第2章质点动力学习题解答2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。

物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，•求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。

解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F +=2-2 如图所示，质量为10kg 物体，•所受拉力为变力2132+=t F （SI ），0=t 时物体静止。

该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。

解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μmax f F >，0=t 时物体开始运动。

ma mg F =-μ，1.13.02+=-=t mmgF a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a =dtdv a =，adt dv =，⎰⎰+=t v dt t dv 0201.13.0t t v 1.11.03+=1=t s 时，)/(2.1s m v =2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，•其所受合力j t i t F232+=（SI ），0=t 时，速度j v 20=（SI ），位矢i r 20=。

求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2）1=t s 时质点的速度和位矢。

解：j t i t m Fa+==223 223t a x =，00=x v ，20=x ⎰⎰=tv x dt t dv x0223，23t v x =⎰⎰⎰==txtx dt t dt v dx 03202，284+=t xt a y =，20=y v ，00=y⎰⎰=tv y tdt dv y02，222+=t v y⎰⎰⎰+==tyty dt t dt v dy 020)22(，t t y 263+=（1）1=t s 时，)/(232s m j i a+=（2）j t i t v )22(223++=，1=t s 时，j i v2521+= j t t i t r )26()28(34+++=，1=t s 时，j i r613817+=2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。

解：依题意kv f -=，（1）m kv dt dv a -==，⎰⎰-=t v v dt mkv dv 0)(0，解得：t m ke v v -=0（2）根据动量定理000)(mv kdx dt kv xt-=-=-⎰⎰，解得： kmv x 0=即子弹射入沙土的最大深度kmv x 0=2-5 一悬挂软梯的气球总质量为M ，软梯上站着一个质量为m 的人，共同在气球所受浮力F 作用下加速上升。

若该人相对软梯以加速度m a 上升，问气球的加速度如何？解：设气球开始时的加速度为a ，当人相对软梯以加速度m a 上升时的加速度为a '当人相对软梯以加速度m a 上升时，有：⎩⎨⎧'+=-'=--)(a a m mg T a M T Mg F m 解以上两式可得：m ma a m M g m M F +'+=+-)()(⋯⋯（1） 开始时刻：a m M g m M F )()(+=+-⋯⋯（2） 两种（1）（2）式比较可知，a a <'，气球的加速度变小。

2-6 如图所示，在一列以加速度a 行驶的车厢上装有倾角30=θ的斜面，并于斜面上放一物体，已知物体与斜面间的最大静摩擦系数2.0=S μ，若欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度应有怎样限制？解：静摩擦力满足：N f s μ<<0当最大静摩擦力的方向沿斜面向上时，加速度最小。

⎩⎨⎧=+=-mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min解以上两式得：)/(39.3sin cos )cos (sin 2min s m g a s s ≈+-=θμθθμθ当最大静摩擦力的方向沿斜面向下时，加速度最大⎩⎨⎧=-=+mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min解以上两式得：)/(80.8sin cos )cos (sin 2min s m g a s s ≈-+=θμθθμθ欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度的值应满足22/80.8/39.3s m a s m ≤≤ 2-7 棒球质量为14.0kg ，用棒击打棒球的力随时间的变化关系如图所示。

设棒被击打前后速度增量大小为70 m/s ，求力的最大值。

设击打时不计重力作用。

解：根据面积法可求出力的冲量 max max 04.008.021F F I =⨯⨯=根据动量定理，有v m mv mv I ∆=-=12 代入数据解得：)(245max N F =2-8 子弹在枪筒中前进时受到的合力可表示为t F 51034500⨯-= (SI)，子弹由枪口飞出时的速度为300 m/s ，设子弹飞出枪口时合力刚好为零，求子弹的质量。

解：子弹飞出枪口时合力刚好为零，有：010345005=⨯-t ，)(1075.330s t -⨯= )(94.0103250020500Ns t t Fdt I t =⨯-==⎰(2)根据动量定理mv mv mv I =-=0，计算得())(1.3101.33g kg vIm =⨯==-2-9 有两个质量均为m 的人站在停于光滑水平直轨道的平板车上，平板车质量为M 。

当他们从车上沿相同方向跳下后，车获得了一定的速度。

设两个人跳下时相对于车的水平分速度均为u 。

试比较两个人同时跳下和两个人依次跳下这两种情况下，车所获得的速度的大小。

解：（1）两人同时跳下。

在地面参考系中，设平板车的末速度为v ，则两个人跳下时相对地面的速度为u v - 根据动量守恒，有：)(20u v m Mv -+=)2(2m M muv +=（2）一个人跳下，另一个再跳下。

设第一个人跳下车后车的的速度为0v )()(000u v m v m M -++= mM muv 20+=设另一个再跳下车后车的速度为v ，以车和车上的人为质点系，有： )()(0u v m Mv v m M -+=+ u mM mm M m m M mu v m M v )2()(0+++=+++=2-10 质量为m 的人拿着质量为0m 的物体跳远，设人起跳速度为0v ，仰角为θ，到最高点时，此人将手中的物体以相对速度u 水平向后抛出，问此人的跳远成绩因此而增加多少？ 解：人不向后抛出物体所能跳过的距离为θcos 00t v x =，式中0t 为人跳离地面的时间。

由021sin 200=-=gt t v y o θ可解得：g v t θsin 200=θcos 00t v x =gv g v θθθ2sin cos sin 22020==在最高点，人若不向后抛出物体，此时速度为θcos 0v v x =，当人在最高点将手中的物体以相对速度u 水平向后抛出时，设人在水平方向的速度为x v '，根据动量守恒定律，有：)(cos )(000u v m v m v m m x x -'+'=+θ000000cos cos )(m m um v m m u m v m m v x ++=+++='θθ可见与不抛出物体时相比，人的速度增加了00m m um v v v x x +=-'=∆此人增加的跳远距离为gm m uv m t v l )(sin 20000+=⋅∆=θ2-11 有一正立方体铜块，边长为a ，今在其下半部中央挖去一截面半径为4/a 的圆柱形洞，如图所示，求剩余铜块的质心位置。

解：由质量分布的对称性可知，铜块的质心应在此平面内通过圆洞中心的竖直线上。

完整铜块的质心应在丄立方体中心O 处。

把挖去的铜柱塞回原处，其质心应在其中心A 处。

挖去铜柱后剩余铜块的质心应在AO 连线上，设在B 处。

由于挖去的铜柱塞回后铜块复归完整，由此完整铜块的质心定义应有：AO m BO m 21=，其中22)4(aa m πρ=为挖去铜柱的质量，)161()4(3231πρπρρ-=-=a a a a m 为挖铜柱后剩余铜块的质量。

a a AO m m BO 061.0416/116/12=⨯-==ππ 即剩余铜块的质心在正方体中心上方a 061.0处2-12 用劲度系数为k 的轻质弹簧将质量为1m 和2m 的两物体A 和B 连接并平放在光滑桌面上，使A 紧靠墙，在B 上施力将弹簧自原长压缩l ∆，如图所示。

若以弹簧、A 和B 为系统，在外力撤去后，求：（1）系统质心加速度的最大值；（2）系统质心速度的最大值。

解：（1）初始时，系统平衡，系统受到两个外力作用：墙对A 的支持力N 和外力F ，且l k N F ∆==当撤去外力的瞬时，合外力最大，有：l k N F ∆==max根据质心运动定律，有：max 21max )(c a m m F +=， 系统质心加速度的最大值为：)()(2121max max m m lk m m F a c +∆=+=（2）撤去力后，物体B 开始运动，此时物体A 仍保持不动。

当B 运动使弹簧恢复到原长位置时，此时有：0=N ，0=A v ，物体B 的速度最大。

根据机械能守恒定律，有222)(2121l k v m B ∆=，2m k lv B ∆= 此时系统的动量为22210m klm v m v m P B A ∆=+=。

此后，系统只受到弹力的作用，系统的动量守恒，即：2221m k lm v m v m P B A ∆='+'= P v m m c =+)(21 2221m klm v m v m P B A ∆='+'= 系统质心速度的最大值：2212max m k m m l m v c +∆=2-13 人造卫星在地球引力作用下沿椭圆轨道运动，地球中心位于椭圆轨道的一个焦点上。

卫星近地点离地面的距离为439km ，卫星在近地点的速度大小为8.12 km/s 。

设地球的半径为6370 km ，已知卫星在远地点的速度大小为6.32 km/s 。

求卫星在远地点时离地面的距离。

解：卫星在绕地球运动时受到到的引力为万有引力，它对地球中心的力矩为零，因此卫星在运动中角动量守恒。

设卫星在近地点距地心的距离为1r ，速度大小为1v ，在远地点的距离为2r ，速度大小为2v ，由动量守恒定律，有：2211r mv r mv =)(874832.6)4396370(12.82112km v r v r =+⨯==卫星在远地点时离地面的距离：)(237863708748km h =-=2-14 炮弹的质量为20kg ，出口的速度5000=v m/s ，炮身及支架置于光滑铁轨上，左端连同支架的共同质量为600kg ，火药燃烧时间为001.0s ，弹簧劲度系数为1000k N/m ，求：（1）发射时铁轨约束力的平均值；（2）炮身后座的速度；（3）弹簧的最大压缩量。