2.1 单调性问题
定理 2.1 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′(x) > 0，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递 增；如果 f ′(x) < 0，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减. 例 2.1 已知函数 f (x) = (x − 2)2 + 1, 求 f (x) 的单调区间.
2.4 零点问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 函数不等式问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
f ′(x) > 0, 解得 x > 2 或 x < 1
f ′(x) < 0, 解得 1 < x < 2
当 x 变化时， f ′(x), f (x) 的变化情况如下表
x
(−∞, 1)
1
(1, 2)
2
(2, +∞)
f ′(x)
+
0
−
0
+
f (x)
↑
29 6
↓
14 3
↑
因此，当
x
=
1
时， f (x)
有极大值，并且极大值为
f
(x0+∆x)− ∆x
f
(
x0)
.
易见当点 B 越来越接近点
A 时，割线的斜率和点
A 处切
线的斜率越接近，因此切线的斜率为割线斜率的极限，即
k |x=x0
=
lim
∆x→0
f
(x0+∆x)− ∆x
f
(x0)
.
2
1.3 导数的定义
定义 1.1 一般地，函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
由平均速度的极限来求出.
即
v(t0)
=
lim
∆t→0
f
(t0+∆t)− ∆t
f
(t0)
.
1.2 莱布尼兹的几何视角
问题：已知一条函数曲线，怎么求在 x = x0 处的切线斜率？
图1
方法：先考虑割线 AB 的斜率，设 A(x0, f (x0), B(x0 + ∆x, f (x0 + ∆x)).
则割线的斜率为
解：先对 f (x) 求导得到
f ′(x) = 2(x − 2)
f ′(x) > 0 =⇒ x > 2
f ′(x) < 0 =⇒ x < 2
所以 f (x) 在区间 (2, +∞) 上单调递增，在区间 (−∞, 2) 上单调递减.
练习： f (x)
=
1 3
x
3
−
3 2
x
2
+
2x
+
4,
求
f (x)
的单调区间.
3 Taylor 展开式在高考中的应用
7
1
1 导数的概念
1.1 牛顿的物理视角
问题：一个物体的运动方程为 s = f (t), 怎么由运动方程确定物体在时刻 t0 的瞬时速度？
方法：先考虑 [t0, t0 + ∆t] 这一段时间内的平均速度 v =
f
(t0+∆t)− ∆t
f
(t0
)
.
当间隔时间 ∆t 越来越小时，平均速度和 t0 时刻的瞬时速度就越接近. 于是瞬时速度可
注意:
f ′(a) = 0
f ′(a) = 0
(1)
f
(a)
为极小值
⇐⇒
f f
′(a) ′(a)
< >
0, 0,
x x
< >
a a
,
f (a)
为极大值
⇐⇒
f f
′(a) ′(a)
> <
0, x 0, x
< >
a a
(2) 若仅有 f ′(a) = 0 这个条件，并不能保证 f (a) 为极值. 比如函数 f (x) = x3.
显然 f ′(0) = 0, 但 f (0) 并不是极值.
(3) 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.
例 2.2
求
f (x) =
1 3
x3
−
3 2
x
2
+
2x
+
4
的极值.
解： f ′(x) = x2 − 3x + 2
令 f ′(x) = 0, 解得 x = 1, 或 x = 2
1.3 导数的定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 导数的应用
3
2.1 单调性问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
lim ∆y = lim f (x + x0) − f (x),
∆x→0 ∆x ∆x→0
∆x
我们称它为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数，记作 f ′(x0) 或 y′ |x=x0, 即
f ′(x0)
=
lim
∆x→0
∆y ∆x
=
lim
∆x→0
f (x
+
x0) − ∆x
f (x).
2 导数的应用
2.2 极值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 最值问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3
2.2 极值问题
定义 2.1 若函数 y = f (x) 在点 x = a 的函数值比它在点 x = a 附近其他点的函数值都小， 称 x = a 为函数 y = f (x) 的极小点， f (a) 为极小值. 若函数 y = f (x) 在点 x = a 的函数值比它在点 x = a 附近其他点的函数值都大， 称 x = a 为函数 y = f (x) 的极大点， f (a) 为极大值.
f (1)
=
29 6
,
当
x
=
2
时， f (x)
有极小
值，并且极大值为
f (1)
=
14 3
.
函数
f (x)
=
1 3
x3
−
3 2
x2
+ 2x
+4
的图像如图所示
图2 4
练习：已知函数
y
=
e
x
(
1 3
x3
−
2x2
+
3x),
Байду номын сангаас
求函数的极值.
2.3 最值问题
一般地，求函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 的最大值与最小值的步骤如下： (1) 求函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 的极值； (2) 将函数 y = f (x) 的各极值与端点处的函数值 f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大 值，最小的一个是最小值. 注：函数的最值描绘的是函数在某个区间内的整体性质. 练习：求函数 f (x) = 6x2 − x − 2 在区间 [0, 2] 上的最值.
导数的概念和应用
孙老师
April 22, 2020
目录
1 导数的概念
2
1.1 牛顿的物理视角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 莱布尼兹的几何视角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2