长沙市雅礼中学、河南省实验中学2018届高三联合考试试题数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则对应点所在的象限是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D。
2. 设集合，，则的子集的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】由题意可知，集合A是圆上的点，集合B是指数上的点，画图可知两图像有2个交点，所以中有2个元素，子集个数为4个，选A.3. 已知双曲线（，）的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得c=2,,且，所以，双曲线方程为，选C.4. 在数列中，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得，n分别用取1，2，3（n-1）代，累加得，选C.5. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图由矩形和等腰直角三角形组成，侧视图由半圆和等腰直角三角形组成，俯视图的实线部分为正方形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图知几何体的上半部分是半圆柱，圆柱底面半径为1，高为2，其表面积为：，下半部分为正四棱锥，底面棱长为2，斜高为，其表面积：，所以该几何体的表面积为本题选择A选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．6. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一问题：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决此问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚减一，即得．”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数是8的整数倍时，均可采用此方法求解．如图是解决这类问题的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A. 23B. 47C. 24D. 48【答案】B【解析】输入初始值n=24,则S=24第一次循环：n=16,S=40第二次循环：n=8,S=48第三次循环：n=0,S=48,即出循环s=47,输出47,选B.7. 郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A. 168种B. 156种C. 172种D. 180种【答案】B【解析】分类：（1）小李和小王去甲、乙，共种（2）小王，小李一人去甲、乙，共种，（3）小王，小李均没有去甲、乙，共种，总共N种，选B.【点睛】利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，小王与小李是特殊元素，甲、乙是特殊位置，用“优先法”，先根据特殊元素，再根据特殊位置的限制条件来进行分类.8. 设，，是半径为1的圆上的三点，，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】以OA,OB所在直线分别为轴，轴，则,设，且，所以，由于，所以，当时，有最大值，选A.点睛：本题主要考查了向量数量积在几何中的应用以及基本不等式的应用，属于中档题。
向量数量积的坐标运算是解题的关键。
9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得=，图象向右平移个单位长度，得，而，所以，=，所以所以，，选D.10. 已知，其中，为自然对数的底数，则在的展开式中的系数是（）A. 240B. 80C.D.【答案】B【解析】由积分可得，所以展开式中通项可写为，当r=2,t=0时，N=-80,当r=3,t=1时，N=160,所以的系数为80，选B.11. 过抛物线：的焦点的直线与抛物线交于，两点，与抛物线准线交于，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设准线与x轴交于点E,作PA,QB分别垂直准线于A,B，设FP=t,则PM=2t,PA=t,EF=2,由相似比得，解得，选C.【点睛】对于抛物线过焦点的直线抛物线交于两点P,Q与准线相交于点M的题目，我们常作PA,QB分别垂直准线于A,B，由抛物线定义与多个直角三角形相似比，可建立多个等式关系而解题。
12. 已知函数的图象与直线（）恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得直线过定点，且斜率k>0,由对称性可知，直线与三角函数图像切于另外两个点，所以，，则切线方程过点，所以，而=。
选B.【点睛】直线与曲线相切一般要应用三点，一是曲线在切点处的导数是切线的斜率，二是切点即在曲线上也在切线上，三是没有切点要设切点。
本就用到了上面三点，然后再配求所求式子的结构。
第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知实数，满足则的最小值为__________．【答案】4【解析】由约束条件画出可行域如下图，目标函数可化简为=，设,所以即可行域上的点P 与定点D(0,-2)斜率的范围为,过点A(1,0)时取最小值，所以目标函数的最小值为4，填4.【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：（1）截距型：，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；（2）斜率型：与的斜率，常见的变形：，，.（3）点点距离型：表示到两点距离的平方；14. 已知点在函数（其中，为自然对数的底数）的图象上，且，，则的最大值为__________．【答案】e【解析】由题意得，因数，，所以且，令t=,所以，等号在时成立。
所以，填e。
【点睛】基本不等式的变形式：①，(当且仅当时取“”号)；②(当且仅当时取“”号).利用基本不等式求最值满足条件：一正、二定、三相等.15. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒，若该巧克力球的半径为3，则其包装盒的体积的最小值为__________．【答案】【解析】轴截面如图，设则，，当时，。
填。
【点睛】本题考查了球内接于圆锥体，求圆锥的体积最值，在解答过程中，运用三角函数表示相关量，按照体积的计算公式表示体积，然后利用函数性质求出最值，选取何种方式建立函数表达式是本题关键。
16. 在平面四边形中，，，，，的面积为，则__________．【答案】【解析】不妨设，解得，设，，即解得则点睛：本题考查了三角函数的综合问题，运用余弦定理求出边长，利用三角形面积求出边与角之间的关系，由边长之间的关系结合两角的余弦公式建立等式，从而求出答案，转化的过程有点难度三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 若数列的前项和满足（，）．（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）若，（），求数列的前项和．【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由公式可求得数列的通项公式。
由于数列的奇偶分类数列，所以求和，需要分奇偶因为项数的数目不同，同时分类求和。
试题解析;（1）由题意可知，即；当时，，即；所以数列是首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）由（1）可知当时，从而为偶数时，；为奇数时，，综上，【点睛】当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。
对于奇偶分类数列求和时，我们常先求项数为偶数时数列的和，因为这个时候奇数项与偶数的项数各是，再求项数为奇数的数列求和，因为这时n-1是偶数，所以，可以就用前面所求的结论。
18. 如图1，菱形的边长为12，，与交于点，将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析：（Ⅰ）利用菱形的性质与勾股定理推出平面，从而利用面面垂直的判定求证即可；（Ⅱ）以为原点建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，从而求得平面与的法向量，进而利用空间夹角公式求解即可．（Ⅰ）证明：是菱形，,中，,又是中点，面面又平面平面⊥平面（Ⅱ）由题意，, 又由（Ⅰ）知建立如图所示空间直角坐标系，由条件易知故设平面的法向量，则即令，则所以，由条件易证平面，故取其法向量为所以，由图知二面角为锐二面角，故其余弦值为点睛：高考对二面角的考法主要是以棱柱和棱锥为载体进行考查，通常可采用两种方法求解，一是传统法，即通过作出二面角的平面，然后计算，其过程体现“作、证、求”；二是利用几何体的垂直关系建立空间直角坐标系，通过两个平面的法向量所成角来求解．19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）；（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如表关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据，．【答案】(1)见解析;(2)为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【解析】试题分析：(1)由折线图，可得，依次算得，，，可求得r, 所以可用线性回归模型拟合与的关系.(2)分别计算安装1台，2台时所获周利润值（期望值），数值大的为所选择。
试题解析：（1）由已知数据可得，，因为，，，所以相关系数，因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需要安装1台，最多安装3台光照控制仪．①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元；②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润元，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润元，故的分布列为：所以元．综上可知，为使商家周利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．【点睛】本题考查了折线图识图，虽然简单，但在学习过程容易忽略。