初二数学上学期期末试卷 一、选择题 1.下列各组数中互为相反数的是( ) A .2-与2 B .2-与38- C .2-与12- D .2-与()22-2.低碳环保理念深入人心,共享单车已经成为出行新方式下列共享单车图标中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .3.若一次函数(2)1y k x =-+的函数值y 随x 的增大而增大,则( )A .2k <B .2k >C .0k >D .k 0< 4.人的眼睛可以看见的红光的波长约为5810cm -⨯,近似数5810-⨯精确到( )A .0.001cmB .0.0001cmC .0.00001cmD .0.000001cm 5.下列四个实数中,属于无理数的是( )A .0B .9C .23D .12 6.计算021( 3.14)()2π--+=( ) A .5 B .-3 C .54 D .14- 7.估计()-⋅1230246的值应在( ) A .1和2之间 B .2和3之间C .3和4之间D .4和5之间 8.下列四个图形中轴对称图形的个数是( )A .1B .2C .3D .49.如果0a b -<,且0ab <,那么点(),a b 在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 10.一次函数y =﹣2x+3的图象不经过的象限是( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 二、填空题11.17.85精确到十分位是_____.12.若关于x 的分式方程122x x a x x--=--有增根,则a 的值_____________.13.如果点P (m+1,m+3)在y 轴上,则m=_____.14.点A (3,-2)关于x 轴对称的点的坐标是________.15.如图,AD 是ABC ∆的角平分线,DE AB ⊥于E ,若18AB =,12AC =,ABC ∆的面积等于30,则DE =_______.16.如图,△ABC 中,5BC =,AB 边的垂直平分线分别交AB 、BC 于点D 、E ,AC 边的垂直平分线分别交AC 、BC 于点F 、G ,则△AEG 周长为____.17.如图,直线l 上有三个正方形,,a b c ,若,a c 的面积分别为5和11,则b 的面积为__________.18.在平面直角坐标系中,已知一次函数y=-2x+1的图象经过P 1(x 1 , y 1)、P 2(x 2 , y 2)两点,若x 1>x 2 , 则y 1________y 2(填“>”或“<”).19.若正比例函数y=kx 的图象经过点(2,4),则k=_____.20.函数y 1=x+1与y 2=ax+b 的图象如图所示,那么,使y 1、y 2的值都大于0的x 的取值范围是______.三、解答题21.如图,已知函数12y x =+的图像与y 轴交于点A ,一次函数2y kx b =+的图像经过点(0,4)B ,与x 轴交于点C ,与12y x =+的图像交于点D ,且点D 的坐标为2,3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求k 和b 的值;(2)若12y y >,则x 的取值范围是__________.(3)求四边形AOCD 的面积.22.(模型建立)如图1,等腰直角三角形ABC 中,90ACB ∠=︒,CB CA =,直线ED 经过点C ,过A 作AD ED ⊥于点D ,过B 作BE ED ⊥于点E .求证:BEC CDA ∆∆≌;(模型应用)①已知直线1l :443y x =+与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,将直线1l 绕着点A 逆时针旋转45︒至直线2l ,如图2,求直线2l 的函数表达式;②如图3,在平面直角坐标系中,点()8,6B ,作BA y ⊥轴于点A ,作BC x ⊥轴于点C ,P 是线段BC 上的一个动点,点Q 是直线26y x =-上的动点且在第一象限内.问点A 、P 、Q 能否构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形,若能,请直接写出此时点Q 的坐标,若不能,请说明理由.23.已知ABC ∆中,AB AC =.(1)如图1,在ADE ∆中,AD AE =,连接BD 、CE ,若DAE BAC ∠=∠,求证:BD CE =(2)如图2,在ADE ∆中,AD AE =,连接BE 、CE ,若60DAE BAC ∠=∠=,CE AD ⊥于点F ,4AE =,5EC =,求BE 的长;(3)如图3,在BCD ∆中,45CBD CDB ∠=∠=,连接AD ,若45CAB ∠=,求AD AB的值.24.如图,ABC ∆为等边三角形,D 为ABC ∆内一点,且ABD DAC ∠=∠,过点C 作AD 的平行线,交BD 的延长线于点E ,BD EC =,连接AE .(1)求证:ABD ACE ∆∆≌;(2)求证:ADE ∆为等边三角形.25.解方程:32322x x x -=+-四、压轴题 26.阅读下列材料,并按要求解答.(模型建立)如图①,等腰直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,CB =CA ,直线ED 经过点C ,过A 作AD ⊥ED 于点D ,过B 作BE ⊥ED 于点E .求证:△BEC ≌△CDA .(模型应用)应用1:如图②,在四边形ABCD 中,∠ADC =90°,AD =6,CD =8,BC =10,AB 2=200.求线段BD 的长.应用2:如图 ③,在平面直角坐标系中,纸片△OPQ 为等腰直角三角形,QO =QP ,P (4,m ),点Q 始终在直线OP 的上方.(1)折叠纸片,使得点P 与点O 重合,折痕所在的直线l 过点Q 且与线段OP 交于点M ,当m =2时,求Q 点的坐标和直线l 与x 轴的交点坐标;(2)若无论m 取何值,点Q 总在某条确定的直线上,请直接写出这条直线的解析式 .27.定义:在平面直角坐标系中,对于任意两点A (a ,b ),B (c ,d ),若点T (x ,y )满足x =3+a c ,y =3+b d ,那么称点T 是点A 和B 的融合点.例如:M (﹣1,8),N (4,﹣2),则点T (1,2)是点M 和N 的融合点.如图,已知点D (3,0),点E 是直线y =x +2上任意一点,点T (x ,y )是点D 和E 的融合点.(1)若点E 的纵坐标是6,则点T 的坐标为 ;(2)求点T (x ,y )的纵坐标y 与横坐标x 的函数关系式:(3)若直线ET 交x 轴于点H ,当△DTH 为直角三角形时,求点E 的坐标.28.如图,在平面直角坐标系中,直线AB 经过点A 332)和B 3,0),且与y 轴交于点D ,直线OC 与AB 交于点C ,且点C 3.(1)求直线AB 的解析式;(2)连接OA ,试判断△AOD 的形状;(3)动点P 从点C 出发沿线段CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O 运动,运动时间为t 秒,同时动点Q 从点O 出发沿y 轴的正半轴以相同的速度运动,当点Q 到达点D 时,P ,Q 同时停止运动.设PQ 与OA 交于点M ,当t 为何值时,△OPM 为等腰三角形?求出所有满足条件的t 值.29.如图,在边长为2的等边三角形ABC 中,D 点在边BC 上运动(不与B ,C 重合),点E 在边AB 的延长线上,点F 在边AC 的延长线上,AD DE DF ==. (1)若30AED ∠=︒,则ADB =∠______.(2)求证:BED CDF △≌△.(3)试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中,BED 的周长l 是否发生变化?若不变,请求出l 的值,若变,请求出l 的取值范围.30.定义:若两个三角形,有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等,但不是全等三角形,我们就称这两个三角形为偏差三角形.(1)如图1,已知A (3,2),B (4,0),请在x 轴上找一个C ,使得△OAB 与△OAC 是偏差三角形.你找到的C 点的坐标是______,直接写出∠OBA 和∠OCA 的数量关系______.(2)如图2,在四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD ,∠D+∠B=180°,问△ABC 与△ACD 是偏差三角形吗?请说明理由.(3)如图3,在四边形ABCD 中,AB=DC ,AC 与BD 交于点P ,BD+AC=9,∠BAC+∠BDC=180°,其中∠BDC <90°,且点C 到直线BD 的距离是3,求△ABC 与△BCD 的面积之和.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】根据相反数的性质判断即可;【详解】A中-2=2,不是互为相反数;B382-=-,不是相反数;C中两数互为倒数;D中两数互为相反数;故选:D.【点睛】本题主要考查了相反数的性质应用,准确分析是解题的关键.2.A解析:A【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解.【详解】A、是轴对称图形.故选项正确;B、不是轴对称图形.故选项错误;C、不是轴对称图形.故选项错误;D、不是轴对称图形.故选项错误.故选:A.【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合.3.B解析:B【解析】【分析】根据一次函数图象的增减性来确定(k-2)的符号,从而求得k的取值范围.【详解】∵在一次函数y=(k-2)x+1中,y随x的增大而增大,∴k-2>0,∴k>2,故选B.【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系.在直线y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y 随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小.4.C解析:C【解析】【分析】把数还原后,再看首数8的最后一位数字8所在的位数是十万分位,即精确到十万分位.【详解】∵5810-⨯=0.00008,∴近似数5810-⨯是精确到十万分位,即0.00001.故选:C.【点睛】此题主要考查了科学记数法与有效数字,正确还原数据是解题关键.5.D解析:D【解析】【分析】根据无理数的定义,即可得到答案.【详解】=D正确;03=,23是有理数,故ABC错误;故选择:D.【点睛】本题考查了无理数的定义,解题的关键是熟记定义.6.A解析:A【解析】【分析】根据0指数幂和负整数幂定义进行计算即可.【详解】021( 3.14)()1452π--+=+= 故选:A【点睛】考核知识点:幂的运算.理解0指数幂和负整数幂定义是关键.7.B解析:B【解析】【分析】先利用分配律进行计算,然后再进行化简,根据化简的结果即可确定出值的范围.【详解】(==2,而,所以2<2-<3,所以估计(2和3之间, 故选B.【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小,熟练掌握运算法则以及“夹逼法”是解题的关键. 8.C解析:C【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解.【详解】解:根据轴对称图形的定义可知:第1,2,3个图形为轴对称图形,第4个图形不是轴对称图形,轴对称图共3个,故选:C .【点睛】本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.9.B解析:B【解析】【分析】根据0a b -<,且0ab <可确定出a 、b 的正负情况,再判断出点(),a b 的横坐标与纵坐标的正负性,然后根据各象限内点的坐标特征解答.【详解】解:∵0a b -<,且0ab <,∴a 0,0b <>∴点(),a b 在第二象限故选:B【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(-,+);第三象限(-,-);第四象限(+,-).10.C解析:C【解析】试题解析:∵k=-2<0,∴一次函数经过二四象限;∵b=3>0,∴一次函数又经过第一象限,∴一次函数y=-x+3的图象不经过第三象限,故选C .二、填空题11.9.【解析】【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可.【详解】17.85精确到十分位是17.9故答案为:17.9.【点睛】本题考查了近似数和有效数字:“精确到第几位”和“有几个有效解析:9.【解析】【分析】把百分位上的数字5进行四舍五入即可.【详解】17.85精确到十分位是17.9故答案为:17.9.【点睛】本题考查了近似数和有效数字:“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式,它们实际意义是不一样的,前者可以体现出误差值绝对数的大小,而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些.12.4【解析】【分析】方程第二个分母提取-1变形后,去分母转化为整式方程,表示出方程的解,令方程的解为2,即可求出a 的值.【详解】方程变形得:,去分母得:x+x-a=x-2,解得:x=a-解析:4【解析】【分析】方程第二个分母提取-1变形后,去分母转化为整式方程,表示出方程的解,令方程的解为2,即可求出a 的值.【详解】 方程变形得:+122x x a x x -=--, 去分母得:x+x-a=x-2,解得:x=a-2, ∵方程122x x a x x --=--有增根, ∴x=2,即a-2=2,解得:a=4,故答案为:4.【点睛】此题考查了分式方程的增根,增根问题可按如下步骤进行:①让最简公分母为0确定增根;②化分式方程为整式方程;③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值.13.﹣1.【解析】∵点P (m+1,m+3)在y 轴上,∴m+1=0,∴m=-1.故答案为:-1.解析:﹣1.【解析】∵点P (m+1,m+3)在y 轴上,∴m+1=0,∴m=-1.故答案为:-1.14.(3,2)【解析】试题分析:点A (3,﹣2)关于x 轴对称的点的坐标是(3,2).故答案为(3,2).考点:关于x 轴、y 轴对称的点的坐标.解析:(3,2)【解析】试题分析:点A (3,﹣2)关于x 轴对称的点的坐标是(3,2).故答案为(3,2). 考点:关于x 轴、y 轴对称的点的坐标.15.2【解析】【分析】延长AC,过D 点作DF ⊥AF 于F ,根据角平分线的性质得到DE=DF,由即可求出.【详解】解:如图延长AC,过D 点作DF ⊥AC 于F∵是的角平分线,DE ⊥AB ,∴DE解析:2【解析】【分析】延长AC ,过D 点作DF ⊥AF 于F ,根据角平分线的性质得到DE=DF,由ABC ABD ACDSS S =+即可求出.【详解】延长AC ,过D 点作DF ⊥AC 于F∵AD 是ABC ∆的角平分线,DE⊥AB,∴DE =DF∵ABC ABD ACD S S S =+=30 ∴113022AB DE DF AC ⋅+⋅= ∵18AB =,12AC = ,DE =DF∴1118123022DE DE ⨯⋅+⨯= 得到 DE=2故答案为:2.【点睛】 此题主要考查了角平分线的性质,熟记概念是解题的关键.16.【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE ,AG=GC ,据此计算即可.【详解】解:∵ED ,GF 分别是AB ,AC 的垂直平分线,∴AE=BE ,AG=GC ,∴△AEG 的周长为AE解析:【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE ,AG=GC ,据此计算即可.【详解】解:∵ED ,GF 分别是AB ,AC 的垂直平分线,∴AE=BE ,AG=GC ,∴△AEG 的周长为AE+AG+EG=BE+CG+EG=BC=5.故答案是:5.【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质,掌握性质是解题关键.线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.【解析】【分析】运用正方形边长相等,再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE,然后证明△ΔBCA≌ΔAED,结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.【详解】解:∵AB=AD,∠BC解析:16【解析】【分析】运用正方形边长相等,再根据同角的余角相等可得∠ABC=∠DAE,然后证明△ΔBCA≌ΔAED,结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.【详解】解:∵AB=AD,∠BCA=∠AED=90°,∴∠ABC=∠DAE,∴ΔBCA≌ΔAED(ASA),∴BC=AE,AC=ED,故AB²=AC²+BC²=ED²+BC²=11+5=16,即正方形b的面积为16.点睛:此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用,解题的重点在于证明ΔBCA≌ΔAED,而利用全等三角形的性质和勾股定理得到b=a+c则是解题的关键. 18.<【解析】【分析】根据一次函数的性质,当k<0时,y随x的增大而减小进行判断即可.【详解】解:∵一次函数y=-2x+1中k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵x1>x2,∴y1<y2解析:<【解析】【分析】根据一次函数的性质,当k<0时,y随x的增大而减小进行判断即可.解:∵一次函数y=-2x+1中k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵x1>x2,∴y1<y2.故答案为<.【点睛】此题主要考查了一次函数的性质,关键是掌握一次函数y=kx+b,当k>0时,y随x的增大而增大,当k<0时,y随x的增大而减小.19.2【解析】解析:2【解析】4=22k k⇒=20.−1<x<2.【解析】【分析】根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答.【详解】如图所示,x>−1时,y>0,当x<2时,y>0,∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是:−1<x<2.解析:−1<x<2.【解析】【分析】根据x轴上方的图象的y值大于0进行解答.【详解】如图所示,x>−1时,y1>0,当x<2时,y2>0,∴使y1、y2的值都大于0的x的取值范围是:−1<x<2.故答案为:−1<x<2.【点睛】此题考查两条直线相交或平行问题,解题关键在于x轴上方的图象的y值大于0三、解答题21.(1)k和b的值分别为2-和4;(2)23x>;(3)103.【解析】(1)根据点D 在函数y =x +2的图象上,即可求出n 的值;再利用待定系数法求出k ,b 的值;(2)根据图象,直接判断即可;(3)用三角形OBC 的面积减去三角形ABD 的面积即可.【详解】(1)函数12y x =+的图像过点D ,且点D 的坐标为2(,)3n ,则有28233n =+=. 所以点D 的坐标为28(,)33. 所以有4,28.33b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,4.k b =-⎧⎨=⎩所以k 和b 的值分别为2-和4. (2)由图象可知,函数y =kx +b 大于函数y =x +2时,图象在直线x =23的左侧, ∴x <23, 故答案为:x <23. (3)已知函数12y x =+的图像与y 轴交于点A ,则点A 坐标为(0,2).所以422AB OB OA =-=-=.函数2y kx b =+的图像与x 轴交于点C ,令20y =,则240x -+=.2x =.所以点C 坐标为(2,0).∴2OC =.则四边形AOCD 的面积等于112104222233BOC BAD S S ∆∆-=⨯⨯-=⨯⨯. 【点睛】本题主要考查一次函数的交点,解决此题时,明确二元一次方程组与一次函数的关系是解决此类问题的关键.第(3)小题中,求不规则图形的面积时,可以利用整体减去部分的方法进行计算.22.【模型建立】详见解析;【模型应用】①721y x =--;②Q 点坐标为(4,2)或(203,223). .【解析】【分析】模型建立:根据△ABC为等腰直角三角形,AD⊥ED,BE⊥ED,可判定△ACD≌△CBE;模型应用:①过点B作BC⊥AB,交l2于C,过C作CD⊥y轴于D,根据△CBD≌△BAO,得出BD=AO=2,CD=OB=3,求得C(-3,5),最后运用待定系数法求直线l2的函数表达式;②分两种情况考虑:如图3,∠AQP=90°,AQ=PQ,设Q点坐标为(a,2a-6),利用三角形全等得到a+6-(2a-6)=8,得a=4,易得Q点坐标;如图4,同理求出Q的坐标.【详解】模型建立:证明:∵AD CD⊥,BE EC⊥∴90D E∠=∠=︒.∵CB CA=,∠ACB=90°.∴1809090ACD BCE︒︒∠+∠=-=︒.又∵90EBC BCE∠+∠=︒,∴ACD EBC∠=∠.在ACD∆与CBE∆中,D EACD EBCCA CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴BEC CDA∆∆≌.模型应用:如图2,过点B作BC AB⊥交2l于C,过C作CD y⊥轴于D,∵45BAC∠=︒,∴ABC∆为等腰直角三角形.由(1)可知:CBD BAO∆∆≌,∴BD AO=,CD OB=.∵144,3:l y x=+∴令0y=,得3x=-,∴()30A-,,令0x=,得4y=,∴()0,4B.∴3BD AO==,4CD OB==,∴437OD=+=.∴()4,7C -.设2l 的解析式为y kx b =+∴7403k b k b =-+⎧⎨=-+⎩∴721k b =-⎧⎨=-⎩ 2l 的解析式:721y x =--.分以下两种情况:如图3,当∠AQP=90°时,AQ=PQ ,过点Q 作EF ⊥y 轴,分别交y 轴和直线BC 于点E 、F .在△AQE 和△QPF 中,由(1)可得,△AQE ≌△QPF (AAS ),AE=QF ,设点Q 的坐标为(a,2a-6),即6-(2a-6)=8-a ,解得a=4.此时点Q 的坐标为(4,2).如图4:当∠AQP=90°时,AQ=PQ 时,过点Q 作EF ⊥y 轴,分别交y 轴和直线BC 于点E 、F ,设点Q 的坐标为(a,2a-6),则AE=2a-12,FQ=8-a .,在△AQE 和△QPF 中,同理可得△AQE ≌△QPF (AAS ),AE=QF ,即2a-12=8-a ,解得a=203. 此时点Q 的坐标为(203,223). 综上所述:A 、P 、Q 可以构成以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形,点Q 的坐标为 (4,2)或(203,223).【点睛】本题考查一次函数综合题,主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,运用全等三角形的性质进行计算,需要考虑的多种情况,解题时注意分类思想的运用.23.(1)详见解析;(2;(3【解析】【分析】(1)证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得;(2)连接BD ,证1302FEA AED ∠=∠=,证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5,利用勾股定理求解;(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=,利用勾股定理得AE =,,根据(1)思路得.【详解】(1) 证明:∵∠DAE=∠BAC ,∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ,即∠EAC=∠DAB.在△ACE 与△ABD 中,AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ACE ≌△ABD(SAS),∴BD CE =;(2)连接BD因为AD AE =, 60DAE BAC ∠=∠=,所以ADE ∆是等边三角形因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS),所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=所以=(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=所以AE=222AB AC AC +=因为AB AC =所以AE 2AB =又因为45CAB ∠=所以90ABE ∠=所以()222223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=所以BC=CD, 90BCD ∠=因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)所以AD=BE=3AB所以33AD AB AB ==【点睛】考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.24.(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)先证明∠ACE=∠CAD=∠ABD ,再根据SAS 证明ABD ACE ∆∆≌即可;(2)由ADB AEC ∆∆≌可得AD AE =,BAD CAE ∠=∠再证明60DAE ︒∠=即可.【详解】(1)ABC ∆为等边三角形,,60AB AC BAC ︒∴=∠=//AD ECDAC ACE ∴∠=∠又ABD DAC ∠=∠ABD ACE ∴∠=∠ 在BAD ∆与CAE ∆中,AB AC ABD ACE BD EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADB AEC SAS ∴∆∆≌(2)()ADB AEC SAS ∆∆≌,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠CAE DAC BAD DAC ∴∠+∠=∠+∠60DAE BAC ︒∴∠=∠=ADE ∴∆为等边三角形.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定,熟练掌握定理与性质是解此题的关键.25.x=1【解析】试题分析:按照解分式方程的步骤求解即可.试题解析:去分母得,3x(x-2)-2(x+2)=3(x+2)(x-2)去括号得,3x 2-6x-2x-4=3x 2-12移项,合并同类项得:-8x=-8∴x=1经检验:x=1是原方程的根,考点:解分式方程.四、压轴题26.模型建立:见解析;应用1:2:(1)Q (1,3),交点坐标为(52,0);(2)y =﹣x+4【解析】【分析】根据AAS 证明△BEC ≌△CDA ,即可;应用1:连接AC ,过点B 作BH ⊥DC ,交DC 的延长线于点H ,易证△ADC ≌△CHB ,结合勾股定理,即可求解;应用2:(1)过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP 相交于点H,易得:△OKQ≌△QHP,设H(4,y),列出方程,求出y的值,进而求出Q(1,3),再根据中点坐标公式,得P(4,2),即可得到直线l的函数解析式,进而求出直线l与x轴的交点坐标;(2)设Q(x,y),由△OKQ≌△QHP,KQ=x,OK=HQ=y,可得:y=﹣x+4,进而即可得到结论.【详解】如图①,∵AD⊥ED,BE⊥ED,∠ACB=90°,∴∠ADC=∠BEC=90°,∴∠ACD+∠DAC=∠ACD+∠BCE=90°,∴∠DAC=∠BCE,∵AC=BC,∴△BEC≌△CDA(AAS);应用1:如图②,连接AC,过点B作BH⊥DC,交DC的延长线于点H,∵∠ADC=90°,AD=6,CD=8,∴AC=10,∵BC=10,AB2=200,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∵∠ADC=∠BHC=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBH,∵AC=BC=10,∴△ADC≌△CHB(AAS),∴CH=AD=6,BH=CD=8,∴DH=6+8=14,∵BH⊥DC,∴BD=应用2:(1)如图③,过点P作PN⊥x轴于点N,过点Q作QK⊥y轴于点K,直线KQ和直线NP相交于点H,由题意易:△OKQ≌△QHP(AAS),设H(4,y),那么KQ=PH=y﹣m=y﹣2,OK=QH=4﹣KQ=6﹣y,又∵OK=y,∴6﹣y=y,y=3,∴Q(1,3),∵折叠纸片,使得点P与点O重合,折痕所在的直线l过点Q且与线段OP交于点M,∴点M是OP的中点,∵P(4,2),∴M(2,1),设直线Q M的函数表达式为:y=kx+b,把Q (1,3),M(2,1),代入上式得:213k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得:25k b =-⎧⎨=⎩ ∴直线l 的函数表达式为:y =﹣2x +5,∴该直线l 与x 轴的交点坐标为(52,0); (2)∵△OKQ ≌△QHP ,∴QK =PH ,OK =HQ ,设Q (x ,y ),∴KQ =x ,OK =HQ =y ,∴x +y =KQ +HQ =4,∴y =﹣x +4,∴无论m 取何值,点Q 总在某条确定的直线上,这条直线的解析式为:y =﹣x +4, 故答案为:y =﹣x +4.【点睛】 本题主要考查三角形全等的判定和性质定理,勾股定理,一次函数的图象和性质,掌握“一线三垂直”模型,待定系数法是解题的关键.27.(1)(73,2);(2)y =x ﹣13;(3)E 的坐标为(32,72)或(6,8) 【解析】【分析】(1)把点E 的纵坐标代入直线解析式,求出横坐标,得到点E 的坐标,根据融合点的定义求求解即可;(2)设点E 的坐标为(a ,a+2),根据融合点的定义用a 表示出x 、y ,整理得到答案;(3)分∠THD=90°、∠TDH=90°、∠DTH=90°三种情况,根据融合点的定义解答.【详解】解:(1)∵点E 是直线y =x +2上一点,点E 的纵坐标是6,∴x +2=6,解得,x =4,∴点E 的坐标是(4,6),∵点T (x ,y )是点D 和E 的融合点,∴x =343+=73,y =063+=2,∴点T 的坐标为(73,2), 故答案为:(73,2); (2)设点E 的坐标为(a ,a +2),∵点T (x ,y )是点D 和E 的融合点,∴x =33a +,y =023a ++, 解得,a =3x ﹣3,a =3y ﹣2,∴3x ﹣3=3y ﹣2, 整理得,y =x ﹣13; (3)设点E 的坐标为(a ,a +2), 则点T 的坐标为(33a +,23a +), 当∠THD =90°时,点E 与点T 的横坐标相同, ∴33a +=a , 解得,a =32, 此时点E 的坐标为(32,72), 当∠TDH =90°时,点T 与点D 的横坐标相同, ∴33a +=3, 解得,a =6,此时点E 的坐标为(6,8),当∠DTH =90°时,该情况不存在,综上所述,当△DTH 为直角三角形时,点E 的坐标为(32,72)或(6,8) 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、融合点的定义,解题关键是灵活运用分情况讨论思想.28.(1)y +2;(2)△AOD 为直角三角形,理由见解析;(3)t =23. 【解析】【分析】(1)将点A 、B 的坐标代入一次函数表达式:y =kx +b ,即可求解;(2)由点A 、O 、D 的坐标得:AD 2=1,AO 2=3,DO 2=4,故DO 2=OA 2+AD 2,即可求解;(3)点C(3,1),∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°,故点C(3,1),则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=2﹣t.①当OP=OM时,OQ=QH+OH,即3(2﹣t)+12(2﹣t)=t,即可求解;②当MO=MP时,∠OQP=90°,故OQ=12O P,即可求解;③当PO=PM时,故这种情况不存在.【详解】解:(1)将点A、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b得:33=22023k bk b ⎧+⎪⎨⎪=+⎩,解得:3 =2kb⎧⎪⎨⎪=⎩-故直线AB的表达式为:y=﹣33x+2;(2)直线AB的表达式为:y=﹣3x+2,则点D(0,2),由点A、O、D的坐标得:AD2=1,AO2=3,DO2=4,故DO2=OA2+AD2,故△AOD为直角三角形;(3)直线AB的表达式为:y=﹣33x+2,故点C(3,1),则OC=2,则直线AB的倾斜角为30°,即∠DBO=30°,则∠ODA=60°,则∠DOA=30°故点C(3,1),则OC=2,则点C是AB的中点,故∠COB=∠DBO=30°,则∠AOC=30°,∠DOC=60°,OQ=CP=t,则OP=OC﹣PC=2﹣t,①当OP=OM时,如图1,则∠OMP =∠MPO =12(180°﹣∠AOC )=75°,故∠OQP =45°, 过点P 作PH ⊥y 轴于点H , 则OH =12OP =12(2﹣t ), 由勾股定理得:PH =32(2﹣t )=QH , OQ =QH +OH =3(2﹣t )+12(2﹣t )=t , 解得:t =23; ②当MO =MP 时,如图2,则∠MPO =∠MOP =30°,而∠QOP =60°,∴∠OQP =90°,故OQ =12OP ,即t =12(2﹣t ), 解得:t =23; ③当PO =PM 时,则∠OMP =∠MOP =30°,而∠MOQ =30°,故这种情况不存在;综上,t =23或233. 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一次函数解析式、勾股定理、含30°的角的直角三角形的性质等知识点,还利用了方程和分类讨论的思想,综合性较强,难度较大,解题的关键是学会综合运用性质进行推理和计算.29.(1)90°;(2)证明见解析;(3)变化,234l +≤<.【解析】(1)由等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=60°,由等腰三角形的性质可求DAE=∠DEA=30°,由三角形内角和定理可求解;(2)根据等腰三角形的性质,可证得∠CDF=∠DEA 和∠EDB=∠DFA ,由此可利用“ASA”证明全等;(3)根据全等三角形的性质可得l =2+AD ,根据AD 的取值范围即可得出l 的取值范围.【详解】解:(1)∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC=2,∠ABC=∠ACB=60°,∵AD=DE∴∠DAE=∠DEA=30°,∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=90°,故答案为:90°;(2)∵AD=DE=DF ,∴∠DAE=∠DEA ,∠DAF=∠DFA ,∵∠DAE+∠DAF=∠BAC=60°,∴∠DEA+∠DFA=60°,∵∠ABC=∠DEA+∠EDB=60°,∴∠EDB=∠DFA ,∵∠ACB=∠DFA+∠CDF=60°,∴∠CDF=∠DEA ,在△BDE 和△CFD 中∵CDF DEA DE DF EDB DFA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,∴△BDE ≌△CFD (ASA )(3)∵△BDE ≌△CFD ,∴BE=CD ,∴l =BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD ,当D 点在C 或B 点时,AD=AC=AB=2,此时B 、D 、E 三点在同一条直线上不构成三角形,2+AD=4;当D 点在BC 的中点时,∵AB=AC ,∴BD=112BC =,AD ==此时22l AD =+=综上可知24l +≤<.本题考查全等三角形的性质和判定,勾股定理,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和定理.(1)掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键;(2)中注意角之间的转换;(3)中注意临界点是否可取.30.(1)(2,0),∠OBA+∠OCA=180°;(2)△ABC与△ACD是偏差三角形,理由见解析;(3)27 2【解析】【分析】(1)根据偏差三角形的定义,即可得到C的坐标,根据等腰三角形的性质和平角的定义,即可得到结论;(2)在AD上取一点H,使得AH=AB,易证△CAH≌△CAB,进而可得∠D=∠CHD,根据偏差三角形的定义,即可得到结论;(3)延长CA至点E,使AE=BD,连接BE,由SAS可证∆BDC≅∆EAB,得EA=BD,点B到直线EA的距离是3,根据三角形的面积公式,即可求解.【详解】(1)∵当AC=AB时,△OAB与△OAC是偏差三角形,A(3,2),B(4,0),∴点C的坐标为(2,0),如图1,∵AC=AB,∴∠ACB=∠ABC,∵∠OCA+∠ACB=180°,∴∠OBA+∠OCA=180°,故答案为:(2,0),∠OBA+∠OCA=180°;(2)△ABC与△ACD是偏差三角形,理由如下:如图2中,在AD上取一点H,使得AH=AB.∵AC平分∠BAD,∴∠CAH=∠CAB,又∵ AC=AC,∴△CAH≌△CAB(SAS),∴CH=CB,∠B=∠AHC,∵∠B+∠D=180°,∠AHC+∠CHD=180°,∴∠D=∠CHD,∴CH=CD,∴CB=CD,∵△ACD和△ABC中,AC=AC,∠CAD=∠CAB,BC=CD,△ADC与△ABC不全等,∴△ABC与△ACD是偏差三角形;(3)如图3中,延长CA至点E,使AE=BD,连接BE,∵∠BAC+∠BDC=180°,∠BAC+∠BAE=180°,∴∠BDC=∠BAE,又∵AB=CD,∴∆BDC≅∆EAB(SAS),∴EA=BD,∵点C到直线BD的距离是3,∴点B到直线EA的距离是3,∴S△ABC+S△BCD=S△ABC+S△EAB= S△BCE=12∙(AC+EA)×3 =12∙(AC+BD)×3 =12×9×3=272.【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,三角形全等的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形,是解题的关键.。