中考压轴题专题训练21．（本题满分12分） 如图，二次函数m x mx y +++=)14(412（m <4）的图象与x 轴相交于点A 、B 两点． （1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数xy 9=的图象相交于点C ，且 ∠BAC 的余弦值为54解：（1）当时0=y ，0)14(412=+++m x mx04)4(2=+++m x m x ，m x x -=-=21,4．∵4<m ，∴A （–4，0），B （m -，0） （2） 过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，cos ∠BAC 54==AC AD ,设AD =4k ,AC =5k , 则CD =3k . ∵OA =4,∴OD =4k –4, 点C (4k –4,3k ) .∵点C 在反比例函数x y 9=的图象上，∴4493-=k k . ,03442=--k k 23),(2121=-=k k 舍去. ……………………………（8分）∴C (2，29).……………………（1分） ∵点C 在二次函数的图象上， ∴m m+++⨯=)14(2241292，………（1分） ∴,1=m ………………(10分) ∴二次函数的解析式为145412++=x x y . ……………………………（12分）2．（本题满分14分）如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90o，∠C ＝60°，AD ＝3cm ，BC ＝9cm ．⊙O 1的圆心O 1从点A 开始沿折线A —D —C 以1cm/s 的速度向点C 运动，⊙O 2的圆心O 2从点B 开始沿BA 边以3cm/s 的速度向点A 运动，⊙O 1半径为2cm ，⊙O 2的半径为4cm ，若O 1、O 2分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为t s（1）请求出⊙O 2与腰CD 相切时t 的值；（2）在0s ＜t ≤3s 范围内，当t 为何值时，⊙O 1与⊙O 2外切？（第26题）解：（1）如图所示，设点O 2运动到点E 处时，⊙O 2与腰CD 相切． 过点E 作EF ⊥DC ，垂足为F ，则EF ＝4cm ．………………1分 方法一，作EG ∥BC ，交DC 于G ，作GH ⊥BC ，垂足为H ． 通过解直角三角形，求得EB ＝GH ＝3)3389(⨯-cm ．………………4分 所以t ＝（3389-）秒．………………6分 方法二，延长EA 、FD 交于点P ．通过相似三角形，也可求出EB 长． 方法三，连结ED 、EC ，根据面积关系，列出含有t 的方程，直接求t ． （2）由于0s<t ≤3s ，所以，点O 1在边AD 上．………………7分 如图所示，连结O 1O 2，则O 1O 2＝6cm ．………………8分由勾股定理得，2226)336(=-+t t ，即01892=+-t t ．………………10分解得t 1＝3，t 2＝6（不合题意，舍去）．………………12分 所以，经过3秒，⊙O 1与⊙O 2外切．………………14分3．（本题满分12分）正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上一动点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，设PB =x ,△ADQ 的面积为y . （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.（3）画出这个函数的图象.（4）点P 是否存在这样的位置，使△APB 的面积是△ADQ 的面积的32，若存在，求出BP 的长，若不存在，说明理由.解:（1）画出图形，设QC =z ，由Rt △ABP ~Rt △PCQ ，x -44=zx ， HB B26z =4)4(x x -，① y =21×4×（4-z ）,② 第25题图（1） 把①代入② y=21x 2-2x +8（0＜x ＜4）.（2）y=21x 2-2x +8=21(x -2)2+6.∴对称轴为x =2,顶点坐标为（2，6）.(3)如图所示 第25题图（2）(4)存在，由S △APB ＝32S △ADQ ，可得y ＝3x ， ∴21x 2—2x +8＝3x ， ∴x ＝2，x ＝8(舍去)，∴当P 为BC 的中点时，△PAB 的面积等于△ADQ 的面积的32.4．（14分）函数y =-43x -12的图象分别交x 轴，y 轴于A ,C 两点， （1）求出A 、C 两点的坐标.（2）在x 轴上找出点B ，使△ACB~△AOC ，若抛物线经过A 、B 、C 三点，求出抛物线的解析式. （3）在（2）的条件下，设动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，以相同的速度沿AC 、BA 向C 、A 运动，连结PQ ，设AP=m ，是否存在m 值，使以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出所有的m 值；若不存在，请说明理由.答案：（1）A （-16，0） C （0，-12）（2）过C 作CB ⊥AC ，交x 轴于点B ，显然，点B 为所求， 则OC2=OA ×OB 此时OB=9，可求得B （9，0） 此时经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式为：y=121x2+127x-12（3）当PQ ∥BC 时，△APQ ~△ACB得AC AP =AB AQ ∴20m =2525m -解得m=9100当PQ ⊥AB 时，△APQ ~△ACB得：AC AQ =AB AP ∴2025m -=25m 解得m=91255．（本题满分10分）如图，在直角坐标系中，以点A(3，0)为圆心，以32为半径的圆与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于D 、E 两点. （1）求D 点坐标．（2）若B 、C 、D 三点在抛物线c bx ax y ++=2上，求这个抛物线的解析式． （3）若⊙A 的切线交x 轴正半轴于点M ，交y 轴负半轴于点N ，切点为P ，∠OMN=30º，试判断直线MN 是否经过所求抛物线的顶点？说明理由． 解：（1）连结AD ，得OA=3，AD=23 ∴OD =3， D(0，-3) （2）由B(-3，0)，C(33，0)，D(0，-3)三点在抛物线c bx ax y ++=2上，……3分得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-=c c b a c b a 333270330 解得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==333231c b a∴3332312--=x x y （3）连结AP ，在Rt△APM 中，∠PMA==30º，AP=23 ∴AM =43， M (53，0)5333530tan =⋅=︒⋅=MO ON ∴N (0，-5) 直线MN 解析式为：533-=x y 抛物线顶点坐标为(3，-4)∵45333533-=-⨯=-x ∴抛物线顶点在直线MN 上．6（12分）如图3.以A(0，3)为圆心的圆与x 轴相切于坐标点O,与y 轴相交于点B,弦BD 的延长线交x 轴的负半轴于点E, 且∠BEO = 600 , AD 的延长线交x 轴于点C. （1)分别求点E, C 的坐标．(2)求经过A 、C 两点，且以过E 而平行于y 轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式．xx(3)设抛物线的对称轴与AC 的交点为M ，试判断以M 点为圆心, ME 为半径的圆与☉A 的位置关系，并说明理由．7、一个圆柱的一条母线为AB,BC 是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的表面爬行到点C ．⑴如图①，如果底面周长为24cm,高为4cm,那么蚂蚁的最短行程是多少cm?⑵如图②，如果底面半径为rcm,高为hcm,那么你认为蚂蚁可能有哪几种行程较短的路径?试画出平面展开图说明路径(至少画两种不同的路径),不必说明理由．⑶通过计算比较②中各种路径的长度，你能得到什么一般性的结论？或者说，蚂蚁选择哪条路径可使行程最短？8、（12分）某企业有员工300人，生产A 种产品，平均每人每年可创造利润m 万元（m 为大于零的常数）。

为减员增效，决定从中调配x 人去生产新开发的B 种产品，根据评估，调配后，继续生产A 种产品的员工平均每人每年创造的利润可增加20%，生产B 种产品的员工平均每人每年可创造利润1.54m 万元。

（1）调配后，企业生产A 种产品的年利润为_________万元，企业生产B 种产品的年利润为_________万元（用含x 和m 的代数式表示）。

若设调配后企业全年总利润为y 万元，则y 与x 之间的关系式为y ＝____________。

（2）若要求调配后，企业生产A 种产品的年利润不小于调配前企业年利润的54，生产B 种产品的年利润大于调配前企业年利润的一半，应有哪几种调配方案 ？请设计出来，并指出其中哪种方案全年总利润最大（必要时，运算过程可保留3个有效数字）。

（3）企业决定将（2）中的年最大总利润（设m ＝2）继续投资开发新产品。

现有6种产品可供选择（不得重复投资同一种产品）各产品所需资金及所获年利润如下表： 如果你是企业决策者，为使此项投资所获年利润不少于145万元，你可以投资开发哪些产产 品 C D E F G H 所需资金（万元） 200 348 240 288 240 500 年 利 润（万元）508020604085A图①BA图②B品？请写出两种投资方案。

8、解：（1）m x %)201()300(+⋅-，mx 54.1，mx m x y 54.1%)201)(300(++-=（2）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯>⨯≥+-mmx m m x 3002154.130054%)201(0300(解得773197＜x ≤100。

注：写97.5＜x ≤100或97.4＜x ≤100均视为正确 ∵x 为整数 ∴x 只能取98、99、100。

故共有三种调配方案：①202人继续生产A 种产品，调98人生产B 种产品； ②201人继续生产A 种产品，调99人生产B 种产品；③200人继续生产A 种产品，调100人生产B 种产品；又mx m x y 54.1%)201)(300(++-=＝m mx 36034.0+，由于m 34.0＞0，函数y 随x 的增大而增大。

故当x ＝100，即按第三种方案安排生产时，获总利润最大。

（3）当m ＝2时，最大总利润为788万元。

根据题意，可投资开发产品F 、H 或C 、D 、E 或C 、D 、G 或C 、F 、G 。

9、已知：如图1，直线y=kx+3(k>0)交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，以A 点为圆心，AB 为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交y 轴于点E 、F 两点，交直线AB 于C 点，连结BE 、CF ，∠CBD 的平分线交CE 于点H. （1）求证：BE=HE ；（2）若AH ⊥CE ，Q 为 BF⌒ 上一点，连结DQ 交y 轴于T ，连结BQ求AT •AG 的值；（3）如图2, P 为线段AB 上一动点(不与A 、B 两点重合)，连结PD 交y 过P 、M 、B 三点作⊙O 1交y 轴于另一点N ，设⊙O 1的半径为R ，当k=34 列两个结论：①MN 的长度不变；②MNR 的值不变.请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值.证明：(1)∵AE ⊥BD ，∴BE⌒ =DE ⌒ ，∴∠EBD=∠ECB.∵∠ABH=∠DBH ， ∠BHE=∠ECB+∠CBH ，∠HBE=∠DBH+∠EBD ，∴∠BHE=∠HBE. ∴BE=HE. 解： (2)连结QC 、TB ，则∠BCQ+∠CBQ=90°，又∠BDQ+∠ATD=90°，而∠BCQ=∠BDQ ，∴∠CBQ=∠ATD=∠ATB ，∴ΔABG ∽ΔATB ， ∴AB 2=AG •AT ，∵AH ⊥CE ，∴H 为CE 的中点，∴BE=12EC ，∴ΔBEO ∽ΔCBE ，∴OE BO =BE EC =12. 设⊙A 的半径为R ，由AB 2－OA 2=BO 2，OE=R －3，得R 2－32=4(R －3)2，解得，R=5，或R=3(不合题意，舍去).∴AT •AG=AB 2=25.(方法二提示:可连结AD,CD 证ΔBAG ∽ΔTAD) (3)答：②MNR的值不变.证明：作O 1K ⊥MN 于K ，连结O 1N 、PN 、BM ， 则MN=2NK ， 且∠N O 1K=∠NPM ， ∴MN R =2NKO 1N =2sin ∠NO 1K=2sin ∠NPM ， 由直线y=34 x+3 得 OB=OD=4，OM ⊥BD ，∴∠BMO=∠DMO ，又∠BMO=∠ABM+∠BAM ，∠DMO=∠MPN+∠PNM ， ∵∠ABM=∠PNM ，∴∠MPN=∠BAM=∠NO 1K ，MN R =2sin ∠BAM=2×BO AB =85，所以MN R 的值不变，其值为85.10.（15分）已知抛物线ax ax y 22-=与直线l ：)0(>=a ax y 的交点除了原点O 外，还相交于另一点A . （1）分别求出这个抛物线的顶点、点A 的坐标（可用含a 的式子表示）； （2）将抛物线ax ax y 22-=沿着x 轴对折（翻转︒180）后，得到的图象叫做“新抛物线”，则：①当1=a 时，求这个“新抛物线”的解析式，并判断这个“新抛物线”的顶点是否在直线l 上；②在①的条件下，“新抛物线”上是否存在一点P ，使点P 到直线l 的距离等于线段OA 的241？若存在，请直接写出满足条件的点P 坐标；若不存在，请说明理由。