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2 质点动力学习题详解

习题二一、选择题1.用铁锤把质量很小的钉子敲入木板,设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深度成正比。

在铁锤敲打第一次时,能把钉子敲入1.00cm 。

如果铁锤第二次敲打的速度与第一次完全相同,那么第二次敲入的深度为 [ ](A )0.41cm ; (B )0.50cm ; (C )0.73cm ; (D )1.00cm 。

答案:A解: 221mv E A kx f k f -=∆=-= 121012x f A fdx kxdx kx ==-=-⎰⎰2012f k A E mv '''=∆=-2221212121kx kx kxdx fdx x x -=-==⎰⎰0f f v v A A ''==122122212212121x x kx kx kx =-=-221111)0.410.41cm x x x x x ∆=-===2. 一轻绳跨过一定滑轮,两端各系一重物,它们的质量分别为1m 和2m ,且12m m > (滑轮质量及一切摩擦均不计),此时系统的加速度大小为a ,今用一竖直向下的恒力1F m g =代替1m ,系统的加速度大小为a ',则有 [ ](A )a a ='; (B )a a >'; (C )a a <'; (D )条件不足,无法确定。

答案:B解:11m g T m a -= a m g m T 22=-a m m g m m )()(2121+=- g m m m m a 212+-=122F m g m a '-= g m F 11= g m m m a 221-=',所以,a a >'。

3.对质点组有以下几种说法:(1)质点组总动量的改变与内力无关;(2)质点组总动能的改变与保守内力无关;(3)质点组机械能的改变与保守内力无关。

在上述说法中,[ ]aa a1m 121m 2(A )只有(1)是正确的; (B )(1)、(3)是正确的; (C )(1)、(2)是正确的; (D )(2)、(3)是正确的。

答案:B 解:略4.如图所示,系统置于以g /2加速度上升的升降机内,A 、B 两物块质量均为m ,A 所处桌面是水平的,绳子和定滑轮质量忽略不计。

(1)若忽略一切摩擦,则绳中张力为 [ ] (A )mg ;(B )mg /2;(C )2mg ;(C )3mg /4。

(2)若A 与桌面间的摩擦系数为μ (系统仍加速滑动),则绳中张力为 [ ] (A )mg μ;(B )3/4mg μ;(C )3(1)/4mg μ+; (C )3(1)/4mg μ-。

答案:(1)D ;(2)C 。

解:(1)受力分析 B :)(a a m T mg -'=-A :a m T '=,ma mg N =- a m ma T mg '=+-T T a g m =-+)(,)(2a g m T +=,mg a g a m T 43)(=+=(2)():B mg T m a a ''-=- :A T f m a ''-=, N f μ= ma mg N =-()mg a g m N 23=+= mg T ma maT N ma μ''-=-⎧⎨''-=⎩()32m g a T ma T mg ma μ''+-=⎧⎪⎨''-=⎪⎩mg T T gm μ2323-'='-,()()3321,124T mg T mg μμ''=+=+5. 沙子从h = 0.8m 高处落到以3m/s 速度水平向右运动的传送带上。

取g = 10m/s 2,则2ga =2g a =2g a =传送带给予沙子的作用力的方向 [ ](A )与水平夹角53向下; (B )与水平夹角53向上; (C )与水平夹角37向上; (D )与水平夹角37向下。

答案:B解:00.8m h v =i v v v j v v v==-==2001, ()()j v i v m v v m v m I012+=-=∆=04tan ,533v v θθ︒=====向上二、填空题1.如图,已知水深为1.5m ,水面至街道的距离为5m 。

把水从面积为50m 2的地下室中抽到街道上来所需做的功为 。

答案:64.2310J ⨯解:该功数值上等于同一过程中重力做的功,取坐标如图,则有:P dA Sgzdz ρ=-2211z z P z z A Sgzdz Sg zdzρρ=-=-⎰⎰6.5365.0110509.8 4.2310zdz =⨯⨯⨯=-⨯⎰抽水所需的功64.2310J P A A =-=⨯2.质量为m 的质点在变力F=F 0 (1-kt )(F 0、k 为常量)作用下沿ox 轴作直线运动。

若t =0时,质点在坐标原点,速度为v 0,则质点运动微分方程为 ;速度随时间变化规律为v = ;质点运动学方程x = 。

答案:()kt m F dt x d -=1022;20012F v t kt m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭;2300123F v t t kt m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭。

解: (1)()0010,0,F F kt t x v v =-===22dt x d m ma F ==,所以,微分方程为:()kt m F dtx d -=1022 (2)()()()00111vtv F F F dv kt dv kt dv kt dt dt mmm=-=-==-⎰⎰所以,速度为:⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=20021kt t m F v v θhv 0v v∆1z z2z o(3)220000011[()]22xtF F dx v t kt dx v t kt dt dt m m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 运动方程为:⎪⎭⎫⎝⎛-+=3200312kt t m F t v x3.质量为m 的子弹,以水平速度v 0射入置于光滑水平面上的质量为M 的静止砂箱,子弹在砂箱中前进距离l 后停在砂箱中,同时砂箱向前运动的距离为S ,此后子弹与砂箱一起以共同速度匀速运动,则子弹受到的平均阻力F = ;砂箱与子弹系统损失的机械能 ∆E = 。

(注意:此题第一问有多种解法,也有多种答案)答案:202(2)2()()mM m M v f m M l s +=++;202()Mm E v M m ∆=+。

解:设共同运动的速率为v , 则v M m mv )(0+=,0v nm mv +=子弹停止时相对地面移动距离l + s ,则有2222002111()1222()m f l s mv mv mv m M ⎡⎤-+=-=-⎢⎥+⎣⎦2021mv f =22022(2)1()11()2()()mM m M v m M l s m M m M l s ++-=++++ 能量损失 222222000011111()22222m v Mm E mv M m v mv v M m M m∆=-+=-=++4. 如图所示,质量m =2.0kg 的质点,受合力12 F ti =的作用,沿ox 轴作直线运动。

已知t =0时x 0=0,v 0=0,则从t = 0到t = 3s 这段时间内,合力F 的冲量I 为 ;质点的末速度大小为v = 。

答案:54N s ⋅;27m/s 。

解:002120,0,0m kgF tit x v =====t mF dt dv a 6===⎰⎰=tvv t dv 06023t v =121020,3,03927m/s t t v v v =====⨯=;22754N s I m v =∆=⨯=⋅Fvv设两质点A 、B 在图示的位置,它们对O 点的角动量的大小相等、方向相同(与OA 和 m v 组成的平面垂直)。

角动量的大小为5.一轻质弹簧的劲度系数为 k = 100N/m ,用手推一质量m = 0.1kg 的物体A 把弹簧压缩到离平衡位置为x 1 = 0.02m ,如图所示。

放手后,物体沿水平面移动距离x 2 = 0.1m 后停止。

求物体与水平面间的滑动摩擦系数为 。

答案:0.2解:在x 1处,物体和弹簧分离,在物体整个运动过程中,弹性力做功2112kx ,摩擦力做功2mgx μ-,根据动能定理有212102kx mgx μ-=,解得2120.22kx mgx μ==三、计算题1. 图中A 为定滑轮,B 为动滑轮,三个物体m 1=200g ,m 2=100g ,m 3=50g ,滑轮及绳的质量以及摩擦均忽略不计。

求:(1)每个物体的加速度; (2)两根绳子的张力T 1与T 2。

答案:(1)115a g =,215a g =,335a g =;(2)10.16 1.568N T g ==,20.080.784N T g ==。

解:设两根绳子的张力分别为T 1、T 2; m 2、m 3相对B 轮的加速度为2a '; m 1、m 2、m 3的加速度分别为a 1、a 2、a 3。

根据牛顿运动定律1111m g T m a -=;2222221()m g T m a m a a '-==- 3333321()()m g T m a m a a '-=-=--; 2120T T -=BT 2m 32由以上六式解得2111.96m/s 5a g ==2223.92m/s 5a g '== 2211.96m/s 5a g ==2335.88m/s 5a g ==10.16 1.568N T g ==20.080.784N T g ==,加速度方向如图所示。

2.质量为60Kg 的人以8Km/h 的速度从后面跳上一辆质量为80Kg 的,速度为2.9Km/h 的小车,试问小车的速度将变为多大;如果人迎面跳上小车,结果又怎样? 答案:(1)5.09Km/h ;(2) 1.77Km/h -。

解:(1)设人和车的质量分别为1m 和2m ,初速率分别为1v 和2v 。

人和车组成的系统沿水平方向动量守恒,有222m v m v m m v +=+111(),所以 22260880 2.95.09Km/h 6080m v m v v m m +⨯+⨯===++111(2)人迎面跳上小车,根据动量守恒222m v m v m m v '-=+111()22280 2.96081.77Km/h 6080m v m v v m m -⨯-⨯'===-++1113. 一小球在弹簧的作用下振动(如图所示),弹力F = - kx ,而位移x = A cos ωt ,其中k 、A 、ω 都是常量。

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