导数的概念与计算一、基础知识1、几何意义：函数)(x f y =在点x=0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.2、几种常见函数的导数(1) 0='C （C 为常数）. (2) 1)'(-=n nnx x . (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -='.(5) x x 1)(ln ='；ea x x a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.4、导数的运算法则（1）)(')('))'()((x g x f x g x f ±=±（2）)(')()()('))'()((x g x f x g x f x g x f += （3）)()(')()()(')')()((2x g x g x f x g x f x g x f -=. 备注：准确理解曲线的切线，需注意的两个方面：（1）直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，若直线与曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线，同样，若直线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上的公共点．（2）曲线未必在其切线的“同侧”，如曲线y ＝x 3在其过（0,0）点的切线y ＝0的两侧． 二、典型例题1、求曲线1323+-=x x y 在点（1，－1）处的切线方程2、若直线y=x 是曲线ax x x y +-=233的切线，则a=3、若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是 .导数几何意义的应用，需注意以下两点： (1) 当曲线y ＝f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0；(2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程是y －f （x 0）＝f ′（x 0）（x －x 0）；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．4、已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(e )＋ln x ，则f(e )＝________ 三、随堂练习1、（2016年全国II 卷） 已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--.当4a =时，求曲线()y f x =在()1,(1)f 处的切线方程2、（2016年全国III 卷）已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程式_____________________________. 3、[2015·全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图像在点(1，f (1))处的切线过点(2，7)，则 a ＝________．4、[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．5、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )＝a ln x ＋1－a2x 2－bx (a ≠1)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为0.求b ；6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0，2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.求a ；7、[2012·课程标准卷] 曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1，1)处的切线方程为________．8、[2011·课标全国卷] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.求a ，b 的值；导数的综合应用()f x 0x ≤1()x f x e x --=-()y f x =(1,2)一、基础知识1．函数的单调性在某个区间（a，b）内，如果f′（x）>0，那么函数y＝f （x）在这个区间内单调递增；如果f′（x）<0，那么函数y＝f （x）在这个区间内单调递减．2．函数的极值：一般地，当函数f（x）在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，那么f（x0）是极大值；②如果在x0附近的左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，那么f（x0）是极小值．3．函数的最值：设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f（x）在（a，b）内的极值；②将f（x）的各极值与f（a），f（b）进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．备注：可导函数的极值点x0一定满足f′（x0）＝0，但当f′（x1）＝0时，x1不一定是极值点．如f（x）＝x3，f′（0）＝0，但x＝0不是极值点．二、典型例题（一）函数的单调性例1、[2012·课程标准卷] 设函数f(x)＝e x－ax－2.)求f(x)的单调区间；解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝e x－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，所以，f(x)在(－∞，ln a)单调递减，在(ln a，＋∞)单调递增．【技巧点拔】求函数单调区间的步骤：（1）确定函数y＝f（x）的定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.随堂练习1、（2016年全国III卷）设函数．讨论的单调性2、（2016年全国卷Ⅰ）已知函数.讨论的单调性。

3、[2015·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．讨论f(x)的单调性例2、已知函数f（x）＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为解：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.由函数单调性求参数的范围：（1）转化为不等式的恒成立问题，即“若函数f（x）单调递增，则f′（x）≥0；若函数f（x）单调递减，则f′（x）≤0”来求解.（2）f（x）为增函数的充要条件是“对任意的x∈（a，b），都有f′（x）≥0且在区间（a，b）内的任一非空子区间上f′（x）≠0”.随堂练习1、（2016年全国I卷）若函数1()sin2sin3f x x-x a x=+在(),-∞+∞单调递增，则a的取值范围是（A）[]1,1-（B）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是( )A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞) D．[1，＋∞)3、已知函数f(x)＝12ax2＋2x－ln x，若f(x)在区间[13，2]上是增函数，求实数a的取值范围．（二）函数的极值与最值()ln1f x x x=-+()f x例3、[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 2e －x .)求f (x )的极小值和极大值。

解：(1)定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝－e －x x (x －2)． 当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．故当x ＝0时，f (x )取得极小值，极小值为f (0)＝0；当x ＝2时，f (x )取得极大值，极大值为f (2)＝4e －2.【技巧点拔】求可导函数极值的步骤： ①求f ′（x ）； ②求方程f ′（x ）＝0的根；③检查f ′（x ）在方程f ′（x ）＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f （x ）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f （x ）在这个根处取得极小值．随堂练习1、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0，q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则p 是q 的( )条件A ．充要B ．充分不必要C ．必要不充分D ．既不充分也不必要2、已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，求a,b 的值3、[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图像是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝04、下图是函数()y f x =的导函数列命题：①3-是函数的极值点②1-是函数的最小值点 ③()y f x =在处切线的斜率小于零 ④()y f x =在区间上单调递增则正确命题的序号是A.①② B .①④ C .②③ D .③④5、已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f （x ）在点x ＝1处的切线为l ：3x －y ＋1＝0，当x ＝23时，y ＝f （x ）取得极值.（1）求a ，b ，c 的值；（2）求y ＝f （x ）在区间[－3，1]上的最大值和最小值.6、[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝e x (ax ＋b)－x 2－4x ，曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．y f '=()y f x =()y f x =0x =(3,1)-。