夫琅和费单缝衍射的光强问题 07级物理学（1）班 杨晓飞 学号：0709320019摘要： 在光学中已经讲述过夫琅禾费单缝衍射，本文首先简单介绍了夫琅和费单缝衍射光强强弱分布的数学推导过程，以及对衍射的反比关系进行讨论，根据数学式子计算并分析光强情况，将单缝衍射的光强式子编入到C 语言程序中，将夫琅和费单缝衍射光强函数图像进行计算机模拟，使结果逼真，物理现象变得直观形象，能更好的理解夫琅和费衍射过程，加深我们对物理现象与规律的理解。

关键词：夫琅和费单缝衍射 极大值 次极大值 极小值 光强分布 反比关系引言： 学过了计算物理中的夫琅和费多缝衍射的光强模拟，对其产生了巨大兴趣，就对夫琅和费单缝衍射过程进行研究。

而对光学部分的学习，仅靠数学推导效果不佳，本文以夫琅禾费单缝衍射光强数学推导为基础，编的c 语言程序衍射结果是否与理论数学结果一致？衍射的反比关系意义如何？此课题重点对夫琅禾费单缝衍射光强研究。

一：夫琅和费衍射装置：在一般情况，观察点和光源与障碍物间的距离有限，为了避免遇到数学运算的繁琐，夫琅和费在1821——1822年间研究了观察点和光源都是无限远（平行光束）时的衍射现象。

所谓光源无限远，实际上就是把光源置于第一个透镜的焦平面上，得到平行光； 所谓观察点在无限远，实际上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射图样。

二：夫琅和费单缝衍射光强的数学推导：下图为上图的右半部分，平行光束垂直与缝的平面入射时，波面和缝平面重合（垂直于图面）。

将缝分为一组平行于缝长的窄带，从每一条这样的窄带发出次波的振幅正比于窄带的宽度dx 。

设光波的初相位为0，b 为缝AB 的宽度，A 0为整个狭缝所发出的次波在θ=0的方向上的合振幅，狭缝上单位宽度的振幅为 bA 0，而宽度为dx 的窄带所发出的次波的振幅为bdxA 0，则狭缝各处窄带所发次波的振动可用下式表示：wt bdx d A E cos 0=观察屏这些次波都可认为是球面波，各自向前传播。

现在，首先对其中传播方向与原入射方向成θ角（称为衍射角）的所有各次波进行研究。

在入射光束的平面波面AB 上各次波的相位相等，光通过透镜L2后在焦平面F 上的同一点P 处叠加。

要计算P 点的合振幅，必须考虑到各次波的相位关系，这取决于由各窄带到P 点的光程差。

现在作平面BD 垂直于衍射方向AD ，根据AB 面上各点的相位分布情况即确定在P 点相遇的各次波的相位关系。

我们知道，从平面AB 上各点沿衍射方向通过透镜到达P 点的光程都相等。

所以只要算出从平面AB 到BD 的各平行直线段之间的光程差就可以了。

MN 为衍射角等于θ的任意一条光线。

令MN=x ，则MN= xsin θ，这就分别从M 和B 两点发出的次波沿与MN 平行的方向到达平面BD 时的光程差。

于是由菲涅尔衍射积分式()()dS wt kr rQ A K C dE E S)_cos(⎰⎰==θ得到BD 面上N 点的表达式为)_s i n 2c o s (0wt x b dx dE A θλπ=或 eA wt x i bdx dE )_sin 2(θλπ=其复振幅为 eA x ibdx dE θλπsin 20=为简化计算，上式中假设个次波到达P 点时有相同的振幅（不考虑振幅与光程成反比的关系以及倾斜因子）。

根据惠更斯——菲涅尔原理，将上式对整个缝宽（从x=0到x=b ）积分。

最后可得衍射角为θ的所有次波在观察点P 叠加起来的合振幅：p)sin ()sin sin(θλπθλπbbAA P= 令λθπ)sin (b u =，故P 点的光强为u uc I uII Psin sin 20220==三：衍射图样的光强分布的数学计算： 当光屏放置在透镜L2的焦平面上时，屏上出现衍射图样，光屏的分布可由u uc I uI I P sin sin 20220==式决定。

不同的衍射角θ对应于光屏上不同的观察点。

首先来决定衍射图样中光强最大值和最小值的位置。

即求出满足光强的一阶导数为零的那些点：0)sin _cos (sin 2)(322sin ==uu u u u u u du d 由此得 sinu=0，u=tanu分别解以上两式，可得出所有的极值点。

（1） 单缝衍射中央最大值的位置 由sinu=0，解得满足λπθ)sin (00b u=的那个方向，即0sin 0=θ（中央最大值的位置）也就是在焦点P处，A I P200=，光强为最大。

这里，各个次波相位差为零，所以振幅叠加相互加强。

（2） 单缝衍射最小值的位置由sinu=0，解得满足πλπθk b uk==0sin (的一些衍射方向，即bkk λθ=sin （k=±1, ±2, ±3,…）(最小值位置)时，A P为零，屏上这些点是暗的。

（3） 单缝衍射次最大值的位置在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的位置可有超越方程u=tanu 解得。

我们可以用图解法求得u 的值。

他们的交点就是这个超越方程的解：u=0，u 1=±1.43π,u2= ±2.46π,u3= ±3.47π,u4= ±4.48π,…由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值（称为次最大值）的位置为bb λλθ2343.1sin 10±≈±=b b λλθ2546.2sin 20±≈±= b b λλθ2747.3sin 30±≈±=。

,...)2,1()21(sin 000=+±=K k bk λθ把这些θ值代入u uc I uI I P sin sin 20220==式，可得各级次最大值的相对光强。

四：夫琅和费单缝衍射光强分布特点1：各级最大值光强不相等，中央极大值的光强最大，次最大值都远小于中央最大值，幷随着级数k 的增大而很快减小。

2：亮条纹到透镜中心所长的角称为角宽度。

中央亮条纹和其他亮条纹的角宽度不相等。

中央亮条纹的角宽度是其他亮条纹的2倍。

中央亮条纹的线宽度是其他亮条纹的想宽度的2倍。

3：最小值处形成的每一侧的暗纹是等间距的，而次最大值彼此则是不等间距的，不过随着级数k 的增大，次最大值也就越趋近于等间距的。

4：若用白光做光源，由于衍射图样中明暗条纹的位置与波长λ有关，明条纹的宽度b 与波长λ成正比，因此不同波长产生的衍射同样除中央明纹外将彼此错开。

于是观察到的衍射图样除其中央明纹的中心部分仍是白色的，而中央明纹的边缘伴有彩色，其他各级明纹成为彩色条纹并将出现重叠的现象。

5：缝宽b 对衍射时图样的影响。

中央最大值的半角宽度δθ与波长成正比，与缝宽b 成反比，δθ=bλ。

显然，随着缝的加宽，λ和b 的比值之间小，在b>λ的极限情况下，δθ→0，这里可以认为衍射图样压缩成一条亮条纹，这条亮纹正好是没有障碍物时光源经透镜后所成的像。

由此可见，障碍物使光强分布偏离几何光学规律的程度，可以用中央极大值的半角宽度来衡量，上式表明，只有在b>λ的条件下，衍射现象才可忽略不计；反之，波长越大或缝宽越小，衍射现象就越显著，利用此道理我们还可解释暗室的窗帘布为什么黑红两色，黑色的布里面再加一层红色布“以截住”“漏过”黑色布之红光。

6：关系式δθ=bλ又称为衍射的反比律。

它包含着深刻的物理意义：首先，它反映了障碍物与光波之间限制和扩展的辩证关系限制范围小，扩展现象越明显；在哪个方向上限制，就在那个方向扩展。

其次，它包含着“放大”，缝宽越小，δθ就越大。

不过这不是通常的几何放大，而是一种光学变换放大，这正是激光测径和衍射用于物质结构分析的基本原理。

五：夫琅和费单缝衍射图样编程结果1：用c 语言编程得到衍射过程的图样：此过程是对夫琅和费单缝衍射的动态模拟，以及光强衍射图样，其只是一个大致的过程，与实际并不完全一致。

2：用c语言编程描绘夫琅和费单缝衍射光强分布在编程序中，上面两个图得到函数的横坐标一致，这样才能得到更加直观的结果。

六：结论在上述单缝衍射光强的数学表达式的分析，得到了夫琅禾费单缝衍射的光强分布特点，中央极大值极小值次极大值等与理论结果完全一致，而在求解次极大值的过程中运用超越方程，在函数图中也能精确的求得，得到夫琅禾费单逢衍射特点。

参考文献《光学教程》第四版姚启钧（原注）高等教育出版社《C语言程序设计》第一版何钦铭颜晖（主编）高等教育出版社《计算物理学》陈锺贤编著哈尔滨工业大学出版社《光学教程》赵凯华北京：人们教育出版社附录：夫琅和费单缝衍射图样编程结果1：衍射过程的图样c语言程序：# include <graphics.h># include <stdlib.h># include <stdio.h># include<math.h>main(){float a=0.4;int graphdrv=DETECT;int graphmode;int A=180,B=0,M=0,N=0,G=0,F=0,H=0,X=0,V=0; float b,pi=3.141593,i,k,f,x,h,v,j;k=2*pi/1e7;a=a/500;initgraph(&graphdrv,&graphmode,"\\tc\\bgi"); setcolor(RED);line(635,0,635,479);line(0,240,635,240);fillellipse(100,240,10,200);setcolor(YELLOW);for(j=10;j<100;j++){line(M,140,j,140);line(N,240,j,240);line(G,340,j,340);M=j;N=j;G=j;delay(6000);}for(j=100;j<635;j++){h=0.018692*j;line(100+F,140-H,100+j,140-h);v=0.20561*j;line(100+F,240-V,100+j,240-v);x=0.39251*j;line(100+F,340-X,100+j,340-x);F=j;H=h;V=v;X=x;delay(4000);}for(f=1;f<240;f++){b=pi*a*sin(f/1e5)/k;i=180*pow(sin(b)/b,2);setcolor(GREEN);line(635-A,240-B,635-i,240-f);line(635-A,240+B,635-i,240+f);A=i;B=f;delay(2000);}settextstyle(1,0,0);outtextxy(130,240,"k/a");setcolor(BLUE);outtextxy(170,320,"I=180*(sin(b)/b)^2");getch();while(!kbhit());closegraph();}2：描绘夫琅和费单缝衍射光强分布的c语言程序# include <graphics.h># include <stdlib.h># include <stdio.h># include <math.h>main(){float a=0.4;int graphdrv=DETECT;int graphmode;int A=0,B=180,C=0,D=0;float b,pi=3.141593,k,i,f,m,n;k=2*pi/1e7;a=a/1000;initgraph(&graphdrv,&graphmode,"\\tc\\bgi"); setcolor(BLUE);line(320,0,320,479);line(0,200,639,200);line(0,340,639,340);setcolor(YELLOW);for(f=1;f<320;f++){b=pi*a*sin(f/1e5)/k;i=180*pow(sin(b)/b,2);line(320-A,200-B,320-f,200-i); line(320+A,200-B,320+f,200-i); A=f;B=i;delay(6000);}setcolor(45);for(f=1;f<320;f++){b=pi*a*sin(f/1e5)/k;line(320+A,340-C,320+f,340-m); line(320-A,340+C,320-f,340+m); m=50*tan(b);A=f;C=m;delay(6000);}setcolor(GREEN);for(f=1;f<320;f++){line(320+A,340-D,320+f,340-n); line(320-A,340+D,320-f,340+n); n=0.5*f;A=f;D=n;delay(6000);}setcolor(68);outtextxy(290,10,"I/I'"); outtextxy(300,210,"o"); outtextxy(630,210,"u"); outtextxy(310,350,"o"); outtextxy(630,350,"u");while(!kbhit());closegraph();}。