龙文教育学科教师辅导讲义
课题九（下）第一章、解直角三角形
教学目标
1、掌握解直角三角形，并能根据题意把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角
三角形中加以解决。
会把实际问题转化为含有直角三角形的数学问题，并能给予解决。
2、通过问题探究和解决，丰富对现实空间及图形的认识，培养分析、归纳、总结知识的能力。
3、体验数学与生活实际的密切关联，进一步激发学生学习数学的兴趣，逐步养成良好的学习
品质。
重点、难点
重点：把实际问题中的已知条件和未知元素，化归到某个直角三角形中加以解决。
难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题
考点及考试要求
教学内容
1.1~1.2锐角三角函数及其计算
边角之间的关系（锐角三角函数）:
sin,cos,tan
a b a
A A A
c c b
===
★22
sin
sin cos(90)cos,tan,sin cos1
cos
A
A A
B A A B
A
=-==+=
o
★三角函数的单调性：090sin sin1
A B A B
≤<≤≤<≤
o o
当时，0
090cos cos1
A B B A
≤<≤≤<≤
o o
当时，0
04590tan1tan
A B A B
≤<<≤≤<<≤+∞
o o o
当时，0
0180tan
A A A
<<<
o o
当时，sin
如下图，⊙O是一个单位圆，假设其半径为1，则对于α
∠，b
∠
=,sin
CD EF
CD b EF
OC OE
α===
Q sin CD EF
<
Q,sin sin
a b
<
Q
=,tan
CD AB
CD AB
OC OB
αα
===
Q sin,CD AB
<
Q tan
αα
∴<
sin
其它均可用上图来证明。
30°，45°，60°的三角函数值（见右表）
例（1）计算： sin60°·tan30°+cos ² 45°=
（2）把Rt△ABC各边的长度都扩大3倍得Rt△A’B’C’，那么锐角A、A’的余弦值的关系为
A D
B
E
i =1:3
C
（3）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝
3
1
，则sin B ＝ ，cosB= （4）如果1cos 3tan 302
A B -
+-=那么△ABC 是
（5）在ABC A B C ∠∠∠V 中，a,b,c 分别是，，的对边，已知a=10,32,b =+32c =-，
则sin sin b B c C +的值等于
（6）已知cos α<0.5,那么锐角α的取值范围是
(7)已知α为锐角，则m =sin α+cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m =1 C ．m ＜1 D ．m ≥1
1.3解直角三角形
在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 仰角和俯角 （2）坡度tan i a = （3）方位角
例 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB 水平距离14米处是河岸，即BD ＝14米，该河岸的坡面CD 的坡角∠CDF 的正切值为2，岸高CF 为2米，在坡顶C 处测得杆顶A 的仰角为30°，D 、E 之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB 时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B 为圆心，以AB 长为半径的圆形区域为危险区域)
例、梯形ABCD 是拦水坝的横断面图，（图中3:1=i 是指坡面的铅直高度DE 与水平宽度CE 的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求拦水坝的横断面ABCD 的面积．（结
果保留三位有效数字.参考数据：3≈1.732，2≈1.414）
C
B
A D E
F
G
2．如图，一渔船以32千米／时的速度向正北航行，在A 处看到灯塔S 在渔船的北偏东300，半小时后航行到B 处看到灯塔S 在船的北偏东750，若渔船继续向正北航行到C 处时，灯塔S 和船的距离最短，求灯塔S 与C 的距离。
（计算过程和结果一律不取近似值）)4
2675cos ,42675(sin 00-=+=
3．如图，已知两座高度相等的建筑物AB 、CD 的水平距离BC ＝60米，在建筑物CD 上有一铁塔PD ，在塔顶P 处观察建筑物的底部B 和顶部A ，分别测行俯角0030,45==βα
，求建筑物AB 的高。
（计算过程和结果一律不取近似值）
4．如图，河对岸有铁塔AB ，在C 处测得塔顶A 的仰角为30°， 向塔前进14米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°， 求铁塔AB 的高。
5．下图为住宅区内的两幢楼，它们的高m CD AB 30==，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况。
当太阳光与水平线的夹角为30°时。
试求：
1）若两楼间的距离m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？
2）若甲楼的影子，刚好不影响乙楼，那么两楼的距离应当有多远？
A C D B
甲 乙
A
C
300 B
D
6．如图，A 城气象台测得台风中心在A 城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60º的BF 方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
（1） 问A 城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2） 若A 城受到这次台风的影响，那么A 城遭受这次台风影响的时间有多长？
初三数学 解直角三角形的应用 一、选择题：
1．已知等腰三角形底边上的高等于腰的
2
1，则项角为
（ ）
（A ） 300 （B ） 450 （C ） 600 （D ） 900
2．菱形ABCD 的对角线
AC=10，BD=6，则 tan 2A
=
（ ） （A ）
53 （B ） 54
（C ） 34
3 （D ）以上都不对 3．在高出海平面100米的山岩上一点A ，看到一艘船B 的俯角为300
，则船与山脚的水平距离为
（ ）
（A ） 50米 （B ）200米 （C ）1003米 （D ）
33
100
米 4．正方形的对角线长为3，则正方形的面积为 （ ）
（A ） 9 （B ）23 （C ）26 （D ）23
5．如果三角形的斜边长为4，一条直角边长为23，那么斜边的高为 （ ）
（A ） 23 （B ）23
（C ）3 （D ）2
6．Rt △ABC 中，∠C=900
，斜边AB 的坡度为1：2，若BCAC ，则BC ：AC ：BA 等于 （ ） （A ） 1：2：5（B ）1：3：2 （C ） 1：5:3 （D ）1：2：5
7．若从山项A 望地面C 、D 两点的俯角分别为450
、300
，C 、D 与山脚B 共线，若CD=100米，那么山高AB 为 （ ）
（A ） 100米 （B ） 50米 （C ） 502米 （D ） 50（13 ）米
B
D C。