❖ 对于这两个随机过程，从直观上讲，它们都具有大 致相同的数学期望和方差，但两个过程的内部结构 却有着非常明显的差别，其中X(t)随机时间变化缓 慢，这个过程在两个不同的时刻的状态之间有着较 强的相关性，而过程Y(t)的变化要急剧得多，其不 同时刻的状态之间的相关性，显然很弱。怎样去研 究和反映一个随机过程在不同时刻的内在联系呢？ 为此我们引入自相关函数（简称相关函数）来描述 随机过程在两个不同时刻状态之间的内在联系。
❖ 定义随机过程的自相关函数：
这就是随机过程X(t)在两个不同时刻 的状态
之间的混合原点矩，自相关函数就反映了
X(t)在两个不同时刻的状态之间的相关程度。若在
定义式中取
，则有
此时自相关函数即为均方值。
式中，
为过程X(t)的二维概率密度函数。
例2.2 求随机相位正弦波过程 的均值、方差和自相关函数，其中 的概率密 度为
❖ 定义协方差函数：称
为随机过程X(t)的协方差函数。 由定义可知，当取
∴ 此时的协方差就是方差。
❖ 注意，实际上自相关函数 特性是几乎一致的。
所描述的
❖ 性质2.1 证∵
从上式分析可知，随机过程的协方差函数
与
其自相关函数
只差一个统计平均值，特别
当随机过程的任意时刻数学期望
时，二者
完全相同。
§7.4 两个随机过程之间的互相关函数
显然
是关于t的函数，且为非负函数。
❖ 定义随机过程的标准离差： ❖ 注：随机过程的标准差是表示了随机过程在t时刻偏
离均值的程度大小，如图2.2所示。
图2.2
§7.3 随机过程的自相关函数
❖ 随机过程的数学期望、方差描述了随机过程在各个 孤立时刻的重要数字特征值，但它们不能反映随机 过程的内在联系，这一点可以通过下图的两个随机 过程
内在联系，而要描述两个过程在不同时刻
之
间的相互关系，我们引入了互相关函数的定义。
定义互相关函数：称
为两个随机过程的互相关函数。式中：
为在两个不同时刻随机变量 密度函数。
、 的联合概率
定义互协方差函数：称
为两个随机过程的互协方差函数。 性质2.2
在上式中，若对任意 都有
则称X(t)，Y(t)为正交过程，此时
在上式中，若 关；此时
，又称X(t)，Y(t)互不相
推论：若两个随机独立，则它们必不相关。反之， 两 个随机过程不相关，还不能断言它们的相互独立。（除 非是正态过程）。
注：自相关函数、互相关函数、协议差函数其结果是数， 而不再是一个过程。
习题
1. 若随机过程X(t)为X(t)=At
❖ 怎么办呢？事实上，在许多实际应用中，当 随机过程的“函数关系”不好确定时，我们 往往可以退而求其次，像引入随机变量的数 字特征一样，引入随机过程的数字特征。
❖ 用这些数字特征我们认为基本上能刻划随机 过程变化的重要统计规律，而且用随机过程 的X(t)的数字特征，又便于运算和实际测量。
❖ 显然，对于随机变量X，它的的数字特征我们 主要介绍了数学期望、方差、相关函数来描 述随机过程X(t)的主要统计特性。
❖ 例7.1 设随机变量X具有概率密度 求
解：∵
∴ ∴
注意：随机变量的数字特征计算结果是一个确定的数。而 随机过程的数字特征不是数，是一个关于时间的确定函数。
§7.1 随机过程X(t)的数学期望
对于某个给定时刻t，随机过程成为一个随机变量， 因此可按通常随机变量的数学期望方法来定义随机 过程的数学期望。
❖ 解： 当取定
是一个随机变
量，且该随机变量X(t)显然是随机变量 的函数。
由求随机变量函数的数学期望定理，
有
，
又∵ 当令
❖ 例7.3 给定随机过程
，式中
是常数，A和B是两个独立的正态随机变量，而
且
，试求X(t)的均值
和自相关函数。
解∵ ∴
，且A，B独立
当取定t时，X(t)为随机变量
有时为了描述随机过程在任意两个不同时刻t1、t2间 内在联系，我们还可以用协方差函数中心化自相关函 数来定义。
定义X(t)的数学期望
式中，
是X(t)的一维概率密度函数。 又
可称为X(t)的均值，这个均值函数可以理解为在某
一给定时刻t随机过程的所有样本函数的平均值。如
图2.1所示。
图2.1 随机过程的数学期望mX(t)
显然由图2.1可看出，随机过程 X(t) 就在
附近起伏变
化，图中细线表示样本函数，粗线表示均值函数。如果我们
的随
机变量，a为常数，试求X(t)的值与相关函数。
，式中
A为（0,1）上均匀分布的随机变量，求
2. 给定一随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的相 关函数表示随机过程的自相关函数
3. 已知随机过程X(t)的均值 和协方差函数
是普通函数，试求随机过程
是普通函数，试求随机过程
的均值和协方差函数。
4. 设
，其中A，B是相互独
立且服从同一高斯（正态）分布
计论的随机过程是接收机输出端的一条噪声电压，这个
就是噪声电压在某一瞬时t的统计平均值（又称集平均值）。
§7.2 随机过程的均匀方值与方差
❖ 对于某一固定的时刻，随机过程X(t)就成为一个随 机变量，由此可给出随机过程均方值定义。定义随 机过程X(t)的均方值：
式中，
的一维概率密度函数。
定义随机过程的方差（又可称二阶中心矩）：