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相似三角形
——相似直角三角形及射影定理
【知识要点】

1、直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两个锐角
（2）Rt△ABC中，∠C=90º，则 2+ 2= 2
（3）直角三角形的斜边上的中线长等于
（4）等腰直角三角形的两个锐角都是 ，且三边长的比值为
（5）有一个锐角为30º的直角三角形，30º所对的直角边长等于 ，且三边长的比值为
2、直角三角形相似的判定定理（只能用于选择填空题）
如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那
么这两个直角三角形相似。
3、双垂直型：
Rt△ABC中，∠C=90º，CD⊥AB于D，则
① ∽ ∽
②射影定理：
CD2= · AC2= · BC2= ·
【常规题型】

1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，S△ABC=20，AB=10。求AD、BD的长.

2、已知，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D。（1）若AD=8，BD=2，求AC的长。（2）若AC=12，
BC=16，求CD、AD的长。

C
BA
D
2

【典型例题】
例1．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AM是BC边的中线，CN⊥AM于N点，连接BN，求证：
BM2=MN·AM。

例2．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90º，DF⊥AC于E，且与AB的延长线相交
于F，与BC相交于G。求证：AD2=AB·AF

例3．（1）已知ABC中，90ACB，ABCD，垂足为D，DE、DF分别是BDCADC和的
高，这时CABDEF和是否相似？

【拓展练习】
1、已知：如图，AD是△ABC的高，BE⊥AB，AE交BC于点F，AB·AC=AD·AE。求证：△BEF
∽△ACF

F
B
C

A

E
D

A
E
C
F
B
D

A
B
M
C

N

F
E
G

D
C
A

B
3
3、已知，如图，CE是直角三角形斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连结APBGAP,，
垂足为G，交CE于D，求证：DEPECE2.

4、如图，在四边形ABCD中，90DB，由点D作AC的垂线交AB于E，交AC于F。求证：
AEABAD
2
。

【作业】
1.已知ABC中，CDACB,90是高，若bACaBC,，qADhCD,，pBD，且

4,3ba
，则c ，p ，q ，h .

2.若直角三角形斜边上的高将斜边分成的两条线段的长分别为cm2和cm8，则两条直角边的长分别
为 ，斜边上的高为 .

A
B C
D
E
F
4

3.如图，ABCRt，ABCDACB,90于D，,6cmBD
cmAD4，则BC
.

4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＞BC，CD⊥AB，DE⊥AC，EF⊥AB，CD=4，AC=54，
则EF:AF=（ ）

A．1:2 B．5:2 C．5:5 D．52:5

5．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为点D，若AD：BD=9：4则AC：BC的值
为（ ）
A．9：4 B．3：2 C．4：9 D．2：3

6. 如图所示，CD是Rt△ABC斜边AB边上的高，23ACAB，则BCCD（ ）
A．2:5 B．2:3 C．3:2 D．3:2
7．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，AB上的高CD=6cm，DE⊥BC于E，求DE的长。

8．如图，在ABC中，BCAHBAC,90于H，以AC和AB为边在ABCRt形外作等边三
角形ABD和ACE，求证：BDH∽AEH.

C
E

A
F
D
B