第二章 滞后算子及其性质滞后算子是对时间序列进行动态线性运算的主要工具，利用滞后算子可以使得一些非线性运算非常简洁。

§2.1 基本概念时间序列是以观测值发生的时期作为标记的数据集合。

一般情况下，我们是从某个特定的时间开始采集数据，直到另一个固定的时间为止，我们可以将获得的数据表示为：),,,(21T y y y如果能够从更早的时间开始观测，或者观测到更晚的时期，那么上面的数据区间可以进一步扩充。

相对而言，上述数据只是一个数据的片段，整个数据序列可以表示为：+∞=-∞==t t t T y y y y }{),,,,,,(21例2.1 几种代表性的时间序列(1) 时间趋势本身也可以构成一个时间序列，此时：t y t =；(2) 另一种特殊的时间序列是常数时间序列，即：c y t =，c 是常数，这种时间的取值不受时间的影响；(3) 在随机分析中常用的一种时间序列是高斯白噪声过程，表示为：t t y ε=，+∞=-∞=t t t }{ε是一个独立随机变量序列，每个随机变量都服从),0(2σN 分布。

时间序列之间也可以进行转换，类似于使用函数关系进行转换。

它是将输入时间序列转换为输出时间序列。

例2.2 几种代表性的时间序列转换(1) 假设t x 是一个时间序列，假设转换关系为：t t x y β=，这种算子是将一个时间序列的每一个时期的值乘以常数转换为一个新的时间序列。

(2) 假设t x 和t w 是两个时间序列，算子转换方式为：t t t w x y +=，此算子是将两个时间序列求和。

定义2.1 如果算子运算是将一个时间序列的前一期值转化为当期值，则称此算子为滞后算子，记做L 。

即对任意时间序列t x ，滞后算子满足：1)(-≡t t x x L (1)类似地，可以定义高阶滞后算子，例如二阶滞后算子记为2L ，对任意时间序列t x ，二阶滞后算子满足：22)]([)(-=≡t t t x x L L x L (2)一般地，对于任意正整数k ，有：k t t k x x L -=)( (3)命题2.1 滞后算子运算满足线性性质： (1) )()(t t x L x L ββ= (2) )()()(t t t t w L x L w x L +=+证明：(1) 利用滞后算子性质，可以得到：)()(1t t t x L x x L βββ==-(2) )()()(11t t t t t t w L x L w x w x L +=+=+-- End 由于滞后算子具有上述运算性质和乘法的交换性质，因此可以定义滞后算子多项式，它的作用是通过它对时间序列的作用获得一个新的时间序列，并且揭示这两个时间序列之间的关系。

显然，滞后算子作用到常数时间序列上，时间序列仍然保持常数，即：c c L =)(。

§2.2 一阶差分方程利用滞后算子，可以将前面的一阶差分方程表示成为滞后算子形式：t t t t t w y L w y y +=+=-φφ1 (4)也可以表示为：t t w y L =-)1(φ (5)在上述等式两边同时作用算子：)1(22t t L L L φφφ++++ ，可以得到：t t t t t t w L L y L L L )1()1)(1(φφφφφ+++=-+++计算得到：t t t t t t w L L y L )1()1(11φφφ+++=-++利用滞后算子性质得到：0111w w w y y t t t t t φφφ+++++=--+ (6)上述差分方程的解同利用叠代算法得到的解是一致的。

注意到算子作用后的等式：t t t t t t y y y L L L 1)1)(1(+-=-+++φφφφ如果时间序列t y 是有界的，即存在有限的常数M ，使得任意时间均有：M y t ≤||，并且1||<φ，则上式当中的尾项随着时间增加趋于零。

从而有：t t t t t y y L L L =-+++∞→)1)](1[(lim φφφ (7)如果利用“1”表示恒等算子，则有：1)1)](1[(lim =-+++∞→L L L t t t φφφ (8)记(需要注意的是，这里只是表示一个运算符号)：)]1[(lim )1(1t t t L L L φφφ+++=-∞→- (9)因此得到了“逆算子”的表达式，这类似于以滞后算子为变量的函数展开式。

定义2.2 当1||<φ时，定义算子)1(L φ-的逆算子为1)1(--L φ，它满足：(1) I L L L L =--=----)1()1()1)(1(11φφφφ (10) 其中I 表示单位算子，即对任意时间序列t y ，有：t t y y I =)( (2) 在形式上逆算子可以表示为：∑=-∞=-01)1(j j j L L φφ (11)这表示逆算子作为算子运算规则是：对于任意时间序列t y ，有：∑=∑=-∞=-∞=-01)()1(j j t j j t j j t y yL y L φφφ当1||≥φ时，逆算子1)1(--L φ的定义以后讨论。

如果时间序列t y 是有界的，则一阶差分方程的解可以表示为：∑=+++=∞=---0221j j t j t t t t w w w w y φφφ可以验算上述表达式确实满足一阶线性差分方程。

但是解并惟一，例如对于任意实数0a ，下述形式的表达式均是方程的解。

∑+=∞=-00j j t j tt w a y φφ上述差分方程的解中含有待定系数，这为判断解的性质留出一定的余地。

§2.3 二阶差分方程我们考察二阶差分方程的滞后算子表达式：t t t t w y y y ++=--2211φφ将其利用滞后算子表示为：t t w y L L =--)1(221φφ (12)对二阶滞后算子多项式进行因式分解，即寻求1λ和2λ使得：])(1[)1)(1()1(2212121221L L L L L L λλλλλλφφ++-=--=--显然1λ和2λ是差分方程对应的特征方程的根：0212=--φλφλ (13)当特征根1λ和2λ落在单位圆内的时候(这也是差分方程的稳定性条件)，滞后算子多项式分解为：++++=--3312211111)1(L L L L λλλλ， ++++=--3322222121)1(L L L L λλλλ这时二阶差分方程解可以表示为：t t w L L y 1211)1()1(----=λλ注意到算子分式也可以进行分项分式分解(如此分解需要证明，参见Sargent ，1987，p. 184)：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--)1()1()(1)1)(1(122112121L L L L λλλλλλλλ 将上述表达式带入到二阶差分方程解中：() ++++++=+++++++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--222221112211212222221121221121)()()(11)(1)1()1()(1t t t t t t w c c w c c w c c w L L L L w L L y λλλλλλλλλλλλλλλλ 其中：2111λλλ-=c ，1222λλλ-=c利用上述公式，可以得到外生扰动的动态反应乘子为： jj tjt c c w y 2211λλ+=∂∂+， ,1,0=j (14) 上述利用滞后算子运算得到的乘数与以前所得完全一致。

例2.3 对于二阶差分方程而言，其特征方程是：0212=--φλφλ得到特征根为：)4(212111φφφλ++=，)4(212112φφφλ+-=上述方程的稳定性与滞后算子多项式的根落在单位圆内是一致的。

§2.4 p 阶差分方程上述算子多项式的分解方法可以直接推广到p 阶差分方程情形。

将p 阶差分方程表示成为滞后算子形式：t t p p w y L L L =----)1(221φφφ (15)将上式左端的算子多项式分解为：)1()1)(1()1(21221L L L L L L p p p λλλφφφ---=---- (16) 这相当于寻求),,(1p λλ 使得下述代数多项式恒等：)1()1)(1()1(21221z z z z z z p p p λλλφφφ---=---- (17)定义1-=z λ，则可以将上述多项式表示成为：)())(()(212211p p p p p λλλλλλφλφλφλ---=------ (18) 这意味着算子多项式的分解，就相当于求出差分方程特征方程的根。

如果差分方程的根相异，且全部落在单位圆内，则可以进行下述分式分解：)1()1()1()1()1)(1(1121121L c L c L c L L L p p p λλλλλλ-++-+-=--- (19)通过待定系数法，可以得到上述分式中的参数为：112111----+++=p pp p p i i c λλλλ ，p j ,,2,1 = (20)显然有：121=+++p c c c (21) 利用上述算子多项式分解，可以得到差分方程的解为：+++++++++++++=++++++++++++=-++-+-=----=--j p jp p j j p p p p p tp p p t t tp p t t tp p t w c c c w c c c w c c c w L L c w L L c w L L c w L c w L c w L c w L L L y )()()()1()1()1()1()1()1()1(1221112211212222222221112211221λλλλλλλλλλλλλλλφφφ (22) 通过上述方程通解，可以得到动态反应乘子为： jp p j j t jt c c c w y λλλ+++=∂∂+ 2211， ,2,1=j (23) 命题2.2 外生变量t w 对t y 现值的影响和外生变量t w 持续扰动对t y 的动态影响乘子是：p pj j t j t y w βφβφβφβ----=⎪⎭⎫⎝⎛∑∂∂∞=+ 221011 p j t j t t j t t j t j w y w y w y φφφ----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂++∂∂+∂∂+++++∞→ 21111lim 证明：将差分方程的解表示为： +++=--33221t t t t w w w y ϕϕϕ， 其中：][11jp p j j c c λλϕ++= ， ,2,1=j设：++++=332210)(L L L L ϕϕϕϕϕ 利用算子多项式表示： t t w L y )(ϕ=t w 对t y 现值的影响可以表示为：∑==∑∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∂∂∞=∞=+∞=+000)(j j j j t j t jj j t j t w y y w βϕϕβββ 注意到：11332210)]1()1[()(---=++++=L L L L L L p λλϕϕϕϕϕ因此有：122111]1[)]1()1[()(------=--=p p p βφβφβφβλβλβϕ长期乘数相当于1=β的情形，从而得到公式所示的公式。