中考压轴题专题训练11．（本题满分10分）已知：如图12，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝5cm ，CD ＝6cm ，∠DCB ＝60°，∠ABC ＝90°。
等边三角形MPN （N 为不动点）的边长为a cm ，边MN 和直角梯形ABCD 的底边BC 都在直线l 上，NC ＝8cm 。
将直角梯形ABCD 向左翻折180°，翻折一次得到图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去。
（1）将直角梯形ABCD 向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a ≥2cm ，这时两图形重叠部分的面积是多少？（2）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD 的面积，这时等边三角形的边长a 至少应为多少？（3）将直角梯形ABCD 向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？解：（1）重叠部分的面积等于23cm （2）等边三角形的边长a 至少为10cm （3）等边三角形的边长为cm )221(+2．（本题满分12分）如图1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． .⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0．2)， ∴OB ＝2，∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。
设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．其过三点A(0，1)，C(-2．2)，F(2，2)。
I图12M C BN得1242242xa b c a b c=⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩解这个方程组，得1,0,14a b c ===∴此抛物线的解析式为 2114y x =+ ………… (3分) 方法二：∵B 点坐标为(0．2)，∴OB ＝2，∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)。
……… (1分) 根据题意可设抛物线解析式为2y ax c =+。
其过点A(0，1)和C(-2．2)124c a c=⎧⎨=+⎩……… 解这个方程组，得1,14a c ==此抛物线解析式为2114y x =+ (2)解：①过点B 作BN BS ⊥，垂足为N ． ∵P 点在抛物线y=214x 十l 上．可设P 点坐标为21(,1)4a a +． ∴PS ＝2114a +，OB ＝NS ＝2，BN ＝a 。
∴PN=PS —NS=2114a - ………………………… (5分)在Rt V PNB 中．PB ＝222222211(1)(1)44PN BN a a a +=-+=+∴PB ＝PS ＝2114a +………………………… (6分)②根据①同理可知BQ ＝QR 。
∴12∠=∠， 又∵ 13∠=∠， ∴23∠=∠，同理∠SBP ＝5∠………………………… (7分) ∴2523180∠+∠=︒ ∴5390∠+∠=︒ ∴90SBR ∠=︒.∴ △SBR 为直角三角形．………………………… (8分) 错误！未找到引用源。
方法一：设,PS b QR c ==，∵由①知PS ＝PB ＝b ．QR QB c ==，PQ b c =+。
∴222()()SR b c b c =+--∴2SR bc = (9分) 假设存在点M ．且MS ＝x ，别MR ＝2bc x 。
若使△PSM ∽△MRQ ， 则有2b bc x x -= 即220x bcx bc -+= ∴12x x bc = ∴SR ＝bc ∴M 为SR 的中点.………………………… (11分) 若使△PSM ∽△QRM ， 则有2b x bc x =- ∴2b bcx =∴2212MR bc x bc c QB ROMS x b BP OS b bc==-===。
∴M 点即为原点O 。
综上所述，当点M 为SR 的中点时．∆PSM ∽∆MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽∆MRQ ．………………………… (13分)方法二：若以P 、S 、M 为顶点的三角形与以Q 、M 、R 为顶点的三角形相似， ∵90PSM MRQ ∠=∠=︒，∴有∆PSM ∽∆MRQ 和∆PSM ∽△QRM 两种情况。
当∆PSM ∽∆MRQ 时．∠SPM ＝∠RMQ ，∠SMP ＝∠RQM ． 由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR ＝90︒。
∴90PMQ ∠=︒。
………………………… (9分) 取PQ 中点为N ．连结MN ．则MN ＝12PQ=1()2QR PS +．……………… (10分) ∴MN 为直角梯形SRQP 的中位线,∴点M 为SR 的中点 …………………… (11分) 当△PSM ∽△QRM 时，RM QR QBMS PS BP ==又RM RO MS OS=，即M 点与O 点重合。
∴点M 为原点O 。
综上所述，当点M 为SR 的中点时，∆PSM ∽△MRQ ；当点M 为原点时，∆PSM ∽△Q RM ……………………… (13分) 3．（本题满分12分）如图15，点P 在y 轴上，P e 交x 轴于A B ，两点，连结BP 并延长交P e 于C ，过点C 的直线2y x b =+交x 轴于D ，且P e 的半4AB =．（1）求点BP C ，，的坐标； （2）求证：CD 是P e 的切线；（3）若二次函数2(1)6y x a x =-+++的图象经过点B ， 求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次 函数2y x b =+值的x 的取值范围．解：（1）如图4，连结CAOP AB ∵⊥ 2OB OA ==∴222OP BO BP +=∵ 2541OP =-=∴，1OP =BC ∵是P e 的直径90CAB ∠=o∴（也可用勾股定理求得下面的结论） CP BP =∵，OB OA = 22AC OP ==∴(20)B ，∴，(01)P ，，(22)C -，（写错一个不扣分）（2）2y x b =+∵过C 点6b =∴ 26y x =+∴图15∵当0y =时，3x =- (30)D -，∴ ∴1AD = ··········· 6分 21OB AC AD OP ====，∵，90CAD POB ∠=∠=oDAC POB ∴△≌△ DCA ABC ∠=∠∴ 90ACB CBA ∠+∠=o∵90DCA ACB ∠+∠=o∴（也可用勾股定理逆定理证明） ········ 7分 DC ∴是P e 的切线 ························ 8分 （3）2(1)6y x a x =-+++∵过(20)B ，点202(1)26a =-++⨯+∴ 2a =-∴ ················ 9分 26y x x =--+∴ ························· 10分4．（本题满分12分）已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）由已知条件，得：n 2－1=0解这个方程，得： n 1=1 ，n 2=－1；当n=1时，得y=x 2+x ，此抛物线的顶点不在第四象限； 当n=－1时，得y=x 2－3x ，此抛物线的顶点在第四象限； ∴所求的函数关系式为y=x 2－3x …… (4分)(2)由y=x 2－3x ，令y=0，得x 2－3x=0，解得x 1=0 ，x 2=3； ∴抛物线与x 轴的另一个交点为（3，0）∴它的顶点为（49,23-），对称轴为直线x=23①∵BC=1，由抛物线和矩形的对称性易知OB=()11321=-⨯∴B （1，0）∴点A 的横坐标x=1，又点A 在抛物线y=x 2－3x 上， ∴点A 的纵坐标y=12－3×1=－2。
∴AB=|y |=2∴矩形ABCD 的周长为：2（AB+BC ）=6 …… (8分)②∵点A 在抛物线y=x 2－3x 上，可以设A 点的坐标为（x ，x 2－3x ）， ∴B 点的坐标为 （x ，0）。
（0＜x ＜23∴BC=3－2x ，A 在x 轴的下方， ∴x 2－3x ＜0∴AB=| x 2－3x |=3x －x 2∴矩形ABCD 的周长P=2〔（3x －x 2）+（3—2x ）〕=－2（x －21）2+213∵a=－2＜0∴当x=21时， 矩形ABCD 的周长P 最大值是213。
…… (12分) 5．（本题满分11分）如图16，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2．E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ． （1） 求OA 、OC 的长；（2） 求证：DF 为⊙O ′的切线；（3） 小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分．．说明理由． 解：（1）在矩形OABC 中，设OC=x 则OA= x +2，依题意得(2)15x x += 解得：123,5x x ==-25x =-（不合题意，舍去）∴OC=3， OA=5 … (4分) （只要学生写出OC ＝3，OA ＝5即给2分）（2）连结O ′D 在矩形OABC 中，OC=AB ，∠OCB=∠ABC=900，CE=BE=52∴△OCE≌△ABE ∴EA=EO ∴∠1=∠2在⊙O′中，∵ O′O= O′D ∴∠1=∠3∴∠3=∠2 ∴O′D∥AE，∵DF⊥AE ∴ DF⊥O′D又∵点D在⊙O′上，O′D为⊙O′的半径，∴DF为⊙O′切线。