绝密★测试结束前2013年普通高等学校招生全国统一测试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，测试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V h S S S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知i 是虚数单位，则(1)(2)i i -+-=( )A ．3i -+B ．13i -+C ．33i -+D ．1i -+ 2．设集合{|2}S x x =>-，2{|340}T x x x =+-≤，则=T S C R )( ( ) A ．(21]-， B ．(4]-∞-， C ．(1]-∞， D ．[1)+∞， 3．已知x ，y 为正实数，则( ) A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x yxy⋅=+ D ．lg()lg lg 222xy x y=⋅4．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，)R ϕ∈，则“()f x 是奇函数”是“2πϕ=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则 A ．4a = B ．5a = C ．6a = D ．7a = 6．已知R α∈，10sin 2cos 2αα+=，则tan 2α= A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 7．设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅．则A ．90ABC ∠=︒B ．30BAC ∠=︒ C ．AB AC =D ．AC BC =8．已知e 为自然对数的底数，设函数()(1)(1)(12)x kf x e x k =--=，，则 A ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极小值 B ．当1k =时，()f x 在1x =处取到极大值 C ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极小值 D ．当2k =时，()f x 在1x =处取到极大值开始S =1，k =1k >a ? S =S +1k (k +1)k =k+1输出S结束是否 （第5题图）9．如图，1F ，2F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，A ，B 分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点．若四边形12AF BF 为矩形，则2C 的离心率是( )A 2B 3C ．32D 610．在空间中，过点A 作平面π的垂线，垂直为B ，记()B f A π=．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P ，1[()]Q f f P βα=，2[()]Q f f P αβ=，恒有12PQ PQ =，则( ) A ．平面α和平面β垂直 B ．平面α和平面β所成的（锐）二面角为45︒ C ．平面α和平面β平行 D ．平面α和平面β所成的（锐）二面角为60︒非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．设二项式53x x 的展开式中常数项为A ，则A = ． 12．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积等于 3cm ．13．设z kx y =+，其中实数x ，y 满足20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，若z 的最大值为12，则实数k = ．14．将A B C D E F ，，，，，六个字母排成一排，且A B ，均在C 的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）．15．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点(10)P -，的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，点Q 为线段AB 的中点．若||2FQ =，则直线l 的斜率等于 ． 16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，M 是BC 的中点．若1sin 3BAM ∠=，则sin BAC ∠= ． 17．设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+，x ，y R ∈．若1e ，2e的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

OxyA BF 1F 243 233正视图侧视图俯视图（第12题图）18．（本题满分14分）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． (I)求d ，n a ；(III)若0d <，求123||||||||n a a a a ++++．19．（本题满分14分）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个篮球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分．(I)当331a b c ===，，时，从该袋子中任任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(II)从该袋中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若53E η=，59D η=，求::a b c ． 20．（本题满分15分）如图，在四面体A BCD -中，AD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，2AD =，22BD =M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且3AQ QC =．(I)证明：//PQ 平面BCD ；(II)若二面角C BM D --的大小为60︒，求BDC ∠的大小．21．（本题满分15分）如图，点(01)P -，是椭圆22122:1x y C a b+=（0a b >>）的一个顶点，1C 的长轴是圆222:4C x y +=的直径．1l ，2l 是过点P 且互相垂直的两条直线，其中1l 交圆2C 于A ，B 两点，2l 交椭圆1C 于另一点D ． (I)求椭圆1C 的方程；(II)求ABD ∆面积取最大值时直线1l 的方程． 22．（本题满分14分）已知a R ∈，函数32()3323f x x x ax a =-+-+．(I)求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (II)当[02]x ∈，时，求|()|f x 的最大值．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题5分，满分50分。

1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．AABCDPQM（第20题图） xOyBl 1l 2PDA（第21题图）二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。

每小题4分，满分28分。

11．-10 12．24 13．2 14．480 15．±1 16617．2 三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查等差数列、等比数列的概念，等差数列通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。

满分14分。

（Ⅰ）由题意得 21325(21)a a a =+即 2340d d --= 故 1d =-或4d =所以 11*n a n n N =--∈，或46*n a n n N =+∈， （Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．因为0d <，由（Ⅰ）得1d =-，11n a n =--．则 当11n ≤时，2123121||||||||22n n a a a a S n n ++++==-+．当12n ≥时，212311121||||||||211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+．综上所述，212321211122||||||||1211101222n n n n a a a a n n n ⎧-+≤⎪⎪++++=⎨⎪-+≥⎪⎩，， 19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、数学方差等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和使用意识。

满分14分。

（Ⅰ）由题意得ξ取2，3，4，5，6． 故331(2)664P ξ⨯===⨯， 2321(3)663P ξ⨯⨯===⨯，231225(4)6618P ξ⨯⨯+⨯===⨯，2211(5)669P ξ⨯⨯===⨯，111(6)6636P ξ⨯===⨯．所以ξ的分布列为（Ⅱ）由题意知η的分布列为ξ2 3 4 5 6P 14 13 518 19 136η1 2 3P a a b c ++ b a b c ++ ca b c ++所以235()3a b c E a b c a b c a b c η=++=++++++，222552535()(1)(2)(3)3339a b c D a b c a b c a b c η=-⋅+-⋅+-⋅=++++++．解得 3a c =，2b c =，故::3:2:1a b c =20．本题主要考查空间点、线、面位置关系、二面角等基础知识，空间向量的使用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

满分15分。

方法一：（Ⅰ）取BD 中点O ，在线段CD 上取点F ，使得3DF FC =，连结OP ，OF ，FQ 因为3AQ QC =，所以//QF AD ，且14QF AD =． 因为O ，P 分别为BD ，SM 的中点，所以OP 是BDM ∆的中位线， 所以//OP DM ，且12OP DM =． 又点M 是AD 的中点，所以//OP AD ，且14OP AD =． 从而//OP FQ ，且OP FQ =．所以四边形OPQF 为平行四边形，故//FQ QF又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ． （Ⅱ）作CG BD ⊥于点G ，作GH BM ⊥于点H ，连结CH 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD CG ⊥， 又CG BD ⊥，AD BD D ⋂=，故CG ⊥平面ABD ， 又BM ⊂平面ABD ，所以CG BM ⊥．又GH BM ⊥，CG GH G ⋂=，故BM ⊥平面CGH ，所以GH BM ⊥，CH BM ⊥． 所以CHG ∠为二面角C BM D --的平面角，即60CHG ∠=︒． 设BDC θ∠=．在Rt BCD ∆中，cos 22CD BD θθ==， cos 22sin CG CD θθθ==， 2sin 22BG BC θθ==．在Rt BDM ∆中，223sin BG DM HG BM θ⋅==．在Rt CHG ∆中，3cos tan 3sin CG CHG HG θθ∠===． 所以tan 3θ=从而60θ=︒，即60BDC ∠=︒． 方法二：（Ⅰ）如图，取BD 中点O ，以O 为原点，OD ，OP 所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz ．由题意知(022)A ，，(020)B -，，(020)D ，． 设点C 的坐标为00(0)x y ，，，因为3AQ QC =，所以003231()4442Q x y +，，． 因为M 是AD 的中点，故(021)M ，．又P 是BM 的中点，故1(00)2P ，，．所以00323(0)444PQ x y =+，，． 又平面BCD 的一个法向量为(001)a =，，，故0PQ a ⋅=． 又PQ ⊄平面BCD ，所以//PQ 平面BCD ．（Ⅱ）设()m x y z =，，为平面BMC 的一个法向量． 由00(21)CM x y =-，，，(0221)BM =知00(2)020x x y y z z ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩， 取1y =-，得002(122)y m x =-，． 又平面BDM 的一个法向量为(100)n =，，，于是 002002||1|cos<>|=2||||29y x m n m n m n y x +⋅==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，， 即20023y x ⎛+= ⎝⎭． （1）又BC CD ⊥，所以0CB CD ⋅=，故0000(20)(20)0x y x y --⋅-=，，，，即22002x y +=． （2）联立（1），（2），解得0002x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩00622x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以0tan 32x BDC y ∠==-．又BDC ∠是锐角，所以60BDC ∠=︒．21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线和圆的位置关系、直线和椭圆的位置关系等基础知识，同时考查分析几何的基本思想方法和综合解题能力。