联系：
（1）若一个序列为严平稳序列，且有有穷 的二阶矩，那么该序列也必为宽平稳序 列。
（2）若时间序列为正态序列（即它的任何 有限维分布都是正态分布），那么该序 列为严平稳序列和宽平稳序列是相互等 价的。
注：由于在实际中严平稳序列的条件非常 难以满足，我们研究的通常是宽平稳序 列，在以后讨论中，若不作特别说明， 平稳序列即指宽平稳序列。
平稳随机过程的一维概率密度函数与 时间无关。二维概率密度函数只与时间 间隔S有关，而与时间的起点和终点无关。
2.宽平稳过程：若时间序列有有穷的二阶 矩，且Xt满足如下两个条件： (1)t EXt c (2) (t, s) E(Xt c)(Xs c) (t s,0)
则称该时间序列为宽平稳过程。
此定义表明，宽平稳过程各随机变量的均值 为常数，且任意两个变量的协方差仅与时间
间隔(t-s)有关。 （宽平稳过程只涉及一阶和二阶矩）
3.严平稳过程和宽平稳过程的联系和区别
区别：
（1）严平稳的概率分布随时间的平移而不 变，宽平稳序列的均值和自协方差随时间 的平移而不变。
（2）一个严平稳序列，不一定是宽平稳序 列；一个宽平稳序列也不一定是严平稳序 列。
随机过程是一族随机变量，类似于随机变 量，可以定义随机过程的概率分布函数 和概率密度函数。它们都是两个变量t,x 的函数。
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如：时间序列的所有一维分布是： 若给定时刻ti，随机过程就是一维随机变量X（ti)。
事件x(ti)<=x的概率为 F (x,ti) P[x(ti) x]
《随机过程导论》周萌清
该定义蕴涵的四种情况：
1、当e和t都是变量时，x(t)是一族时间的函数，它 表示一个随机过程； 2、当e给定，t为变量时， x(t)是一个时间t的函数， 称它为样本函数，有时也称为一次实现。 3、当t给定，e为变量时， x(t)是一个随机变量。 4、当e、t均给定时， x(t) 是一个标量或者矢量。
如果我们能确定出时间序列的概率分布， 我们就可以对时间序列构造模型，并描 述时间序列的全部随机特征，但由于确 定时间序列的分布函数一般不可能，人 们更加注意使用时间序列的各种特征量 的描述，如均值函数、协方差函数、自 相关函数、偏自相关函数等，这些特征 量往往能代表随机变量的主要特征。
例1、设随机过程X（t）=At，A为均匀分布于[0，1]上 的随机变量。试问X（t）是否平稳？
例2、设随机过程Z（t）=Xcost+Ysint , t
其中X，Y为相互独立的随机变量，且分别以概率2/3、 1/3取值-1和2。试讨论随机过程Z（t）的平稳性。
二、时间序列的分布、均值和协方差函数 1.时间序列的概率分布
t T
第二节 平稳时间序列
一、两种不同的平稳性定义 二、时间序列的分布、均值和协方差函数 三、平稳序列的自协方差和自相关函数 四、白噪声序列和独立同分布序列 五、独立增量随机过程、二阶矩过程 六、线性平稳序列 七、偏自相关函数
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一、两种不同的平稳性定义
1.严平稳过程：若对于时间 t的任意n个值 t1<t2<…<tn，此序列中的随机变量 Xt1+s,Xt2+s, …,Xtn+s联合分布与整数s无关， 即有：
X(t)
t
当T ,,则随机过程可表示成 {X t , t }
当t {0,1,2, }时随机过程可写为 {X t ,t 0,1,2, }
《经济时间序列 》王耀东
此类随机过程又称随机序列（random sequence)或时间序列（time series)。对于一个连 续时间的随机过程，通过等间隔采样，也是一个 随机序列。
第一节 随机过程
一、随机过程的定义 二、随机过程与随机变量之间的关
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一、随机过程
1.引：事物的变化过程可分为两类：对于 每一个固定的时刻t，变化的结果，一类 是确定的，这个结果可用t的某个确定性 函数来描述；另一类结果是随机的，即 以某种可能性出现多个（有限多个或无 限多个）结果之一。
F-1(X-1)，F-2(X-2)，F0(X0)，F1(X1)，F2(X2) …… 其中Fi(Xi)表示Xi的分布函数。对其关于x求偏导，
即X（t）的一维概率密度函数f(x,ti).
时间序列的所有二维分布是： Fij(Xi,Xj)，i,j=0,±1, ±2, ±3 …… 其中Fij(Xi,Xj)是二元随机变量(Xi,Xj)的联合概率分布。 …… ……
Ft1,t2,…tn(Xt1,Xt2…,Xtn)=Ft1+s,t2+s…+tn+s(Xt1+s, Xt2+s, …,Xtn+s)
则称{Xt}为严平稳过程。有些参考书也称 为狭义平稳或强平稳过程。
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此定义表明，严平稳的概率分布与时 间的平移无关。
一般来说，若所研究的随机过程，前 后的环境和主要条件都不随时间变化，就 可以认为它是平稳随机过程。
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联系：
1、随机过程具有随机变量的特性，同时还具有普通 函数的特性。
2、随机变量是随机过程的特例。一元随机变量可视 为参数集为单元素集的随机过程。
3、当随机过程固定某一个时刻时，就得到一个随机 变量。
4、随机过程是N维随机向量、随机变量列的一般化，来自它是随机变量X(t)的集
我们所要讨论的时间序列分析，只
是对平稳序序列及其有关的随机序列进 行统计分析，而不是对所有的随机序列 进行统计分析。
二、随机过程与随机变量之间的关系
区别： 1、随机变量是定义在样本空间上的一个单值实函数， 随机过程是一族时间t的函数。 2、对应于一定随机试验和样本空间的随机变量与时 间t无关，而随机过程与时间密切相关。 3、随机变量描述事物在某一特定时点上的静态，随 机过程描述事物发展变化的动态。
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2.定义：
设E是随机试验，S是它的样本空间，如果对于每
一个e s ，我们总可以依某种规则确定一时
间t的函数
X (e,t),t T
与之对应（T是时间t的变化范围），于是，对于
所有的的e s 来说，就得到这族时间t的函
数为随机过程，而族中每一个函数为这个随机过 程的样本函数（或一次实现）。