30 2 （2）过 A' 作 A' E BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A' D ， 则 A' E AC 60 ， CE AA' 30 3 ，
(1)当⊙O 的半径为 1 时，
①点 A，B，C 中是⊙O“友好点”的是
；
②已知点 M 在直线 y＝﹣ 3 x+2 上，且点 M 是⊙O“友好点”，求点 M 的横坐标 m 的取值 3
范围；
(2)已知点 D(2 3 ，0)，连接 BC，BD，CD，⊙T 的圆心为 T(t，﹣1)，半径为 1，若在△ BCD
在 Rt△ ABC 中， AC=60m，∠ ADC=60°，
DC= 3 AC=20 3 3
DE=50 3
tan∠ A A' D= tan∠ A' DC= A' E =
60
2
=
3
DE 50 3 5
答：从无人机 A' 上看目标 D 的俯角的正切值是 2 3 ． 5
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
=；
②当 CF=aCD（a＞0）时，sin∠ CAB=
．
∵ CF=aCD，AD=DC，∴ AF=AD+DC+CF=（a+2）CD，∴
பைடு நூலகம்
∴ AE=
DC，∵ EC=AE，∴ EC=
DC，
=DC•（a+2）DC=（a+2） ，
∴ sin∠ CAB=sin∠ CED=
=
．
考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．存在型．
∴ AC CD 3 ． AF AE
∵ ∠ FAC=∠ C=90°， ∴ △ FAE∽ △ ACD，
∴ AC AD BF 3 ，∠ FEA=∠ ADC． AF EF EF
∵ ∠ ADC+∠ CAD=90°， ∴ ∠ FEA+∠ CAD=90°=∠ EMD． ∵ AD∥ BF， ∴ ∠ EFB=90°．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，某无人机于空中 A 处探测到目标 B、D 的俯角分别是 30、60 ,此时无人机的飞
行高度 AC 为 60m ，随后无人机从 A 处继续水平飞行 30 3 m 到达 A' 处.
（1）求
之间的距离
（2）求从无人机 A' 上看目标 的俯角的正切值.
【答案】（1）120 米；（2） 2 3 . 5
【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过 A' 作 A' E BC 交 BC 的延长线于 E，连接 A' D ，于是得到 A' E AC 60 ，
CE AA' 30 3 ，在 Rt△ ABC 中，求得 DC= 3 AC=20 3 ，然后根据三角函数的定义 3
或
【解析】
试题分析：（1）①如图（1）；②（1）法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，
AH⊥PH．连接 CH，根据正方形的每条对角线平分一组对角得：△ DHQ 等腰 Rt△ ，根据平
移的性质得 DP＝CQ，证得△ HDP≌ △ △ HQC，全等三角形的对应边相等得 PH＝CH，等边
对等角得∠ HPC＝∠ HCP，再结合 BD 是正方形的对称轴得出∠ AHP＝180°－∠ ADP＝90°，
∴ ∠ DCH＝17°．设 DP＝x，则
.由
代入 HR，CR 解方程即
可得出 x 的值. 四点共圆作法，A、H、D、P 共向，∴ ∠ APD＝∠ AHB＝62°，
∴
．
试题解析： （1）①
法一：轴对称作法，判断：AH＝PH，AH⊥PH
证：连接 CH，得：△ DHQ 等腰 Rt△ ，又∵ DP＝CQ，∴ △ HDP≌ △ △ HQC，∴ PH＝CH，
∴ ∠ FBE=∠ APE，∠ FAC=∠ C=90°，四边形 ADBF 是平行四边形， ∴ BD=AF，BF=AD． ∵ AC=BD，CD=AE， ∴ AF=AC． ∵ ∠ FAC=∠ C=90°， ∴ △ FAE≌ △ ACD， ∴ EF=AD=BF，∠ FEA=∠ ADC． ∵ ∠ ADC+∠ CAD=90°， ∴ ∠ FEA+∠ CAD=90°=∠ EHD． ∵ AD∥ BF， ∴ ∠ EFB=90°． ∵ EF=BF， ∴ ∠ FBE=45°， ∴ ∠ APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下：
∠ APH＝∠ ADH＝45°，∴ △ APH 等腰 Rt△ ．
（2）法一：轴对称作法 考虑△ DHQ 等腰 Rt△ ，PD＝CQ，作 HR⊥PC 于 R，∵ ∠ AHQ＝152°，∴ ∠ AHB＝62°， ∴ ∠ DAH＝17°
∴ ∠ DCH＝17°．设 DP＝x，则
.
由
得：
，∴
．即 PD=
法二：四点共向作法，A、H、D、P 共向，∴ ∠ APD＝∠ AHB＝62°，
∴
．
考点：全等三角形的判定；解直角三角形；正方形的性质；死电脑共圆
5．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是⊙C 外一点，连接 CP 交⊙C 于点 Q，点 P 关
于点 Q 的对称点为 P′，当点 P′在线段 CQ 上时，称点 P 为⊙C“友好点”．已知 A(1，0)，
B(0，2)，C(3，3)
∵ AC= 3 BD，CD= 3 AE，
∴ AC CD 3 ． BD AE
∵ ∠ HEA=∠ C=90°， ∴ △ ACD∽ △ HEA，
∴ AD AC 3 ，∠ ADC=∠ HAE． AH EH
∵ ∠ CAD+∠ ADC=90°， ∴ ∠ HAE+∠ CAD=90°， ∴ ∠ HAD=90°．
3．已知 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90°，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，连结 BE、AD 交于点 P， 设 AC=kBD，CD=kAE，k 为常数，试探究∠ APE 的度数： （1）如图 1，若 k=1，则∠ APE 的度数为 ；
（2）如图 2，若 k= 3 ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成
m2
3 2
m
2
2
2 ，由此
求解即可；
(2)B(0，2)，C(3，3)，D(2 3 ，0)，⊙T 的圆心为 T(t，﹣1)，点 N 是⊙T“友好点”，NT≤2r＝
2，所以点 N 只能在线段 BD 上运动，过点 T 作 TN⊥BD 于 N，作 TH∥ y 轴，与 BD 交于点
上存在一点 N，使点 N 是⊙T“友好点”，求圆心 T 的横坐标 t 的取值范围．
【答案】(1)①B；②0≤m≤ 3 ；(2)﹣4+3 3 ≤t＜3 3 ．
【解析】 【分析】 (1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点 B 是⊙O“友好点”；
②设 M(m，﹣ 3 m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝ 3
立，求出∠ APE 的度数．
（3）如图 3，若 k= 3 ，且 D、E 分别在 CB、CA 的延长线上，（2）中的结论是否成立，
请说明理由．
【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理 由见解析. 【解析】 分析：（1）先判断出四边形 ADBF 是平行四边形，得出 BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ FAE≌ △ ACD，得出 EF=AD=BF，再判断出∠ EFB=90°，即可得出结论； （2）先判断出四边形 ADBF 是平行四边形，得出 BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ FAE∽ △ ACD，再判断出∠ EFB=90°，即可得出结论； （3）先判断出四边形 ADBF 是平行四边形，得出 BD=AF，BF=AD，进而判断出 △ ACD∽ △ HEA，再判断出∠ EFB=90°，即可得出结论； 详解：（1）如图 1，过点 A 作 AF∥ CB，过点 B 作 BF∥ AD 相交于 F，连接 EF，
【答案】（1）AE=CE；（2）① ；②
．
【解析】
试题分析：（1）连接 AE、DE，如图 1，根据圆周角定理可得∠ ADE=∠ ABE=90°，由于
AD=DC，根据垂直平分线的性质可得 AE=CE；
（2）连接 AE、ED，如图 2，由∠ ABE=90°可得 AE 是⊙O 的直径，根据切线的性质可得
∠ AEF=90°，从而可证到△ ADE∽ △ AEF，然后运用相似三角形的性质可得 =AD•AF．①
∴ AH＝PH 且 AH⊥PH．四点共圆作法，同上得：∠ HPC＝∠ DAH，∴ A、D、P、H 共向，
∴ ∠ AHP＝90°，∠ APH＝∠ ADH＝45°，∴ △ APH 等腰 Rt△ ．
（2）轴对称作法同（1）作 HR⊥PC 于 R，∵ ∠ AHQ＝152°，∴ ∠ AHB＝62°，∴ ∠ DAH＝17°
∠ HPC＝∠ HCP
BD 为正方形 ABCD 对称轴，∴ AH＝CH，∠ DAH＝∠ HCP，∴ AH＝PH，∠ DAH＝∠ HPC，
∴ ∠ AHP＝180°－∠ ADP＝90°，∴ AH＝PH 且 AH⊥PH．
法二：四点共圆作法，同上得：∠ HPC＝∠ DAH，∴ A、D、P、H 共向，∴ ∠ AHP＝90°，
2．已知 Rt△ ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边 AC 交⊙O 于点 D，且 AD=DC，延长 CB 交⊙O 于点 E．
（1）图 1 的 A、B、C、D、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段 CE 的长？请说 明理由； （2）如图 2，过点 E 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 F． ①若 CF=CD 时，求 sin∠ CAB 的值； ②若 CF=aCD（a＞0）时，试猜想 sin∠ CAB 的值．（用含 a 的代数式表示，直接写出结 果）