6．如图所示的是一个地球仪及它的平面图，在平面图中，点 A、B 分别为地球仪的南、北 极点，直线 AB 与放置地球仪的平面交于点 D，所夹的角度约为 67°，半径 OC 所在的直线 与放置它的平面垂直，垂足为点 E，DE=15cm，AD=14cm．
（1）求半径 OA 的长（结果精确到 0.1cm，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39， tan67°≈2.36） （2）求扇形 BOC 的面积（π 取 3.14，结果精确到 1cm）
用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△ GKD 与△ EKG 相似，又利用同弧所
对的圆周角相等得到∠ C=∠ AGD，可推知∠ E=∠ C，从而得到 AC∥ EF；
（3）如图 3 所示，连接 OG，OC，先求出 KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径
定理可以求解；然后在 Rt△ OGF 中，解直角三角形即可求得 FG 的长度．
【答案】（1）证明见解析（2）存在，
或
【解析】
（1）证明：∵ 四边形
为正方形，∴
∵ 三角板 是等腰直角三角形，∴
又三角板 绕 点逆时针旋转至
的位置时，
∴
····························3 分
（2）存在.·································4 分
∴ S 关于 t 的函数关系式为：
.
（3）分两种情况：
①∵ 当 DP=PC 时，易知此时 N 点为 DC 的中点，∴ MN=6cm
∴ EN=3cm+6cm=9cm.∴ t=9s
故当 t=9s 的时候，△ CPD 为等腰三角形；
②当 DC=PC 时，DC=PC=12cm
∴ NC=6 cm
∴ EN=16cm﹣1cm﹣6 cm=（15﹣6 ）cm
2．下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知 BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度 DE=1 m,EN,DM,CB 为三根垂直于 AB 的支柱,垂足分别为 N,M,B,∠ EAB=31°,DF⊥BC 于点 F,∠ CDF=45°,求 DM 和 BC 的水平距离 BM 的长度.(结果精确到 0.1 m.参考数据:sin 31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
4．如图，在 Rt△ ABC 中，∠ BAC=90°，∠ B=60°，BC=16cm，AD 是斜边 BC 上的高，垂足为 D，BE=1cm．点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动，以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH．点 M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动．设运动时间为 t（s）． （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？ （2）设正方形 MNGH 与 Rt△ ABC 重叠部分的图形的面积为 S，当重叠部分的图形是正方形 时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围． （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连接 DP，当 t 为何值时， △ CPD 是等腰三角形？
∴ t=（15﹣6 ）s
故当 t=（15﹣6 ）s 时，△ CPD 为等腰三角形．
综上所述，当 t=9s 或 t=（15﹣6 ）s 时，△ CPD 为等腰三角形． 考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5. 由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
∴ AB=8cm，BD=4cm，AC=8 cm，DC=12cm，AD=4 cm. （1）∵ 当 G 刚好落在线段 AD 上时，ED=BD﹣BE=3cm
∴ t= s=3s． （2）∵ 当 MH 没有到达 AD 时，此时正方形 MNGH 是边长为 1 的正方形，令 H 点在 AB 上， 则∠ HMB=90°，∠ B=60°，MH=1
【答案】（1）3；（2） 【解析】
；（3）t=9s 或 t=（15﹣6 ）s.
试题分析：（1）求出 ED 的距离即可求出相对应的时间 t. （2）先求出 t 的取值范围，分为 H 在 AB 上时，此时 BM 的距离，进而求出相应的时 间．同样当 G 在 AC 上时，求出 MN 的长度，继而算出 EN 的长度即可求出时间，再通过正 方形的面积公式求出正方形的面积. （3）分 DP=PC 和 DC=PC 两种情况，分别由 EN 的长度便可求出 t 的值． 试题解析：∵ ∠ BAC=90°，∠ B=60°，BC=16cm
5．如图，已知正方形
在直角坐标系 中，点 分别在 轴、 轴的正半轴上，点
在坐标原点.等腰直角三角板 的直角顶点 在原点， 分别在
上，且
将三角板 绕 点逆时针旋转至
的位置，连结
（1）求证： （2）若三角板 绕 点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得 求出此时 点的坐标；若不存在，请说明理由.
若存在，请
试题解析：（1）如图 1，连接 OG．
∵ EG 为切线， ∴ ∠ KGE+∠ OGA=90°， ∵ CD⊥AB， ∴ ∠ AKH+∠ OAG=90°， 又∵ OA=OG， ∴ ∠ OGA=∠ OAG， ∴ ∠ KGE=∠ AKH=∠ GKE， ∴ KE=GE． （2）AC∥ EF，理由为连接 GD，如图 2 所示．
tan =
=0．60，
解得 =2．5， 答：DM 和 BC 的水平距离 BM 为 2．5 米． 考点：解直角三角形．
3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE=GE； （2）若 KG2=KD•GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若 sinE= ，AK= ，求 FG 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥ EF，证明见解析；（3）FG=
．
【解析】
试题分析：（1）如图 1，连接 OG．根据切线性质及 CD⊥AB，可以推出
∠ KGE=∠ AKH=∠ GKE，根据等角对等边得到 KE=GE；
（2）AC 与 EF 平行，理由为：如图 2 所示，连接 GD，由∠ KGE=∠ GKE，及 KG2=KD•GE，利
··························7 分 当切点 在第二象限时，点 在第一象限， 在直角三角形 中，
∴
∴
∴ 点 的横坐标为：
点 的纵坐标为：
∴ 点 的坐标为
···························9 分
当切点 在第一象限时，点 在第四象限，
同理可求：点 的坐标为 综上所述，三角板 绕 点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得
∵ AB=AC，∠ ANC=90°，
∴ CN= CB= ，
∵ ∠ BCP=∠ CAN，sin∠ BCP= ，
∴ sin∠ CAN= ，
∴ ∴ AC=5， ∴ AB=AC=5， 设 AF=x，则 CF=5﹣x， 在 Rt△ ABF 中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2， 在 Rt△ CBF 中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2， ∴ 25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2， ∴ x=3， ∴ BF2=25﹣32=16， ∴ BF=4， 即点 B 到 AC 的距离为 4． 考点：切线的判定
此时点 的
坐标为
或
································11 分
（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据 SAS 定理证明；
（2）由于△ OEF 是等腰 Rt△ ，若 OE∥ CF，那么 CF 必与 OF 垂直；在旋转过程中，E、F 的
轨迹是以 O 为圆心，OE（或 OF）长为半径的圆，若 CF⊥OF，那么 CF 必为⊙O 的切线，且 切点为 F；可过 C 作⊙O 的切线，那么这两个切点都符合 F 点的要求，因此对应的 E 点也 有两个；在 Rt△ OFC 中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠ FCO=30°，即∠ EOC=30°，已知了 OE 的长，通过解直角三角形，不难得到 E 点的坐标，由此得解．
即（r-3t）2+（4t）2=r2，解得 r= t=
．
∵ EF 为切线，
∴ △ OGF 为直角三角形，
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在 Rt△ OGF 中，OG=r= ，tan∠ OFG=tan∠ CAH=
，
∴ FG= 【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键．
∵ ∴ 过点 与 平行的直线有且只有一条，并与 垂直， 又当三角板 绕 点逆时针旋转一周时，则点 在以 为圆心，以 为半径的圆上， ························5 分 ∴ 过点 与 垂直的直线必是圆 的切线，又点 是圆 外一点，过点 与圆 相切的直线有 且只有 2 条，不妨设为 和 此时， 点分别在 点和 点，满足
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ ABC 中，∠ ABC=∠ ACB，以 AC 为直径的⊙O 分别交 AB、BC 于点 M、N，点 P 在 AB 的延长线上，且∠ CAB=2∠ BCP． （1）求证：直线 CP 是⊙O 的切线．
（2）若 BC=2 ，sin∠ BCP= ，求点 B 到 AC 的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ ACP 的周长．
∵ KG2=KD•GE，即
，
∴
，
又∵ ∠ KGE=∠ GKE，
∴ △ GKD∽ △ EGK，
∴ ∠ E=∠ AGD，
又∵ ∠ C=∠ AGD，
∴ ∠ E=∠ C，