第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3． 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4． 握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5． 道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6． 了解方程近似解的二分法及切线法。

一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f满足：（1）在[]b ,a 连续.（2）在()b ,a 可导.（3）()()b f a f= 则至少存在一点()b ,a ∈ξ使()0f/=ξ例 设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则 在区间（-1，0）内，方程()0x g /=有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根 例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈η，使()()0f f /=ηη+η。

证： 设()()x xf x F=在[a,b]可导，()()1F 0F =∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η例 设()x f在[0，1]可导，且()()01f 0f ==,证明存在η ()()0F F /=η+η 。

解: 设()()x f e x Fx =，且()()1F 0F = 由罗尔定理存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f/=η+η例 习题6设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、 拉格朗日中值定理如()x f满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。

推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f =⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>，()x f 在Ｉ单增（减）例 对任意满足1x <的x ，都有4x arcsin 21x1x 1arctg π=++-设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x1x 121x 1x 111x f 22/=-++-⋅+-⋅+-+=0x 121x 12x 1x 12x 121222=-++⋅-+⋅+⋅-= ∴ ()c x f=∵ ()40f π= ∴ ()4x f π=例 设()0x >，证明()x x 1ln x1x<+<+ 求导证明作业：见各章节课后习题。

二、洛必达法则 未定形：如下的函数极限都是未定形。

1、型： 如：x x x x x --→tan sin lim 0型：2、∞∞型： 如：0ln lim >+∞→a x x ax3、∞*0型： 如：0ln lim >⋅+∞→a xx a x4、∞-∞型：如：)1sin 1(lim 0xx x -→ 5、00 型： 如：x x x arctan 0lim+→6、0∞ 型： 如：xx ctgx ln 10)(lim +→7、∞1 型： 如：210)sin (lim x x xx → 它们的计算不能用函数极限的四则运算法则，且它们只表示类型，没有具体意义。

1、00 （∞∞）型的洛必达法则a x →(同理∞→x ) 定理：对函数和，如果： （1）0)(lim )(=∞→→x f x ax , 0)(lim )(=∞→→x g x a x（2）在某个邻域),(δa N 内（X x >后）有导数'f 和'g ，且0)('≠x g ；（3）)(')('lim)(x g x f x a x ∞→→存在（或无穷），则成立： )()(lim )(x g x f x a x ∞→→=)(')('lim )(x g x f x a x ∞→→例：1) bxax x sin sin lim0→2)30sin lim x x x x -→ 3) 123lim 2331+--+-→x x x x x x例： 1)xx x12arctan lim-+∞→π2) nx x xln lim+∞→3) xnx ex λ+∞→lim (λ>0)3、其它类型1) 011,0∞→∞⋅∞2) 00000101⨯-→-→∞-∞ 3))0(0ln 0ln 00型∞⋅⨯=→=y y4)0,1∞==∞y y 解法同3）例 ： 1) )0(ln lim 0n x x n x +→2) )tan (sec lim 2x x x -→π3) xx x +→0lim 4) xx xx x sin tan lim20-→三、泰勒公式 一、多项式： n n x x a x x a x x a a x P )()()()(0202010-++-+-+=在点的各阶导数： 00)(a x P =10)('a x P = 202)(''a x P =n n a n x P ⋅=!)(0)(得：)(!10)(x f n a n n = ++-+-+= 200000)(!2)(''))((')(x x x f x x x f a x P n n x x n x f )(!)(00)(-二、泰勒中值定理：如果函数)(x f 在含有0x 的某个开区间),(b a 有直到)1(+n 阶的导数，则对任一),(b a x ∈有：1、（N 阶泰勒公式）++-+-+= 200000)(!2)(''))((')()(x x x f x x x f x f x f)()(!)(00)(x R x x n x f n n n +- )(x R n 称为余项。

（1）10)1()()!1()()(++-+=n n n x x n f x R ξ（ ξ在0x 与x 之间） 拉格朗日型余项（2）])[()(0n n x x o x R -= 皮亚诺余项。

2、当00=x 得麦克劳林公式：++++= 2!2)0('')0(')0()(x f x f f x f )(!)0()(x R x n f n nn +三、常见函数的泰勒展开1) xe y =12)!1(!!21+⋅++++++=n x n xx n e n x x x e θ)10(<<∈θR x2)x y sin =)()!12()1(!5!3sin 12153x R m x x x x x n m m +--+-+-=-- R x ∈ 3)x y cos =a x y )1(+=四、函数的性态 1、极值1）定义：如在0x 邻域内，恒有()()0x f x f ≤， ()()()0x f x f ≥，则称()0x f 为函数()x f的一个极大（小）值。

可能极值点， ()x f/不存在的点与()0x f /=的点。

（驻点）驻点 ←极值点 2）判别方法 ⅰ、导数变号。

ⅱ、()0x f//≠，⎩⎨⎧<>0)f(x0)f(x例1、 设()x f y =满足关系式0y 4y 2y ///=+-，且()0x f >,()0x f 0/=，则()x f 在0x 点处 A A 、取得极大值B 、取得最小值C 、在0x 某邻域内单增D 、在0x 某邻域内单减 例2．已知函数()x f对一切x 满足()()[]x 2///e 1x f x 3x xf --=+如()0x f 0/=，()0x 0≠，则 AA 、 ()0x f 是()x f的极小值B 、()0x f 是()x f 的极大值C 、()()00x f x 、是曲线的拐点D 、()0x f不是()x f 的极值，()()00x f x、也不是曲线 ()x f y = 的拐点。

例3． 设函数()x f在0x =的某邻域内可导，()00f /=，21x sin (x)f lim /0x -=→，则()0f 是()x f 的极 大 值。

2、函数的最大值与最小值（1）求出[]b a ，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。

（2）在()b a ，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。

极小值 极大值（3）如)()(),0(0b f a f f <>'分别为最小, 最大值。

（4）实际问题据题意可不判别。

例1、 在抛物线2x 4y -=上的第一象限部分求一点P ，过P 点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。

解：设切点为()y x P，，切线方程为()()x X x 2x 4Y 2--=--即∴ 三角形面积：，32x 0(x)S /==38y ,32x ==令 0)32(S //> （唯一）∴ )3832(，故 为所求点3、曲线的凹凸、拐点及渐近线 在I 上()x f 可导如()()00x f//<>则曲线()x f y =是凹（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。

14x Y2x4x X 22=+++2x 0),x168x (x 412x 4)(x 21S(x)322<<++=+⋅=)x16-8(3x 41(x)S 22/+=可能的拐点 ()0x f //= 和 ()x f //不存在的点例1、()()231x x x f -=设，试讨论()x f的性态。

4//32/x 1)-6(x (x)f ,x 2)(x 1)-(x (x)f =+= 1x ,0(x)f -2,x 1,x 0(x)f ///=====渐近线 如 a f(x)lim x =∞→则称a y =为水平渐近线如∞=→f(x)lim 0x x 则称0x x =为垂直渐近线渐近线可能没有，或多条。

例2、求2)1(12--=x x y 渐近线 （斜渐近线不讨论）解： ∵ 0)1(12lim2=--∞→x x x∴ 0y=为水平渐近线∵ ∞=--→21)1(12limx x x∴ 1x=垂直渐近线例2、 曲线)2)(1(+-=x x x x y 的渐近线有 4 条4证明不等式（1）利用中值定理（R ，L ）； （2）利用函数单调性； （3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式； （5）利用函数凹凸性； （6）利用泰勒公式。

例1、当b a0<<，试即证：aa b a b b 1ln ln 1<--< 证： 设x ln y =，在]b ,a [连续，)b ,a (可导，由拉格朗日中值定理 )(1ln ln a b a b -=-ξ即b a a b a b <<=--ξξ1ln lnaab a b b a b -<<-ln∴aa b a b b 1ln ln 1<--< 例2、设0x >，证明x x xx <+<+)1ln(1 证： 设)x 1ln(x )x (f +-=xx x x f +=+-=1111)(/ )x (f 单增，当0x > 0)0(f )x (f =>∴ )x 1ln(x +>设 x x x x f +-+=1)1ln()( 0)1(2)1(111)(22/>++=+++=x x x x x f )x (f 单增，当0x >0)0(f )x (f => ∴ x x x +>+1)1ln(例3、当0x > 证明x ln 1x2>+ 证： 令)0x (x ln 1x)x (f 2>-+= xx x f 12)(2/-= 令0)x (f /=得 21=x驻点唯一， ∵ 01)(2//>+=x x x f ∴ )21(f 极小∴ )21(f 为最小值 即 02ln 212321)(0>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛>>f x f x例4、 当 1x 0≤≤1p > 证明 ()1x 1x 2p p p 1≤-+≤- 证:设()()p p x 1x x f -+= 1x 0≤≤ ()()1p 1p /x 1p px x f ----= 令 ()0x f /= , 21=x 驻点唯一 ()()11f 0f ==p p f --==⎪⎭⎫ ⎝⎛1122121 当 1p > , 1211->p → ()x f 在[]1,0上 最大值为1 ,最小值为p 12- ∴ ()11x 22p p p 1≤π-+≤-例5、 设e >β>α，证明βαα>β证明：即 证 ββααln ln < 设 ()xx x f ln =e x > ，()0ln 12/<-=xx x f e x <时 ∴ ()x f 单减 当ββααln ln < β>α 即 βαα>β例6、 设()x f 在[]c ,0上可导，且()x f /单调减，()00f = 证明：()()()b f a f b a f +≤+ ，b a b a 0+≤≤≤。