2006年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把所选项前的字母填在题后的括号内） 1、0=x 是xx x f 1sin )(=的 ( )A 、可去间断点B 、跳跃间断点C 、第二类间断点D 、连续点2、若2=x 是函数)21ln(ax x y +-=的可导极值点，则常数=a ( )A 、1-B 、21 C 、21-D 、13、若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin ( ) A 、C x F +)(sinB 、C x F +-)(sin C 、C F +(cos)D 、C x F +-)(cos4、设区域D 是xoy 平面上以点)1,1(A 、)1,1(-B 、)1,1(--C 为顶点的三角形区域，区域1D 是D 在第一象限的部分，则：=+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos ( ( )A 、⎰⎰1)sin (cos 2D dxdy y xB 、⎰⎰12D xydxdyC 、⎰⎰+1)sin cos (4D dxdy y x xyD 、05、设yx y x u arctan),(=，22ln ),(yx y x v +=，则下列等式成立的是 ( )A 、yv xu ∂∂=∂∂ B 、xv xu ∂∂=∂∂ C 、xv yu ∂∂=∂∂ D 、yv yu ∂∂=∂∂6、正项级数(1)∑∞=1n nu、(2)∑∞=13n nu，则下列说法正确的是 ( )A 、若（1）发散、则（2）必发散B 、若（2）收敛、则（1）必收敛C 、若（1）发散、则（2）不定D 、若（1）、（2）敛散性相同二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、=----→xx xee xxx sin 2lim；8、函数x x f ln )(=在区间[]e ,1上满足拉格郎日中值定理的=ξ ； 9、=++⎰-11211xx π ；10、设向量{}1,4,3-=α、{}k ,1,2=β；α、β互相垂直，则=k ； 11、交换二次积分的次序=⎰⎰-+-dy y x f dx xx 21101),( ；12、幂级数∑∞=-1)12(n n x n 的收敛区间为 ；三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、设函数⎪⎩⎪⎨⎧+=a xx x f x F sin 2)()( 00=≠x x 在R 内连续，并满足：0)0(=f 、6)0('=f ，求a .14、设函数)(x y y =由方程⎩⎨⎧-==tt t y t x cos sin cos 所确定，求dx dy 、22dx yd .15、计算⎰xdx x sec tan 3.16、计算⎰1arctan xdx17、已知函数),(sin 2y x f z =，其中),(v u f 有二阶连续偏导数，求xz ∂∂、yx z ∂∂∂218、求过点)2,1,3(-A 且通过直线12354:z y x L =+=-的平面方程.19、把函数222)(xx xx f --=展开为x 的幂级数，并写出它的收敛区间.20、求微分方程0'=-+xe y xy 满足e y x ==1的特解.四、证明题（本题8分）21、证明方程：0133=+-x x 在[]1,1-上有且仅有一根.五、综合题（本大题共4小题，每小题10分，满分30分）22、设函数)(x f y =的图形上有一拐点)4,2(P ，在拐点处的切线斜率为3-，又知该函数的二阶导数a x y +=6''，求)(x f .23、已知曲边三角形由x y 22=、0=x 、1=y 所围成，求：（1）、曲边三角形的面积；（2）、曲边三角形饶X 轴旋转一周的旋转体体积.24、设)(x f 为连续函数，且1)2(=f ，dx x f dy u F uyu⎰⎰=)()(1，)1(>u（1）、交换)(u F 的积分次序； （2）、求)2('F .2005年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、A2、C3、D4、B5、A6、C7、2 8、1-e9、2π10、511、dx y x f dy y y⎰⎰---11102),(12、)1,1(-13、因为)(x F 在0=x 处连续，所以)0()(lim 0F x F x =→，8262)0(2)0()(sin 2)()('limlimlim=+=+=+-=+=→→→f xf x f xxx f x F x x x ，a F =)0(，故8=a .14、t t t t t t dtdx dtdydx dy-=-+-==sin sin cos cos ，t t x y dx y d tt csc sin 1)('''22=--==. 15、原式C x x x x xd x d x xdx x x +-=-=-==⎰⎰⎰sec sec31sec sec secsec )1(secsec tan tan3222.16、原式⎰⎰++-=+-=1221211)1(2141arctan x x d dx xx xx π102)1ln(214x +-=π2ln 214-=π17、'1cos f x xz ⋅=∂∂，''12''122cos 2)2(cos xf y y f x yx z =⋅=∂∂∂18、{}1,2,5=l ，{}0,3,4-=B ，{}2,4,1-=AB{}22,9,8241125--=-=⨯=kj iAB l π 平面点法式方程为：0)2(22)1(9)3(8=+----z y x ，即592298=--z y x .19、xxx xxxxx f -⋅++⋅=-++=1132116)1121(3)(222nn n n x x∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=01212)1(3，收敛域为11<<-x . 20、xey xy x=⋅+1'，通解为x e x C C dx e x e e y xdx x x dx x +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-11 因为e y =)1(，C e e +=，所以0=C ，故特解为xey x=.21、证明：令13)(3+-=x x x f ，[]1,1-∈x ，且03)1(>=-f ，01)1(<-=f ，0)1()1(<⋅-f f ， 由连续函数零点定理知，)(x f 在)1,1(-上至少有一实根. （提醒：本题亦可用反证法证明）22、设所求函数为)(x f y =，则有4)2(=f ，3)2('-=f ，0)2(''=f . 由a x y +=6''，0)2(''=y 得12-=a ，即126''-=x y .因为126''-=x y ，故12'123C x x y +-=，由3)2('-=y ，解得91=C . 故22396C x x x y ++-=，由4)2(=y ，解得22=C . 所求函数为：29623++-=x x x y . 23、（1）6161211312===⎰ydy y S（2）4021)()21(2212πππ=-=-=⎰x x dx x V x 24、解：积分区域D 为：u y ≤≤1，u x y ≤≤ （1）⎰⎰⎰⎰⎰-===uxuDdx x f x dy x f dx d x f u F 111)()1()()()(σ；（2）)()1()('u f u u F -=，1)2()2()12()2('==-=f f F .。