初识有理数(下)一、有理数运算法则1．加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

⑵异号两数相加，绝对值相等时和为0。

绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

⑶一个数同相0加，仍得这个数。

2．减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3．乘、除法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同相0乘，都得0。

二、五种运算(加、减、乘、除、乘方)※※※※常考点※※※※①定结果的符号例-(…－2)＝±2。

②去、添括号③运算律的应用：加法和乘法的交换律、结合律，加法对乘法的分配律④求和技巧(等差数列、等比数列、可裂项数列)1．有理数加减运算有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

③一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②确定是两个加数的绝对值的和或差。

有理数加法的运算律：①两个数相加，交换加数的位置，和不变。

a＋b＝b＋a(加法交换律)②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(加法结合律)有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式。

②带分数可分为整数与分数两部分参与运算。

③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零。

④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。

⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起。

⑥符号相同的数可以先结合在一起。

有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

a－b＝a＋(-b)有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号(改变运算符号)②把减数变为它的相反数(改变性质符号)③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。

有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法；②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果。

注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个数的和，这个和称为代数和。

为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式。

有理数加减混合运算的步骤：例如：(+3)＋(-0.15)＋(-9)＋(+5)＋(-11)＝3－0.15－9＋5－11，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和。

2．有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等。

ab＝ba(乘法交换律)②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。

abc＝a(bc)(乘法结合律)③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。

a(b＋c)＝ab＋ac(乘法分配律)有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。

先确定符号，再绝对值相乘。

②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0。

③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算。

3．有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数1(0)a b a bb÷=⋅，≠两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值。

4．有理数乘方概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在a n 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

含义：a n 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，a n 表示有n 个a 相乘。

例如：35表示3×3×3×3×3，(-3)5表示(-3)×(-3)×(-3)×(-3)×(-3)，-35表示-(3×3×3×3×3)，52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号。

“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“-”的个数，例如：-[-(-3)]＝-3；-[+(-3)]＝3。

⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(-3)×(-2)×(-6)＝-36，而(-3)×(-2)×(+6)＝36。

⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：(-3)2＝9，(-3)3＝-27。

特别地：当n 为奇数时，(-a )n ＝-a n ；而当n 为偶数时，(-a )n ＝a n 。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”。

有理数混合运算的运算顺序：⑴先乘方，再乘除，最后加减；⑵同级运算，从左到右进行；⑶如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方(以后学)称为三级运算。

同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。

以上运算顺序可以简记为：“从小(括号)到大(括号)，从高(级)到低(级)，从左到右”。

把下列各式写成乘方运算的形式：()()()()()()()1111114444441333335()()()()66666n a ba b a b a b a b +⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-++++-⨯⨯-⨯⨯-L L 144444424444443个⑴⑵⑶⑷计算：154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⑴⑵1＋(-2)＋3＋(-4)＋5＋(-6)＋…＋99＋(-100)；⑶(-17)－(-25)－(-10)－5；33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭⑷⑴ 计算：5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++ ⑵ 出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下：(单位/千米)+15，-2，+5，-1，+10，-3，-2，+12，+4，-5，+6，①将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？②如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升？计算下列各题：⑴()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ⑵5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++ ⑶735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦⑷111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯ ⑸114()1()16845-⨯⨯-⨯ ⑹11171113()71113⨯⨯⨯++ ⑺1113.55 2.87()() 6.42333⨯-⨯-+-⨯ ⑻1111136()23469⨯+---⑴221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷- ⑵()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦ ⑶()()()()3331113323326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算1111111111111(1)()(1)()2462468248246+++⨯+++-+++⨯++计算1111111111()(1)(1)()2320052200422005232004+++⨯+++-+++⨯+++L L L L测试题1．⑴231(4)()324+÷⨯÷- ⑵71()2(3)93-÷⨯+ ⑶11111()()234560-+-÷- ⑷44192()77÷- ⑸19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷- ⑹5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-2．计算下列各题： ⑴21293()12323÷+-⨯+ ⑵221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷- ⑶23220072006(2)100(2)(5)(0.25)4-+÷-÷-+⨯ ⑷()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦3．⑴若20072008a =，20082009b =，试不用．．将分数化小数的方法比较a ，b 的大小。

⑵设11234512346p =-⨯，11234412346q =-⨯，11234412345r =-⨯，试比较p ，q ，r 的大小。

答案1．答案：⑴-24，⑵-1，⑶-13，⑷-337，⑸767，⑹25272．答案：⑴10，⑵16，⑶154，⑷-323．答案：⑴200712008111 2008200820092009 =-=-，。

1120072008 2008200920082009>∴<Q，⑵123441234512344123461234512346r q p⨯<⨯<⨯<<，所以。