相似三角形
――相似直角三角形及射影定理
【知识要点】
1直角三角形的性质:
(1) 直角三角形的两个锐角 _____________ (2)
Rt A ABC 中，/ C=90o ，贝U
2
+
(3) 直角三角形的斜边上的中线长等于
2、已知，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , CD 丄 AB 于 D 。

( 1)若 AD=8 , BD=2，求 AC 的长。

(2)若 AC=12 , BC=16，求 CD 、AD 的长。

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(4)等腰直角三角形的两个锐角都是
，且三边长的比值为
(5)有一个锐角为30o 的直角三角形，30o 所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为
2、直角三角形相似的判定定理
(只能用于选择填空题)
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那
么这两个直角三角形相似。

3、双垂直型：
Rt A ABC 中，/ C=90o , CD 丄 AB 于 D ，则
① S s
②射影定理：
CD 2= ______
【常规题型】
AC 2= _____ BC 2= ____
1 已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90
【典型例题】
例1.如图所示，在厶ABC 中，/ ACB=90
BM 2=MN • AM 。

例2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，/ ABC= / ADC=90 o , DF 丄AC 于E ，且与 AB 的延长线相交 于F ,与BC 相交于G 。

求证：AD 2=AB • AF
【拓展练习】
1、已知：如图， AD 是厶ABC 的高，BE 丄AB , AE 交BC 于点F , AB • AC=AD • AE 。

求证：△ BEF
ACF
,AM 是BC 边的中线，CN 丄AM 于N 点，连接BN ,求证:
例 3. (1)已知 ABC 中， ACB 90 , CD 高，这时 DEF 和 CAB 是否相似？
AB ，垂足为D , DE 、DF 分别是 ADC 和 BDC 的
C
B
C
F
D
3、已知，如图，CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在EC 的延长线上任取一点 P ,连结AP, BG AP ,
垂足为G ，交CE 于D ，求证：CE 2 PE DE .
4、如图，在四边形ABCD 中，B AD 2 AB AE 。

【作业】
1.已知 ABC 中， ACB 90 ,CD 是高，若 BC a, AC b ，CD h, AD q ， BD p ，且
a 3,
b 4，贝H
c _______ ， p _____ ， q ______ ， h _______ .
2•若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为
2cm 和8cm ，则两条直角边的长分别
为 ________________ ，斜边上的高为 _________ .
D 90，由点D 作AC 的垂线交 AB 于
E ,交AC 于
F 。

求证:
D
3•如图，Rt ABC , ACB 90 , CD AB 于 D , BD 6cm,
AD 4cm ，则 BC __________ .
&如图，在 ABC 中， BAC 90 ,AH BC 于H ，以AC 和AB 为边在Rt ABC 形外作等边三
角形 ABD 和 ACE ，求证：
BDH s AEH .
4. 则 如图，在△ EF:AF=(
ABC 中，/ ACB=90 ° , AC > BC , CD 丄 AB , DE 丄AC ,
)
B .
5 :2
D . 2.5:5
5. 为 如图所示， ( )
A . 9: 4
在 Rt A ABC
中，/ C=90 CD 丄AB ,垂足为点D ，若 AD : BD=9 : 4 贝U AC : BC
的值
6. 如图所示，CD
A .
5:2
7. B . 3: 2 C . 4： 9
D . 2: 3
AB 是Rt △ ABC 斜边AB 边上的高，——
AC
B . 2:3
C . 3:2
D . 2 : . 3
如图所示，△ ABC 中，/ ACB=90 ° , AC=10cm , AB 3，则 CD
2 BC B
EF 丄 AB , CD=4 , AC= 4 .. 5 ,
上的高CD=6cm ,。