用矩阵方法使网孔分析法通解
黄明康 5030309754 F0303025
在网络电路的学习中，我们一般使用结点分析法与网孔分析法。

我们知道他们有各自的用途，但其实如果使用得当，只用其中的一个方法就可以解所有目前已经可解得网络电路。

而在我看来这得当的使用就是巧妙运用数学。

之所以如此，我认为是因为结点分析法的基础ＫＣＬ与网孔分析法的基础ＫＶＬ是相容的，即可以用结点分析法的地方就可以用网孔分析法解题。

先来看个例子，从网孔分析法说起，如图（１）所示，是一个非常适合用结点分析法与网孔分析法解题的网络。

正如上课时所做的，我们用网孔分析法解之，以im1、im2、im3为支路电流列出回路的矩阵方程，方程如式（２）。

最左边的矩阵是各回路的电阻矩阵，解出此方程，再根据ＶＣＲ就能得出整个网路电路的各个参数。

由于篇幅所限，也由于这已是大家皆知的常规方法，对于为何使用这种方法及其可用性、使用方法等在此不再冗述。

而我关心的是，这种方法是在这么一个可以说是完美的电路网络中运用的，所以一旦电路中的某个器件变了，可能使这种方法不可用。

而其实上课时已经提出了这种问题，也给出了改进了的解题方法——运用网路电路的一些性质化解电路成可用网孔分析法的电路。

但这种方法在解题中会使不熟练的我不经意中掉入“陷阱”。

我更愿意用以下的方法用数学解题，这样可以使我们不必太过计较概念。

对于我的方法，也请先看一个例子，如图（３）:
这样，这个电路就不能单纯的运用网孔分析法了。

那么按之前所述，运用网路电路的一些性质化解电路成可用网孔分析法的电路，然后解之，正如图（４）
a 和图（４）
b 中所示过程。

然后得出电阻网络矩阵方程，解出所要的量。

对于以上的例题，也有所谓的虚网孔电流法如式（５）：
其实，虚网孔电流法仅仅只是根据我们在网孔分析法的引出中得出的规律重新又列出了简单的方程组，这跟我们最初想要使用结点分析法和网孔分析法的初衷不符，初衷是按给出的网络电路图直接写出矩阵方程。

这样就使我们可以更好的应对复杂的网络。

当然，也正是虚网孔电流法使我想起了网孔分析法的一般矩阵解法。

仍就看图（３）：
我们很明显的得出Is=I1；而现在，Is的确使其两端有了电势差，也就是说它本质上可以等效成一个电压源，但可惜的是我们并不知道他的大小是多少。

不过我暂且以Ｘ代之，而以Is代I1列出我们的网孔电流方程，如式（６）：
对式（６）作矩阵变换，因为：
我们可以对电阻矩阵做同样的变换，而对应项应该是相等的。

故此，我们将矩阵方程变成了，如式（７）：
而这样的矩阵方程也就是如下的方程，如式（８）：
这就是根据如式（６）做一系列变换后所得的矩阵方程，而这个矩阵方程是可解的。

这就是用矩阵方法使网孔分析法通解。

这可以使我们仅用网孔分析法，再用线性代数解矩阵就能得出一切平面网络的参数性质。

而我们知道用基本回路法就能解非平面的网络，所以结合了基本回路法的矩阵就能解解一切可网络电路。

当然网络电路还包括一个受控源的问题，其实这也是可以通过简单的矩阵变换来计算的。

对于受控源的处理，我们也引入一个电路，如图（９）
：
在处理时先将受控源当独立源一般对待，因此得出式（１０）：
用网孔电流表示受控源的控制变量，即i2=im1-im2，于是有：
结合式（１０）与式（１１）就能得：
所以对于一般的受控源问题用这样的方法就能处理了。

因此，我们已经能用矩阵计算的办法来对付独立电流源以及受控源的干扰，如果我们用的是基本回路法，那么我们就能解一切网络电路了。

［注］：以上所用的图形基本来自于教案，其实我更多的只是对已经有的结论
重新给出一遍推导，希望能够有独到之处。