第三章 系统的时间响应分析 3.8系统的误差分析与计算对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。

系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。

在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。

本节只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差的计算方法。

本节内容分五点进行讲解：一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε 二、系统的稳态误差与稳态偏差 三、与输入有关的稳态偏差 四、系统结构对稳态偏差的影响 五、与干扰有关的稳态偏差 一、系统的误差e(t)及偏差)(t ε1、定义系统的误差e(t) （输出端定义）：设()or x t 是控制系统的希望输出，()o x t 是其实际输出，则误差()e t 定义为： 值希望输出值－实际输出=-=)()()(t x t x t e o or Laplace 变换记为)(1s E ，为避免与系统的偏差()E s 混淆，用下标1区别。

)()()(1s X s X s E o or -=系统的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中有时无法测量，因而，一般只有数学意义。

系统的偏差()t ε（输入端定义）：为输入信号与反馈信号的差值 ()()()i t x t b t ε=-，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。

系统偏差的Laplace 变换记为()E s ，()()()()()()i i o E s X s B s X s H s X s =-=- 2、误差与偏差)(t ε的关系输出为希望值时，即)()(s X s X or o =，不起调节作用）（＝应该有)(0)(s E s E0)()()()()()()(===s H s X s X s H s X s X s E or i o i －－)()()()()()(s H s X s X s H s X s X i or or i =⇒=从而有， 输出偏离希望值时（一般情况）)()()()]()()([)()()]()([)()()()()()()()(1111s H s E s H s E s H s X s X s H s E s X s X s X s X s E s H s X s X s E i i or i o or o i =-=--=－－＝】＝【－推出11()()()E s E s H s =⋅ 显然，控制系统的误差和偏差的定义是既有区别，又有联系。

求出偏差后就可求出误差。

系统的偏差与系统的误差在一般的情况下不相等。

只有当系统是单位反馈系统时，系统的偏差与误差才会相等。

二、系统的稳态误差与稳态偏差稳态误差作为系统的稳态指标是衡量系统控制精度的。

应当强调的是, 只有对稳定的系统，我们才可以分析它的稳态误差。

系统过渡过程结束后，系统实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差称为稳态误差。

它是系统稳态性能的测度，反映了系统响应的准确性。

()lim ()ss t e t e t →∞=根据终值定理，系统的稳态误差为：)(lim )(lim 10s sE t e e s t ss →∞→==满足终值定理的条件是：)(1s sE 的极点均位于s 左半平面（包括坐标原点）。

同理，系统的稳态偏差为：0()lim ()lim ()ss t s t t sE s εε→∞→==例：设单位反馈系统的开环传递函数为()1/G s Ts =，输入信号分别为2()/2r t t =以及()sin r t t ω=，试求控制系统的稳态误差。

解：1、当2()/2r t t =时，其3()1/R s s =由偏差的定义01()()()()()()()1()()i i i E s X s B s X s H s X s X s G s H s =-=-=⋅+有22221()(1/)1/T T T E s s s T s s s T==-+++因为系统为单位负反馈系统，所以1()()E s E s = （a ）反变换法取Laplace 反变换，得误差响应2/()()t Te t T e T t T -=+-稳态误差为：∞==∞→)(lim t e e t ss（b ）终值定理法1()sE s 满足终值定理的条件，所以稳态误差为：1201lim ()lim ()lim (1/)ss t s s e e t sE s ss s T →∞→→===∞+=2、当()sin r t t ω=时，其22()/()R s s ωω=+，由于22232222222222()(1/)()11(1)(1/)(1)()(1)()sE s s T s T T s T T s T T s T s ωωωωωωωωωω=++=-⋅+⋅+⋅++++++因为系统为单位负反馈系统，所以1()()E s E s = （a ）反变换法取Laplace 反变换，得误差响应22/222222()cos sin (1)(1)(1)t TT T T e t eT T T T T ωωωωωωωω-=-⋅+⋅++++ 显然稳态误差0)(lim ≠=∞→t e e t ss由于正弦函数得拉氏变换在虚轴上不解析，所以此时不能应用终值定理法来计算系统在正弦函数作用下的稳态误差，否则得出1220lim ()lim ()lim 0(1/)()ss t s s se e t sE s ss T s ωω→∞→→===++=的错误结论。

应当指出，对于高阶系统，误差信号1()E s 的极点不易求得，故用反变换法求稳态误差的方法并不实用。

在实际使用过程中，只要验证1()sE s 满足要求的解析条件，就使用终值定理法来求解系统的稳态误差。

三、与输入和系统结构有关的稳态偏差的计算1()()1()()i E s X s G s H s =⋅+)()()(11lim )(lim )(lim 0S X s H s G SS SE t i S S t ss +===→→∞→εε系统输入偏差与两个因素有关；1.系统结构（反映在)()(11s H s G +，G(S)H(S)－开环传函)2.输入信号Xi(S)因此，对于稳定的控制系统，稳态性能一般根据阶跃、斜坡或抛物线输入所引起的稳态偏差来判别。

本节研究的就是不能跟踪典型输入而引起的稳态偏差。

1、阶跃输入下的稳态偏差及位置无偏系数)()(11)()(11lim 0s H s G s H s G S S S ss +=+⨯=→ε ：位置无偏系数，则令p p ss S p K K s H s G K 11)()(lim 0+==→ε2、斜坡输入下的稳态偏差及速度无偏系数)()(1)()(11lim 20s H s sG s H s G s s S ss=+⨯=→ε：速度无偏系数，则令v v ss S v K K s H s sG K 1)()(lim 0==→ε3、抛物线输入时的稳态偏差和加速度无偏系数)()(1)()(11lim 230s H s G s s H s G s s S ss=+⨯=→ε：加速度无偏系数，则令a a ss S a K K s H s G s K 1)()(lim 20==→ε注意：稳态偏差系数只对相应的阶跃、斜坡及抛物线输入有意义。

四、系统结构（开环传函）对稳态偏差的影响）系统的类型系统的开环传递函数可写成下面的形式：环节的个数：开环传函中串联积分：时间常数，系统开环增益νττττνi i n m T K s T s T s T s s s s K s H s G :)1()1)(1()1()1)(1()()(2121++++++=定义:开环传函所包含的积分环节的个数 v 为系统的型号数。

当0v =时，“0”型系统 当1v =时，“I ”型系统 当2v =时，“II ”型系统v 越高，稳态精度越高，但稳定性能越差，因此，一般系统不超过III 型。

ss ms 0s 0i i 1n j j 1v 1vs 01limsE(s)limsR(s)K (s 1)1s (T s 1)s lim R(s)K s →→=-νν=+→ε==τ+++=+∏∏可以看出，与系统稳态偏差有关的因素为：系统的型别v 、开环增益K ，系统的输入R （S ）。

1、0型系统ν＝0)1()1)(1()1()1)(1()()(2121++++++=s T s T s T s s s K s H s G n m τττK s H s G K S p ==→)()(lim 00)()(lim 0==→s H s sG K S v0)()(lim 20==→s H s G s K S a相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差0型系统没有积分环节存在，对阶跃输入的稳态偏差为一定值，与开环增益有关，K 越大，稳态偏差越小，对阶跃信号系统是有差系统。

0型系统不能跟随斜坡输入和抛物线输入。

2、Ⅰ型系统ν＝1)1()1)(1()1()1)(1()()(2121++++++=s T s T s T s s s s K s H s G n m τττ∞==→)()(lim 0s H s G K S pK s H s sG K S v ==→)()(lim 00)()(lim 20==→s H s G s K S a相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差Ⅰ型系统对阶跃输入是无差系统；I 型系统能跟随斜波输入，但是存在稳态偏差，斜坡输入的稳态偏差与开环增益成反比，可以增加K 值来减少偏差；I 型系统不能跟随抛物线输入。

3、Ⅱ型系统ν＝2)1()1)(1()1()1)(1()()(21221++++++=s T s T s T s s s s K s H s G n m τττ ∞==→)()(lim 0s H s G K S p∞==→)()(lim 0s H s sG K S vK s H s G s K S a ==→)()(lim 20相应阶跃、斜坡、抛物线输入的稳态偏差Ⅱ型系统对阶跃信号和斜坡信号为无差系统；II 型系统能跟随抛物线输入，但是存在稳态偏差，稳态偏差是有限值，与开环增益成反比，要无差则应采用III 型或高于III 型的系统， 但是，此时要使系统稳定则比较困难。

小结1）系统型别、输入形式和系统稳态偏差及静态无偏系数关系如下同一系统在不同的输入作用下，其稳态偏差是不同的。

更有意义的是，针对同一种输入，当系统的型别增加时，系统的准确性将得到提高；增加系统的开环增益，往往也可以提高系统的稳态精度。

但是，系统型别和开环增益的增加，却使得系统的稳定性变差。